精品解析：江苏扬州市江都区八校联谊2026-2027学年 八年级数学第一学期第一次学情自测试卷

八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 到三角形各边距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 6. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 7. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 8. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______． 10. 如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是______． 11. 中，，，则的周长为______． 12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为_______． 14. 在中，若斜边上的中线为3，斜边上的高为2，则的面积是________ 15. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为_________． 16. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为______． 17. 如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 18. 如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，试说明． 解：∵，（已知） ∴．（ ） ∵， ∴ ．（等式性质）即 ． 在与中， ∴，（ ） ∴ ．（ ） ∴．（同位角相等，两直线平行）​ 20. 已知：如图，，，，，垂足分别为E，F，求证：． 21. 如图，在中，点在边上，求证：． 22. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 23. 如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，则________． 25. 已知等腰三角形中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒时，线段长度取到最小值． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：在和中， ． 3. 如图，已知，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 到三角形各边距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 6. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的内角的情况分类讨论即可. 【详解】解:若30°是等腰三角形的顶角 ∴等腰三角形的底角为: ; 若30°是等腰三角形的底角, ∴等腰三角形的底角为30° 综上所述: 这个等腰三角形的底角为或 故选C. 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质,根据等腰三角形的内角的情况分类讨论是解决此题的关键. 7. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，即平分， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短得出的最小值为的长度，则，再根据等腰三角形的三线合一性质得到,然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图过程知垂直平分， ∴， ∴，当点A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵长度的最小值为10， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴, ∵面积为40， ∴，解 得． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定即可完成． 【详解】解：由题意知， 若添加，则由可判定． 10. 如图，很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 11. 中，，，则的周长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出的度数，判定为等边三角形，利用边长计算周长． 【详解】解：∵三角形内角和为，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，由的周长即可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴， ∵的周长是， 即， ∴． 13. 如图，在中，，平分交于点D，若，，则点D到的距离为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得点D到的距离等于，根据已知求得即可． 【详解】解：∵，平分， ∴点D到的距离等于， ∵，， ∴， ∴点D到的距离是4． 故答案为：4． 14. 在中，若斜边上的中线为3，斜边上的高为2，则的面积是________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．先根据直角三角形斜边上中线性质求出AB，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，是斜边的中线， ∴ ∴的面积是 故答案为：6 15. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】18或21 【解析】 【分析】分边长为8的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， ∴这个等腰三角形的周长为18或21． 故答案为：18或21． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键． 16. 如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：分别平分，， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长为15． 故答案为：15． 17. 如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接， 则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】可证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，试说明． 解：∵，（已知） ∴．（ ） ∵， ∴ ．（等式性质）即 ． 在与中， ∴，（ ） ∴ ．（ ） ∴．（同位角相等，两直线平行）​ 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；；；；全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴．（等式性质）即． 在与中，， ∴，（） ∴．（全等三角形的对应角相等） ∴．（同位角相等，两直线平行）​ 20. 已知：如图，，，，，垂足分别为E，F，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由题意可得，再利用即可证明． 【详解】略． 21. 如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】 证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】略 22. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 【答案】 （1）如图，点P为所作； （2）10． 【解析】 【分析】（1）作BC的垂直平分线和∠ABC的平分线，它们的交点为P点； （2）设∠PBC=x，利用角平分线的定义得到∠ABC=2∠PBC=2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB=PC，则∠PCB=∠PBC=x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值． 【详解】解：（1）略 （2）设∠PBC=x， ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠PBC=2x， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=x， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴2x+x+50°+100°=180°，解得x=10°． 即∠PBC的度数为10°． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质． 23. 如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） ∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）60° 【解析】 【分析】（1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）利用（1）中全等三角形的性质可得：，再根据“八字型”证明即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． 24. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，则________． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵分别是边上的高， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 又∵为中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由直角三角形的性质得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）由三角形内角和定理得，又由（）可得，得到，，即得到，，进而可得，再根据平角的定义即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（）可得，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 25. 已知等腰三角形中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒时，线段长度取到最小值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． ∵，， ∴； （2） 证明：在线段上取点T，使． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得出，，，即可证； （2）在线段上取点T，使．由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出，从而可证为等边三角形，结合题意易证 ，得出，即； （3）先确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，然后根据角直角三角形的性质求解，再由求出，即可求解时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： 由（2）得：是等边三角形，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴可知在运动过程中，所在的直线平分，即点E在的角平分线l上运动，如图， ∴当时，取到最小值，此时，此时点D与点E在直线同侧， ∵中， ， ∴． ∵中， ， ， ∴ ∴根据（2）的结论，有， ∴ ∴当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 26. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．线段与的数量关系为 ．（直接写出） 【答案】【问题情境】； 【类比解答】； 【拓展延伸】（1）， 证明：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到，根据垂直的性质得到，再利用证明即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； 拓展延伸：（1）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论；（2）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（1）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】解：问题情境： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 故答案为：； 类比解答： 延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； 拓展延伸： （1）略 （2）如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（1）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $