5.2 三角函数的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§5.2 三角函数的概念 目录 题型1：三角函数定义的应用 3 题型2：已知终边上任意一点求三角函数值 7 题型3：三角函数值的符号 10 题型4：诱导公式一的应用 12 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 14 题型6：型求值问题 17 题型7：利用同角三角函数的基本关系化简和证明 19 1. 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 叫做的正弦，记作 叫做的余弦，记作 叫做的正切，记作 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线   有向线段为正弦线   有向线段为余弦线   有向线段为正切线 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数， 余弦函数， 正切函数， 2. 终边上任意一点的三角函数 设是任意一个角，它的终边上异于原点的任意一点的坐标为，点到原点的距离.则 3. 终边相同的角的三角函数值 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 公式一： 4. 同角三角函数的基本关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 平方关系：. 商数关系：. 题型1：三角函数定义的应用 方法提炼 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值 (1) 若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2) 若已知角终边上一点是单位圆上一点，则. 【例1.1.】 由三角函数的定义知，＝______． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由单位圆求三角函数值、特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据三角函数周期性，可得，作出单位圆与角的终边，求出交点P的坐标，根据三角函数定义，即可得答案. 【详解】由正弦函数的周期性可得， 作出单位圆与角的终边，与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，交x轴于点B， 设单位圆与x轴负半轴交于点A，如图所示    则，， 所以，即， 由三角函数定义可得. 故答案为： 【例1.2.】 由三角函数的定义知，_______，_______． 【答案】 / / 【难度】0.94 【知识点】特殊角的三角函数值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值. 【详解】   为第三象限角，在的终边上选择点， 故． 故答案为：. 【例1.3.】 若，证明： (1)； (2). 【答案】(1) 如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. (2) 如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 【难度】0.65 【知识点】三角函数线的应用 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）略 （2） 略 【例1.4.】 利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】特殊角的三角函数值、解余弦不等式、三角函数线的应用、解正弦不等式 【分析】画出相应的三角函数线，分别写出满足（1）、（2）、（3）的条件即可. 【详解】（1）如图所示， 过点和原点作直线，交单位圆于点和，则角的终边在直线上， 所以满足条件的角的集合是. （2）如图所示： 过点作轴的平行线，交单位圆于点和，连接， 则，所以， 所以满足条件的角的集合是. （3）如图所示： 过点作轴的垂线，与单位圆交于点和，则， 所以满足条件的角的集合是. 题型2：已知终边上任意一点求三角函数值 方法提炼 (1) 若已知角的终边上一点,应先求,然后根据三角函数的定义求角的三角函数值,即 (2) 若角的终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论。 【例2.1.】 若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 【例2.2.】 （多选）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据三角函数的定义分别对每个选项进行判断即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 对于A，当时，，此时，，故A正确， 对于B，当时，，在第四象限； 当时，，在第二象限，故B错误， 对于C，根据三角函数的定义可知，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 【例2.3.】 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】(1) (2)；当时，；当时， (3) 【难度】0.82 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 【例2.4.】 （1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【难度】0.72 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 题型3：三角函数值的符号 方法提炼 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 【例3.1.】 已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 【例3.2.】 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定已知角所在象限 【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限. 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在轴下方， 所以角为第四象限角. 【例3.3.】 确定下列式子的符号 (1)； (2)； 【答案】(1)正 (2)负 【难度】0.87 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【详解】（1） ， 故，所以原式为正； （2），， 所以，故原式为负； 【例3.4.】 若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定n分角所在象限 【分析】结合三角函数性质可得范围，即可得范围，即可得解. 【详解】由，，则是第三象限角， 即， 所以， 当，即为偶数时， ，此时是第二象限角； 当，即为奇数时， ，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 题型4：诱导公式一的应用 方法提炼 利用诱导公式一可将负角或大于的角的三角函数值化为0~内的角的同名三角函数值,实现了“负化正,大化小”。 【例4.1.】 求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】（1）（2） 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果； （2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果. 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式. 【例4.2.】 求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)1 【难度】0.86 【知识点】诱导公式一、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 【例4.3.】 求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.8 【知识点】诱导公式一 【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可； （2）利用诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）. （2） . 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 方法提炼 (1) 利用可以实现角的正弦,余弦的互化，需注意讨论开方结果的正负。利用可以实现角的弦切互化，要看是否有意义。 (2) 已知的值，求关于齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式，分子、分母同时除以或，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. ②对于形如的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的式子求值. 【例5.1.】 已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 【例5.2.】 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算. 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离， 故. 【例5.3.】 若，且，则_____. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由条件等式求正、余弦 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 【例5.4.】 已知，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用平方关系求参数、正、余弦齐次式的计算 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 【例5.5.】 已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 题型6：型求值问题 方法提炼 对于，，这三个式子，利用 ，可以知一求二.的符号判定，如图 【例6.1.】 已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【难度】0.72 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 【例6.2.】 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 【例6.3.】 已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 题型7：利用同角三角函数的基本关系化简和证明 方法提炼 (1) 三角函数式的化简技巧 ①对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ②化切为弦,从而减少函数种类,达到化简的目的. ③对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造,以降低次数,达到化简的目的。 (2) 证明三角恒等式的基本方法 ①从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简. ②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. ③变更命题法,如要证明“”,可证或等. ④比较法,即设法证明“左边－右边=0”或“”等. ⑤化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. 【例7.1.】 （1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【答案】 （1） （2）证明：要证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，即证：， 显然上式成立，故成立，得证． （3）证明：由， 得：， 所以， ， ， ，即，则， 得，再由平方关系得，， 代入，得，即：，得证． 【难度】0.65 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】（1）因为，，， 所以． （2）略 （3）略 【例7.2.】 （　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】 . 【例7.3.】 求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明： 故成立. (2)证明： 因为， 所以. 【难度】0.86 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明； （2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【例7.4.】 化简下列各式： (1) (2)，其中为第二象限角 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）原式化简为完全平方式，再根据同角三角函数的基本关系和角的取值范围，即可化简求出原式的值． （2）根据同角三角函数的基本关系和完全平方式，原式化简可以得到，又因为为第二象限角，可以求出的取值范围，即可得到所求结果． 【详解】（1）原式； （2）因为为第二象限角，所以， 原式. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.2 三角函数的概念 目录 题型1：三角函数定义的应用 3 题型2：已知终边上任意一点求三角函数值 4 题型3：三角函数值的符号 4 题型4：诱导公式一的应用 5 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 6 题型6：型求值问题 6 题型7：利用同角三角函数的基本关系化简和证明 7 1. 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 叫做的正弦，记作 叫做的余弦，记作 叫做的正切，记作 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线   有向线段为正弦线   有向线段为余弦线   有向线段为正切线 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数， 余弦函数， 正切函数， 2. 终边上任意一点的三角函数 设是任意一个角，它的终边上异于原点的任意一点的坐标为，点到原点的距离.则 3. 终边相同的角的三角函数值 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 公式一： 4. 同角三角函数的基本关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 平方关系：. 商数关系：. 题型1：三角函数定义的应用 方法提炼 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值 (1) 若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2) 若已知角终边上一点是单位圆上一点，则. 【例1.1.】 由三角函数的定义知，＝______． 【例1.2.】 由三角函数的定义知，_______，_______． 【例1.3.】 若，证明： (1)； (2). 【例1.4.】 利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合． (1)； (2)； (3)． 题型2：已知终边上任意一点求三角函数值 方法提炼 (1) 若已知角的终边上一点,应先求,然后根据三角函数的定义求角的三角函数值,即 (2) 若角的终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论。 【例2.1.】 若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）已知点是角终边上的一点，则（   ） A．当时， B．角为第四象限角 C． D． 【例2.3.】 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【例2.4.】 （1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 题型3：三角函数值的符号 方法提炼 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 【例3.1.】 已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3.2.】 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例3.3.】 确定下列式子的符号 (1)； (2)； 【例3.4.】 若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 题型4：诱导公式一的应用 方法提炼 利用诱导公式一可将负角或大于的角的三角函数值化为0~内的角的同名三角函数值,实现了“负化正,大化小”。 【例4.1.】 求下列各式的值： (1)； (2)． 【例4.2.】 求下列各式的值： (1)； (2). 【例4.3.】 求下列各式的值： (1)； (2)． 题型5：利用同角三角函数的基本关系求值 方法提炼 (1) 利用可以实现角的正弦,余弦的互化，需注意讨论开方结果的正负。利用可以实现角的弦切互化，要看是否有意义。 (2) 已知的值，求关于齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式，分子、分母同时除以或，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. ②对于形如的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为形如的式子求值. 【例5.1.】 已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【例5.3.】 若，且，则_____. 【例5.4.】 已知，则_____. 【例5.5.】 已知，求： (1)； (2)； (3)． 题型6：型求值问题 方法提炼 对于，，这三个式子，利用 ，可以知一求二.的符号判定，如图 【例6.1.】 已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【例6.2.】 若，且，则（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型7：利用同角三角函数的基本关系化简和证明 方法提炼 (1) 三角函数式的化简技巧 ①对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ②化切为弦,从而减少函数种类,达到化简的目的. ③对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造,以降低次数,达到化简的目的。 (2) 证明三角恒等式的基本方法 ①从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简. ②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. ③变更命题法,如要证明“”,可证或等. ④比较法,即设法证明“左边－右边=0”或“”等. ⑤化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. 【例7.1.】 （1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【例7.2.】 （　　）． A． B． C． D． 【例7.3.】 求证： (1)； (2). 【例7.4.】 化简下列各式： (1) (2)，其中为第二象限角 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $