5.2三角函数的概念10题型分类 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数概念核心知识点，系统梳理任意角三角函数定义（单位圆与终边上点）、定义域、值的符号规律、诱导公式（一）及同角基本关系，通过10题型分类构建从概念到应用的学习支架，涵盖定义求函数值、符号判断、公式化简等关键内容。 该资料以题型分类为特色，每个题型配解题步骤与避坑要点，如利用单位圆定义培养几何直观（数学眼光），通过齐次式转化训练逻辑推理（数学思维），例题与练习题结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.2三角函数的概念10题型分类 一、三角函数的概念 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 注：三角函数的定义 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应． (2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． (2)三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sinx x∈R y＝cosx x∈R y＝tanx x≠＋kπ(k∈Z) 二、三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 三、诱导公式(一) 名称 符号语言 文字语言 诱导公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 注：公式一的理解 (1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. 四、同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 (1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论 ①平方关系变形及常用结论 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. ②商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. (2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. (3)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. (4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况下的恒等式． (5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝不成立． (6)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的． （一） 三角函数的定义及应用 一、利用三角函数定义（单位圆）求三角函数值 解题步骤 1.判断角所在象限，绘制单位圆，过交点向x轴作垂线构造直角三角形； 2.利用特殊三角形边长，写出单位圆交点P(x,y)坐标； 3.单位圆r=1，直接套用 、 求值。 避坑要点 坐标符号由象限决定，二、三象限x<0，三、四象限y<0，不可遗漏负号。 二、由终边/终边上点求三角函数值 通用解题流程 1.已知终边上点P(x,y)，先计算距离 ； 2.直接代入定义式： 特殊题型：终边在直线上（如y=kx） 直线包含两条反向射线，分x>0、x<0两种情况讨论；r恒为正数，函数值符号仅由x、y正负决定。 三、由三角函数值求终边上的点或参数 解题逻辑 1.根据三角函数定义列等式，例：； 2.将x、y参数代入方程，解含参数的一元二次方程； 3.结合题目给出的角所在象限，舍去不符合符号的增根。 题型1：利用三角函数的定义求三角函数值 1．（2026高一·全国·课堂例题）在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据终边相同的角化简画出角即可； （2）根据角度结合边长求出P的坐标为； （3）应用正弦函数定义计算求解. 【详解】（1）因为， 所以角的终边与的终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角如图所示． （2）因为，所以点P在第二象限，由（1）知，过点P作轴于点M． 则在中，，，， 由直角三角形的边角关系，得，， 所以点P的坐标为． （3）根据正弦函数的定义有． 2．（2026高一·黑龙江大庆·期末）由三角函数的定义知，＝______． 【答案】/ 【分析】根据三角函数周期性，可得，作出单位圆与角的终边，求出交点P的坐标，根据三角函数定义，即可得答案. 【详解】由正弦函数的周期性可得， 作出单位圆与角的终边，与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，交x轴于点B， 设单位圆与x轴负半轴交于点A，如图所示    则，， 所以，即， 由三角函数定义可得. 故答案为： 3．（2026高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 4．由三角函数的定义知，_______，_______． 【答案】 / / 【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值. 【详解】   为第三象限角，在的终边上选择点， 故． 故答案为：. 题型2：由终边或终边上点求三角函数值 5．（2026高一·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 6．（2026高一·全国·随堂练习）若角的终边经过点，则的值是______． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，. 综上所述，. 故答案为：. 7．（2026高一·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 8．（2026高一·辽宁抚顺·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 题型3：由三角函数值求终边上的点或参数 9．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 10．（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦函数的定义及列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 11．（2026高一·全国·课后作业）若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合三角函数的定义，即可求得的值. 【详解】由三角函数的定义，可得，解得，即， 则，所以. 故选：C. （二） 判断三角函数值的符号 标准两步法 1.弧度区间判定象限：，，，，对比角的弧度值判断象限； 2.套用“一全二正弦，三切四余弦”判断正负； 拓展考法：判断点所在象限 分别判断横坐标、纵坐标正负，横正纵正为一象限，以此类推。 题型4：判断三角函数值的符号 12．【多选】（2026高一·四川自贡·期中）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 【答案】ACD 【分析】先判断三角函数式中角的位置，进而根据各三角函数在不同象限的符号，得到答案． 【详解】A为负，，∴是第三象限角，∴； B为正，∵，∴是第一象限角，∴； C为负，∵，是第二象限角，∴； D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴； 故选：ACD. 13．（2026高一·江苏·专题练习）若角的终边过点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所在象限判断三角函数符号可得. 【详解】∵角的终边过点，为第三象限角， ∴，，， ∴ 故选：C． 14．（2026·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 15．（2026高一·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义即可解答． 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 16．（2026高一·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 17．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解. 【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角， 所以， 所以点P所在象限为第四象限. 故选：D. 18．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B （三） 公式一的应用 三步化简法 1.大化小：角度减去，转化为内角； 2.定符号：判断化简后角所在象限，确定三角函数正负； 3.代特殊值：、、、、、直接代入特殊三角函数值计算。 题型5：公式一的应用 19．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】. 20．（2026高一·北京·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 21．（2026高一·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】． 故选：C． 22．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用诱导公式判断的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】根据诱导公式，可得， 又是第三象限角，所以，即， 同理，所以，即， 所以点位于第三象限. 故选：C. 23．（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】 ＝ 24．（2026高一·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】由诱导公式化简后求解. 【详解】（1）. （2）. （四） 三角函数求值 情况1：已知，求 1.平方关系开方：； 2.根据所在象限，确定根号前正负号； 3.商数关系计算：。 情况2：已知，求 联立方程组： 解出两组解后，结合角的象限取舍符号。 题型6：同角三角函数基本关系的应用 25．（2026高一·山东济南·阶段检测）若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数间的基本关系即可求解． 【详解】∵，且为第三象限角， ∴， ∴． 故选:D． 26．（2026高一·辽宁辽阳·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】已知，若，则， 所以“”可以推出“”； 已知，若，则， 所以“”不能推出“”； 故“”是“”的充分不必要条件. 27．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 【答案】/ 【详解】由条件可知，. 28．（2026高一·全国·专题练习）若，，则_____. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数值的正负，求得，，进而求得答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以. （五） sinα±cosα，sinαcosα的应用 核心万能恒等式 符号快速判定技巧 1.：角终边在直线上方；反之小于0； 2.：角终边在直线上方；反之小于0。 解题流程 1.已知其中一个式子，两边平方求出； 2.开方求剩余式子时，必须结合角范围判断正负，不能直接保留。 题型7：sinα±cosα，sinαcosα的应用 29．（2026高一·北京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平方即可求解    . 【详解】由于，所以 ，又，所以 ,故， 故选：A 30．【多选】（2026高一·福建莆田·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由平方关系求得，从而确定可推范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得. 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； 因为，，所以，所以， B正确； 结合可得，，C正确； ，D不正确． 故选：ABC． 31．（2026高一·上海嘉定·阶段检测）已知，且，则______． 【答案】/ 【分析】先判断的符号，然后根据同角的三角函数关系式求出其平方值，进而得到结果. 【详解】因为，所以，所以，而， 所以. 32．（2026高一·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 33．（2026高一·上海·期中）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平方关系得出，可得出，于是得出，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 34．（2026高一·山东青岛·阶段检测）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值；通过平方关系和象限分析，即可求得的值；将和联立，求得和的值，根据商数关系即可求得的值；由平方差公式，可得，将和代入，即可求得的值. 【详解】已知，是方程的两根，则有， 又由， 得，解得，故A错误； 又，则，又，所以， 所以， 又，，所以，则，故B错误； 又，解得， 所以，故C错误； 所以，故D正确. 故选：D 35．（2026高三·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C （六） 齐次式求值 两类标准齐次模板 1.一次分式齐次式（分子分母均一次弦函数） 2.二次整式齐次式（无分母，补做分母） · 分子分母同除以，全部转化为后代入计算。 关键前提 只有分子分母三角函数次数相同时，才能弦化切。 题型8：利用齐次式化简或求值 36．【多选】已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由于，故，解得或. 当时，，则，； 当 ，则， 37．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】根据已知及弦化切得，再应用“1”的代换及齐次式法求函数值. 【详解】由，则， 所以. 38．（2026高一·江西萍乡·期中）已知，则__________． 【答案】 【详解】. 39．（2026高一·云南文山·期末）角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则， 所以. 40．（2026高二·广西·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 41．（2026高三·广东广州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案. 【详解】由题意知，则 ， 故选：D （七） 利用同角三角函数关系式化简与证明 一、三角函数式化简 四大通用化简手段 1.切化弦：全部转化为，统一函数名称； 2.1的代换：，用于升次、降次构造齐次式； 3.去根号：，根据角所在象限去掉绝对值符号； 4.因式分解：平方差、完全平方公式分解，约分消去同类项。 化简标准 函数名最少、项数最少、无分母、无根号。 二、证明三角恒等式 五种主流证明方法（由简到繁） 1.由繁入简法：从式子结构复杂的一侧，化简推导到简单一侧； 2.左右归一法：左右两边分别化简，得到完全相同的中间式子； 3.作差法：证明「左边右边」，等式成立； 4.作商法：两边不为0时，证明「」； 5.等价变形法：分式等式交叉相乘，转化整式等式证明。 通用万能技巧 全程切化弦，配合消元化简。 题型9：三角函数式的化简 42．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系式构造等式，再进行变形，代入已知即可解. 【详解】依题意， 由， 得. 已知，故. 故选：A 43．（2026高一·全国·课后作业）已知 ，则的值为________． 【答案】3 【分析】将中弦化切化简，再将代入即可. 【详解】 故答案为：. 44．（2026高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 【答案】(1)1； (2)1； (3)0. 【分析】根据同角关系式化简即得. 【详解】（1） ； （2）； （3） . 45．（2026高三·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方关系得到，即可得解. 【详解】， ，， 又， . 故选：D． 46．（2026高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1); (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方关系化简即可； （2）利用商数关系化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 题型10：证明三角恒等式 47．（2026高一·全国·单元测试）求证:. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值. 方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果. 【详解】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 48．（2026高一·上海浦东新·开学考试）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用代入，结合和的立方展开化简，即可证明三角等式. 【详解】证明： ， 即. 1．（2026高二·天津·阶段检测）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 2．（2026高一·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，角为第三象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系求出、的两组解，再结合为第三象限角即得的值. 【详解】因为，所以，由, 解得或， 因为角为第三象限角，所以. 4．（2026高三·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对式子的分子、分母同除以，转化为，代入求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 5．（2026高一·江苏常州·阶段检测）已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用三角函数的符号可以确定角的终边所在的象限，从而作出判断. 【详解】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限， 故选：D. 6．（2026高一·贵州黔南·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数定义计算求解. 【详解】. 故选：B. 7．（2026高一·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 8．（2026高一·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为已知角的终边经过点，且， 所以， 解得， 故选：B. 9．（2026高一·广西桂林·阶段检测）若角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数定义得，然后根据角的范围即可得解. 【详解】由三角函数定义可得， 因为，所以， 解得， 易知，点A在第二象限，所以. 故选：D 10．（2026高一·内蒙古乌兰察布·阶段检测） cos2x等于（    ） A．tan x B．sin x   C．cos x D． 【答案】D 【分析】结合同角的商数关系以及平方关系化简整理即可求出结果. 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 故选：D. 11．（2026高二·甘肃定西·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，利用同角公式计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：D 12．（2026高一·河南信阳·阶段检测）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对齐次式，先弦化切，再代入求值. 【详解】，， . 故选：A. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断； (2)选择合适的公式进行化简求值． 13．（2026高一·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 14．（2026·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明由可得，再举反例说明由不能推出即可. 【详解】若“”成立，则或， 当时，， 当时，， 因此，“”可以推出“”， 若“”成立，利用代入，得，即， 这只能说明，不能推出“”， 例如，当时，，但且， 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 15．【多选】（2026高一·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 【答案】AB 【分析】先由终边上点的坐标求出点到原点的距离，再分别代入正切、正弦、余弦的定义公式计算，同时根据点的坐标符号判断角所在的象限，逐一验证选项的正误. 【详解】因为角终边过点，所以点到原点的距离： ， 所以选项A： ，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：因为点在第三象限，所以是第三象限角，故D错误. 16．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数关系求出，结合选项判断即可得到答案. 【详解】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC 17．【多选】（2026高一·辽宁·期中）若，则α可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为为第四象限角，所以，故A正确； 对于B，因为为第二象限角，所以，故B错误； 对于C ，因为为第三象限角，所以，故C正确； 对于D，因为为第四象限角，所以，故D正确. 故选：ACD. 18．（2026高三·江苏徐州·期中）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】. 19．（2026·北京房山·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 【答案】 【详解】由三角函数定义知：； ，，，， 点的纵坐标为. 20．（2026高一·江苏盐城·阶段检测）已知，则__________. 【答案】2 【分析】运用齐次化与弦化切的知识即可得解. 【详解】若，则， 则. 故答案为：. 21．（2026高一·全国·专题练习）已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 22．（2026高一·全国·单元测试）若，化简：________． 【答案】 【分析】根据，将原式化简为，根据，分类讨论去掉绝对值符号，即可得解. 【详解】 当时，，，且 所以原式 当时，，，且 所以原式 当时，，，且， 所以原式 当时，，，且， 所以原式 综上可知，原式 故答案为：. 23．（2026高一·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两个根（） (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理和同角三角函数关系结合判别式即可求实数的值； （2）用立方和公式把展开结合韦达定理即可求解； （3）切化弦后结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为是关于x的方程的两个根， 所以方程的判别式，解得：或， 且有，所以==， 即，解得（舍去）， 即a的值为. （2）因为 ， 所以的值为. （3）因为 . 故的值为. 24．（2026高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可. 【详解】（1） . 所以原式成立. （2）. 所以原式成立. 25．（2026·河北沧州·模拟预测）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【分析】（1）提公因式，由化简即可证明； （2）弦切互化结合可得，化简即可证明； （3）分子分母同乘结合化简即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 26．（2026高一·江苏泰州·阶段检测）已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】首先根据角的范围判断，的符号，选条件①时根据韦达定理可列方程组求得，的值，利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，进而求解； 选条件②时根据三角函数的定义列方程求得的值，进而可求解，的值，从而求解； 选条件③时根据已知条件及同角三角函数的基本关系式可列方程组求得，的值，进而求解. 【详解】（1）因为是第二象限角，所以，. 选条件①：因为，是关于x的方程的两个实根， 所以，解得. 所以，所以. 选条件②：因为为角终边上一点，且， 所以，且，解得， 所以，所以， 所以，所以. 选条件③：因为，解得或， 又，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.2三角函数的概念10题型分类 一、三角函数的概念 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 注：三角函数的定义 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应． (2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． (2)三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sinx x∈R y＝cosx x∈R y＝tanx x≠＋kπ(k∈Z) 二、三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 三、诱导公式(一) 名称 符号语言 文字语言 诱导公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 注：公式一的理解 (1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. 四、同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 (1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论 ①平方关系变形及常用结论 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. ②商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. (2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. (3)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. (4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况下的恒等式． (5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝不成立． (6)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的． （一） 三角函数的定义及应用 一、利用三角函数定义（单位圆）求三角函数值 解题步骤 1.判断角所在象限，绘制单位圆，过交点向x轴作垂线构造直角三角形； 2.利用特殊三角形边长，写出单位圆交点P(x,y)坐标； 3.单位圆r=1，直接套用 、 求值。 避坑要点 坐标符号由象限决定，二、三象限x<0，三、四象限y<0，不可遗漏负号。 二、由终边/终边上点求三角函数值 通用解题流程 1.已知终边上点P(x,y)，先计算距离 ； 2.直接代入定义式： 特殊题型：终边在直线上（如y=kx） 直线包含两条反向射线，分x>0、x<0两种情况讨论；r恒为正数，函数值符号仅由x、y正负决定。 三、由三角函数值求终边上的点或参数 解题逻辑 1.根据三角函数定义列等式，例：； 2.将x、y参数代入方程，解含参数的一元二次方程； 3.结合题目给出的角所在象限，舍去不符合符号的增根。 题型1：利用三角函数的定义求三角函数值 1．（2026高一·全国·课堂例题）在平面直角坐标系的单位圆中，已知． (1)画出角； (2)求出角的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角的正弦函数值． 2．（2026高一·黑龙江大庆·期末）由三角函数的定义知，＝______． 3．（2026高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 4．由三角函数的定义知，_______，_______． 题型2：由终边或终边上点求三角函数值 5．（2026高一·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·随堂练习）若角的终边经过点，则的值是______． 7．（2026高一·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 8．（2026高一·辽宁抚顺·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型3：由三角函数值求终边上的点或参数 9．（2026高三·海南海口·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 10．（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·全国·课后作业）若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（    ） A． B． C． D． （二） 判断三角函数值的符号 标准两步法 1.弧度区间判定象限：，，，，对比角的弧度值判断象限； 2.套用“一全二正弦，三切四余弦”判断正负； 拓展考法：判断点所在象限 分别判断横坐标、纵坐标正负，横正纵正为一象限，以此类推。 题型4：判断三角函数值的符号 12．【多选】（2026高一·四川自贡·期中）给出的下列函数值中符号为负的是（    ） A．cos B． C．tan 2 D．sin 5 13．（2026高一·江苏·专题练习）若角的终边过点，则（　　） A． B． C． D． 14．（2026·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2026高一·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（2026高一·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 17．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则点P所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2026高一·江苏连云港·阶段检测）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 （三） 公式一的应用 三步化简法 1.大化小：角度减去，转化为内角； 2.定符号：判断化简后角所在象限，确定三角函数正负； 3.代特殊值：、、、、、直接代入特殊三角函数值计算。 题型5：公式一的应用 19．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 20．（2026高一·北京·期中）（   ） A． B． C． D． 21．（2026高一·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 22．（2026高一·黑龙江佳木斯·期末）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2026高一·全国·专题练习）的值为________． 24．（2026高一·全国·课后作业）求下列各式的值． (1)； (2). （四） 三角函数求值 情况1：已知，求 1.平方关系开方：； 2.根据所在象限，确定根号前正负号； 3.商数关系计算：。 情况2：已知，求 联立方程组： 解出两组解后，结合角的象限取舍符号。 题型6：同角三角函数基本关系的应用 25．（2026高一·山东济南·阶段检测）若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026高一·辽宁辽阳·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 28．（2026高一·全国·专题练习）若，，则_____. （五） sinα±cosα，sinαcosα的应用 核心万能恒等式 符号快速判定技巧 1.：角终边在直线上方；反之小于0； 2.：角终边在直线上方；反之小于0。 解题流程 1.已知其中一个式子，两边平方求出； 2.开方求剩余式子时，必须结合角范围判断正负，不能直接保留。 题型7：sinα±cosα，sinαcosα的应用 29．（2026高一·北京·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 30．【多选】（2026高一·福建莆田·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 31．（2026高一·上海嘉定·阶段检测）已知，且，则______． 32．（2026高一·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·上海·期中）已知，，则的值为___________． 34．（2026高一·山东青岛·阶段检测）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2026高三·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． （六） 齐次式求值 两类标准齐次模板 1.一次分式齐次式（分子分母均一次弦函数） 2.二次整式齐次式（无分母，补做分母） · 分子分母同除以，全部转化为后代入计算。 关键前提 只有分子分母三角函数次数相同时，才能弦化切。 题型8：利用齐次式化简或求值 36．【多选】已知角终边上， 且，则的值可能为（   ）． A． B． C． D． 37．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 38．（2026高一·江西萍乡·期中）已知，则__________． 39．（2026高一·云南文山·期末）角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·广西·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 41．（2026高三·广东广州·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． （七） 利用同角三角函数关系式化简与证明 一、三角函数式化简 四大通用化简手段 1.切化弦：全部转化为，统一函数名称； 2.1的代换：，用于升次、降次构造齐次式； 3.去根号：，根据角所在象限去掉绝对值符号； 4.因式分解：平方差、完全平方公式分解，约分消去同类项。 化简标准 函数名最少、项数最少、无分母、无根号。 二、证明三角恒等式 五种主流证明方法（由简到繁） 1.由繁入简法：从式子结构复杂的一侧，化简推导到简单一侧； 2.左右归一法：左右两边分别化简，得到完全相同的中间式子； 3.作差法：证明「左边右边」，等式成立； 4.作商法：两边不为0时，证明「」； 5.等价变形法：分式等式交叉相乘，转化整式等式证明。 通用万能技巧 全程切化弦，配合消元化简。 题型9：三角函数式的化简 42．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 43．（2026高一·全国·课后作业）已知 ，则的值为________． 44．（2026高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 45．（2026高三·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 46．（2026高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1); (2)． 题型10：证明三角恒等式 47．（2026高一·全国·单元测试）求证:. 48．（2026高一·上海浦东新·开学考试）证明：． 1．（2026高二·天津·阶段检测）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．（2026高一·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，角为第三象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·江苏常州·阶段检测）已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026高一·贵州黔南·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·河南南阳·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 9．（2026高一·广西桂林·阶段检测）若角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一·内蒙古乌兰察布·阶段检测） cos2x等于（    ） A．tan x B．sin x   C．cos x D． 11．（2026高二·甘肃定西·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·河南信阳·阶段检测）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2026·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．【多选】（2026高一·陕西汉中·期中）直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D．是第四象限角 16．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高一·辽宁·期中）若，则α可以是（    ） A． B． C． D． 18．（2026高三·江苏徐州·期中）已知，则__________. 19．（2026·北京房山·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 20．（2026高一·江苏盐城·阶段检测）已知，则__________. 21．（2026高一·全国·专题练习）已知，，其中，则的值为______. 22．（2026高一·全国·单元测试）若，化简：________． 23．（2026高一·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两个根（） (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值． 24．（2026高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 25．（2026·河北沧州·模拟预测）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 26．（2026高一·江苏泰州·阶段检测）已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. (1)求的值； (2)求的值． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $