5.3 诱导公式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦必修第一册5.3诱导公式，承上任意角三角函数定义，启下三角函数图象与性质。通过复习周期公式一（如sin390°转化为sin30°），再以150°、210°、-60°等角提问引出主题，搭建前后知识学习支架。 以单位圆对称性为载体推导公式（如探究终边关于原点、x轴等对称点得出公式二至六），培养几何直观与推理能力。“奇变偶不变”口诀系统记忆，应用举例涵盖求值、化简等，提升数学表达与问题解决能力，助力教师高效教学，学生深化理解。

必修第一册 教学设计-2026-2027学年 数学 人教A版 5.3 诱导公式 高一 教材分析： 本节课是人教A版必修第一册第五章第三节内容，安排在任意角三角函数定义之后。教材以单位圆为载体，借助圆的对称性，系统推导出公式二至公式六共五组诱导公式，连同周期公式一共同构成完整的诱导公式体系。本节知识上承三角函数定义，下启三角函数图象与性质，是化简任意角三角函数值的核心工具。 教学重难点： 教学重点：六组诱导公式的记忆与运用，把任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值。 教学难点：诱导公式的推导过程即单位圆对称性的运用；±α公式中正弦、余弦互换规律及符号的确定。 教学过程： 教学流程按复习引入、探究新知、概念形成、概念深化、应用举例、归纳总结与课后作业的课堂时间顺序展开。 一、引言 教师引导学生回顾周期公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα（k∈Z），并提问：sin390°的值是多少？学生利用公式一将其化为sin30°=。 教师追问：若角不是2π的整数倍叠加锐角，比如150°、210°、−60°，能否也转化为锐角三角函数？由此引出本课主题——诱导公式。 二、研究探讨 教师在直角坐标系中画出单位圆，设角α终边与单位圆交点为P(cosα, sinα)，引导学生利用圆的对称性，分别探究终边关于原点、x轴、y轴对称的角与角α的关系。 探究一：终边关于原点对称。点P(cosα, sinα)关于原点对称的点为P'(−cosα, −sinα)，该点又是角π+α的终边与单位圆交点，故cos(π+α)=−cosα，sin(π+α)=−sinα。 探究二：终边关于x轴对称。点P关于x轴对称的点为P''(cosα, −sinα)，该点又是角−α的终边与单位圆交点，故cos(−α)=cosα，sin(−α)=−sinα。 探究三：终边关于y轴对称。点P关于y轴对称的点为P'''(−cosα, sinα)，该点又是角π−α的终边与单位圆交点，故cos(π−α)=−cosα，sin(π−α)=sinα。 探究四：终边关于直线y=x对称。点P(cosα, sinα)关于直线y=x对称的点为P''''(sinα, cosα)，该点又是角−α的终边与单位圆交点，故sin(−α)=cosα，cos(−α)=sinα。 三、概念形成 综合上述探究，教师板书六组诱导公式。公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα（k∈Z）。 公式二：sin(π+α)=−sinα，cos(π+α)=−cosα，tan(π+α)=tanα。 公式三：sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα，tan(−α)=−tanα。 公式四：sin(π−α)=sinα，cos(π−α)=−cosα，tan(π−α)=−tanα。 公式五：sin(−α)=cosα，cos(−α)=sinα。 公式六：sin(+α)=cosα，cos(+α)=−sinα。利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 公式一至公式六都叫做诱导公式。利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按“负角化正角、大角化小角”的步骤进行。 四、概念深化 教师引导学生观察公式一至公式四，提问：这四组公式的共同规律是什么？学生讨论后发现，等号两边的函数名不变，符号取决于将α视为锐角时左端角所在象限的原函数符号。教师总结为“函数名不变，符号看象限”。 教师再引导学生观察公式五、公式六，提问：这两组公式与前面四组有何不同？学生发现等号两边函数名发生了正弦与余弦的互换。教师补充规律：±α的公式“函数名变，符号看象限”。 教师强调记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇偶指的倍数，变与不变指函数名是否正余互换。 五、应用举例 例1：求sin(−)的值。 解析：利用公式三，sin(−α)=−sinα，将α=代入，得sin(−)=−sin()=−。答案：−。 例2：求cos()的值。 解析：=π−，利用公式四，cos(π−α)=−cosα，将α=代入，得cos()=cos(π−)=−cos()=−。答案：−。 例3：化简sin(+α)·cos(π+α)−cos(π−α)·sin(−α)。 解析：逐项化简，sin(+α)=cosα，cos(π+α)=−cosα，cos(π−α)=−cosα，sin(−α)=−sinα。代入原式得cosα·(−cosα)−(−cosα)·(−sinα)=−cos²α−cosα·sinα=−cosα(cosα+sinα)。答案：−cosα(cosα+sinα)。 例4：已知sin(−α)=m，求cos(+α)的值。 解析：观察角度关系，+α=+α−+−α。因−=−==，故cos(+α)=cos(+(−α))。由公式sin(+β)=cosβ变形，sin(+β)=−cosβ，故原式=−cos(−α)。又sin(−α)=m，需将cos(−α)与之关联：sin(−α)=sin(−(+α))=cos(+α)，故cos(+α)=m。而−α=+(−α)，cos(−α)=cos(+(−α))=−sin(−α)。由cos(+α)=m，sin(−α)无直接关联。换用更简路径：+α−2π=+α，故cos(+α)=cos(+α)。因sin(−α)=cos(+α)=m，故cos(+α)=m。答案：m。 六、归纳总结 教师与学生共同回顾本课内容。1. 诱导公式共几组？分别对应怎样的对称关系？答案：共六组，公式一对应终边相同，公式二对应终边关于原点对称，公式三对应终边关于x轴对称，公式四对应终边关于y轴对称，公式五对应终边关于直线y=x对称，公式六由公式五结合公式二或三推得。 2. 诱导公式的记忆口诀是什么？答案：奇变偶不变，符号看象限。 3. 求任意角三角函数值的一般步骤是什么？答案：负角化正角，再大角化小角，最终化为锐角三角函数求值。 七、课后作业 1. 求下列各三角函数值：sin(−)，cos()，tan()。答案：sin(−)=−sin()=−；cos()=cos(π+)=−cos()=−；tan()=tan(π+)=tan()=。 2. 化简：cos(+α)·sin(π−α)+sin²(−α)−cos²(π+α)。答案：cos(+α)=−sinα，sin(π−α)=sinα，sin(−α)=−sinα，cos(π+α)=−cosα。代入得(−sinα)·sinα+(−sinα)²−(−cosα)²=−sin²α+sin²α−cos²α=−cos²α。 3. 已知cos(−α)=m，求sin(+α)的值。答案：+α−2π=−(−α)，故sin(+α)=sin(−(−α))=−sin(−α)。又cos(−α)=sin(−(−α))=sin(+α)，而sin(−α)与sin(+α)无直接关系。改用另一路径：+α=+(+α)，sin(+α)=sin(+(+α))=−cos(+α)。由cos(−α)=m及cos(−α)=cos()cosα+sin()sinα=(cosα+sinα)=m，而cos(+α)=(cosα−sinα)，两者乘积cos(−α)·cos(+α)=(cos²α−sin²α)=cos(2α)，信息不足。换更简路径：+α={2π}−(−α)，sin(+α)=sin(2π−(−α))=−sin(−α)。由cos(−α)=sin(−(−α))=sin(+α)=m，但需sin(−α)。因sin²(−α)+cos²(−α)=1，故sin(−α)=±，从而sin(+α)=∓。答案：±（符号取决于α具体取值）。 学科网（北京）股份有限公司 $