-26.2 二次函数的图象和性质 同步训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

数学 · 九年级上（人教版） 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数 的图象和性质 基础提优题 知识点1 二次函数 的图象 1．关于二次函数 的图象，下列说法错误的是　（　　） A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与 的图象关于 轴对称 2．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是　（　　） A B C D 3．如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是①；②；③，则 的大小关系是＿＿＿＿. 知识点2 二次函数 的性质 4．若点 都在二次函数 的图象上，则　（　　） A. B. C. D. 5．如图，正方形的边长为 ，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出二次函数 与 的图象，则阴影部分的面积是　（　　） A. B. C. D. 6．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则实数 的值可能是＿＿＿＿.（写出一个即可） 7．已知抛物线 ，当 时， 的取值范围是＿＿＿＿. 8．已知 是二次函数，且当 时， 随 的增大而增大. (1)求 的值，并画出它的图象； (2)写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)如果点 是此二次函数图象上的一点，若 ，求 的取值范围. 综合应用题 9．如图，直线 与抛物线 交于 两点，且点 的横坐标是 ，点 的横坐标是 ，则以下结论中，正确的有 ①抛物线 的顶点一定是原点；②当 时，直线 与抛物线 的函数值都随着 的增大而增大；③ 的长度可以等于 ；④ 有可能成为等边三角形；⑤当 时，.　（　　） A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤ 10．如图，分别过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，交抛物线 于点 ，则 的值为　（　　） A. B. C. D. 11．如图，已知四个点的坐标分别为 ，若抛物线 与四边形 的边没有交点，则 的取值范围为＿＿＿＿. 12．如图， 为抛物线 上一动点. 若直线 经过 轴上一点 ，且平行于 轴，点 的坐标为 ，过点 作 于点 . (1)在对称轴上是否存在一定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. (2)若点 的坐标为 ，则 的最小值为＿＿＿＿. 创新拓展题 13．在平面直角坐标系中，已知点 在 轴正半轴上. (1)如图①，已知菱形 的顶点 在二次函数 的图象上，且 轴，则菱形的边长为＿＿＿＿； (2)如图②，已知正方形 的顶点 在二次函数 的图象上，点 在 轴的同侧，且点 在点 的左侧，设点 的横坐标分别为 ，探究 是否为定值？ 26.2.2 第1课时 二次函数 的图象和性质 基础提优题 知识点1 二次函数 的图象 14．对于抛物线 与 的说法如下，则正确的有 ①对称轴都是 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同　（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15．函数 和 （ 为常数，且 ）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　（　　） A B C D 16．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围. 剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的 四点落在抛物线 上，则下列结论正确的是　（　　） A. B. C. D. 知识点2 二次函数 的性质 17．对于二次函数 ，当 时， 的取值范围是　（　　） A. B. C. D. 18．已知关于 的二次函数 有最值 ，且当 时， 随 的增大而减小，则该二次函数的解析式是＿＿＿＿. 知识点3 抛物线 与 间的关系 19．下列各组抛物线中能够通过互相平移得到的是　（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 20．如图，将抛物线 沿 轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线 . 若曲线段 平移至曲线段 ，曲线段 所扫过的区域为阴影部分，则阴影部分的面积是＿＿＿＿. 综合应用题 21．已知抛物线 上有两点 ，若 ，则下列结论正确的是　（　　） A. B. C. 或 D. 以上都不对 22．如图①，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平的方向反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”. 抛物线的焦点位置有一种特性：如图②，抛物线上任意一点 到焦点 的距离 的长，等于点 到一条平行于 轴的直线 的距离 的长. 若抛物线的解析式为 ，那么此抛物线的焦点坐标为　（　　） A. B. C. D. 23．如图，正方形 的顶点 在抛物线 上，点 在 轴上. 若 两点的横坐标分别为 ，则下列结论正确的是　（　　） A. B. C. D. 24．如图，点 为抛物线 的顶点，点 的坐标为 ，直线 交抛物线 于另一点 . (1)求点 的坐标； (2)平行于 轴的直线 交直线 于点 ，交抛物线 于点 ，平行于 轴的直线 交直线 于点 ，交抛物线 于点 ，若 ，求 的值. 创新拓展题 25．如图，已知抛物线 过点 ，过定点 的直线 与抛物线交于 两点，点 在点 的右侧，过点 作 轴的垂线，垂足为 . (1)求抛物线的解析式. (2)当点 在抛物线上运动时，判断线段 与 的数量关系（用“”“”或“”表示），并说明理由. (3)若 ，在直线 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及 面积的最大值；若不存在，请说明理由. 26.2.2 第2课时 二次函数 的图象和性质 基础提优题 知识点1 二次函数 的图象 26．二次函数 的图象大致是　（　　） A B C D 27．对于抛物线 ，下列说法正确的有 ①开口向上；②顶点坐标为 ；③对称轴为直线 ；④与 轴的交点坐标为 .　（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 28．在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能是　（　　） A B C D 知识点2 二次函数 的性质 29．若抛物线 上有三个点 ，则 的大小关系为　（　　） A. B. C. D. 30．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，则当 时， 的值为　（　　） A. B. C. D. 31．三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征：小明：函数图象的顶点在 轴上；小智：函数图象的对称轴是直线 ；小文：函数有最大值. 请你写出一个符合上述条件的二次函数解析式：＿＿＿＿. 知识点3 抛物线 与 间的关系 32．把抛物线 向右平移 个单位长度，则平移后所得抛物线对应的函数解析式为　（　　） A. B. C. D. 33．在平面直角坐标系中，若抛物线 平移后经过原点 ，则平移的方式可能是　（　　） A. 向上平移 个单位长度 B. 向下平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 综合应用题 34．设函数 ，直线 与函数 的图象分别交于点 ，则下列选项，正确的是　（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 35．已知二次函数 ，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值 的最大值为 ，则常数 的值为　（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 交于点 ，抛物线 交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线与两条抛物线分别交于 两点，若点 是 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接 ，则四边形 的面积为＿＿＿＿. 37．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，连接 . 若函数 的图象与线段 有交点，则 的取值范围是＿＿＿＿. 38．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 的顶点为 ，且经过点 . (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若点 在该抛物线上，求 的值； (3)请在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的值最小，直接写出点 的坐标. 创新拓展题 39．如图，已知二次函数图象的顶点为 ，直线 与该二次函数的图象交于 两点，其中 点的坐标为 ， 点在 轴上. (1)求 的值及这个二次函数的解析式. (2)连接 ，求 的面积. (3)若 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线分别与直线 、二次函数的图象交于 两点. 当 时，求线段 长度的最大值. 26.2.2 第3课时 二次函数 的图象和性质 基础提优题 知识点1 二次函数 的图象 40．抛物线 的顶点一定不在　（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 41．若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能是　（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 知识点2 二次函数 的性质 42．已知点 都在二次函数 的图象上，则 的大小关系是　（　　） A. B. C. D. 43．若二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围为　（　　） A. B. C. D. 44．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为　（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 45．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于 轴对称，左轮廓 所在抛物线的解析式为 ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为　（　　） A. B. C. D. 46．如图，点 在抛物线 上，且在对称轴的右侧. (1)写出抛物线 的对称轴和 的最大值，并求出 的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及 的一段，分别记为 . 平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数解析式恰好为 . 求点 移动的最短路程. 综合应用题 47．已知抛物线 ，顶点为 ，将抛物线 沿水平方向向右平移 个单位长度，得到抛物线 ，顶点为 ， 与 相交于点 ，若 ，则 　（　　） A. B. C. 或 D. 或 48．如图，抛物线 的顶点在 的边 所在的直线上运动， 的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，若抛物线与 的边 都有公共点，则 的取值范围是　（　　） A. B. C. D. 49．如图，已知点 在二次函数 的图象上，且 . (1)若二次函数的图象经过点 . ①求这个二次函数的解析式；②若 ，求顶点到直线 的距离. (2)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为 ，点 在对称轴的异侧，请直接写出 的取值范围. 创新拓展题 50．在平面直角坐标系中，规定：抛物线 的关联直线为 . 例如：抛物线 的关联直线为 ，即 . 如图，对于抛物线 . (1)该抛物线的顶点坐标为＿＿＿＿，关联直线为＿＿＿＿，该抛物线与其关联直线的交点坐标为＿＿＿＿和＿＿＿＿； (2)点 是抛物线 上一点，过点 的直线 垂直于 轴，交抛物线 的关联直线于点 . 设点 的横坐标为 ，线段 的长度为 ，求当 随 的增大而减小时， 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 26.2.3 二次函数 的图象和性质 基础提优题 知识点1 二次函数 与 间的关系 51．将二次函数 化成 的形式是　（　　） A. B. C. D. 52．把二次函数 化为 的形式，那么 ＿＿＿＿. 知识点2 二次函数 的图象和性质 53．二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象一定不经过　（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 54．在平面直角坐标系中，两点 在抛物线 上，则下列结论中正确的是　（　　） A. 当 且 时，则 B. 当 时，则 C. 当 且 时，则 D. 当 时，则 55．已知二次函数 的自变量 与函数值 之间满足的数量关系如下表，则 的值为＿＿＿＿. 知识点3 二次函数 的图象与 符号间的关系 56．已知二次函数 的图象如图所示，则　（　　） A. B. C. D. 57．如图，抛物线 经过点 ，且对称轴是直线 ，则下列结论正确的有 ①；②；③若 是抛物线上的两点，则当 时， 的取值范围是 ；④若抛物线与 轴交于点 ，当 时，函数 的最大值与最小值的差为 ，则 的值为 或 .　（　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ② 综合应用题 58．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器 的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器 消耗的电功率 随电流 变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器 消耗的电功率 最大为　（　　） A. W B. W C. W D. W 59．将二次函数 配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大. 如图，在矩形 中，点 ，点 ，则二次函数 的图象与矩形 有交点时， 的取值范围是　（　　） A. B. C. D. 60．在平面直角坐标系中，将抛物线 为常数，且 沿 轴向右平移 个单位长度得到抛物线 ，点 均在抛物线 上，且位于抛物线 对称轴的两侧. 若 ，则 的取值范围为＿＿＿＿. 61．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 . (1)已知点 在抛物线上，其中 . 若 且 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由； (2)若 ，将抛物线向上平移 个单位长度得到的新抛物线与直线 交于 两点，直线与 轴交于点 ， 为 的中点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 . 求证：. 创新拓展题 62．已知二次函数 的图象经过 两点，其中 为常数，且 . (1) ＿＿＿＿， ＿＿＿＿. (2)若该二次函数的最小值是 ，且它的图象与 轴交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 . ①求该二次函数的解析式，并直接写出点 的坐标. ②如图，在 轴左侧该二次函数的图象上有一动点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，与直线 交于点 ，连接 . 是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出此时点 的横坐标；若不存在，请说明理由. 参 考 答 案 1．C 2．D 3． 4．C 5．C 6．（答案不唯一） 7． 8． (1)【解】根据题意，得 ，解得 或 （舍去）. ∴二次函数的解析式为 . (2)该函数图象的对称轴为 轴，顶点坐标为 . (3)∵点 在此二次函数图象上，且 ，∴当 时 ；当 时 . ∴当 时， 或 . 9．B 10．A 11． 或 或 12． (1)【解】存在一定点 ，使得 恒成立. 过点 作 轴于点 . 设点 的坐标为 ，易知 . 又 ，∴在 中，. ∴，∴点 的坐标为 . (2). 由 (1) 得 ，∴ 的最小值为 的最小值，即点 的纵坐标加 ，最小值为 . 13． (1). 设菱形边长为 ，则 ，，代入 得 ，解得 ，∴边长为 . (2) 为定值. ∵，四边形 是正方形，可证 ，得 ，即 . ∵点 在 轴同侧，，∴，为定值. 14．C 15．D 16．C 17．C 18． 19．D 20．. 连接 ，由平移的性质可知四边形 是平行四边形，当 时解得 ，∴，抛物线向下平移了 个单位长度，∴阴影部分的面积是 . 21．D 22．C 23．B 24． (1)【解】对于 ，当 时 ，∴. 设直线 的解析式为 ，代入 得 ，解得 ，∴直线 . 联立 ，解得 或 ，∴点 的坐标为 . (2)∵，∴. 又 ，∴. ∵，∴，解得 ，，. 25． (1)【解】把 代入 ，得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为 . (2). 理由：设 ，∵，∴，∴. ∵ 轴于 ，∴，∴. (3)存在. 作 轴交 于点 ，当 时直线 ，联立解得 . 设 ，则 ，，. ∴当 时面积最大，最大值为 ，此时 . 26．B 27．C 28．B 29．B 30．D 31．（答案不唯一） 32．D 33．D 34．C 35．D 36．. ∵ 轴且经过点 ，∴，∴. ∵，∴. ∴. 37． 38． (1)【解】对于 ，当 时 ；当 时 ，∴. ∵抛物线顶点为 ，∴. 又∵经过 ，∴，. ∴解析式为 . (2)∵ 在抛物线上，∴，解得 ，即 的值为 或 . (3)点 的坐标为 . 设点 关于对称轴 的对称点为 ，连接 交对称轴于点 ，此时 最小. 直线 ，联立 得 ，∴. 39． (1)【解】设解析式为 . ∵ 在抛物线上，∴，解得 ，∴解析式为 . ∵ 在直线 上，∴，解得 . (2)由 (1) 知直线 ，∴，. 过 作 轴于 ，. . (3)由题知 ，则 ，. ∴线段 长度的最大值是 . 40．B 41．A 42．C 43．A 44．D 45．B 46． (1)【解】∵抛物线 ，∴对称轴为直线 ， 的最大值为 . 当 时，，解得 或 . ∵点 在对称轴的右侧，∴. (2)∵平移后的抛物线解析式为 ，∴平移后的顶点坐标为 . ∵平移前抛物线的顶点坐标为 ，∴点 移动的最短路程为 . 47．A 48．D 49． (1)【解】①∵图象经过 ，∴，解得 ，∴解析式为 . ②由题知顶点 ，对称轴 . ∵，∴ 关于对称轴对称，，又 ，得 ，. ∴顶点到直线 的距离为 . (2). 50． (1)顶点坐标 ；关联直线 ；交点坐标 和 . (2)【解】设 . 当 时，，此时 随 的增大而减小；当 时，，当 时 随 的增大而减小；当 时 随 的增大而增大. 综上，当 时 ；当 时 . 51．A 52． 53．D 54．A 55． 56．C 57．B 58．D 59．B 60． 61． (1)【解】. 理由：∵抛物线经过 ，∴. ∵，∴. ∵，∴对称轴 . ∵，∴，又 ，∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离. ∵开口向上，∴. (2)【证明】若 ，则 ，向上平移 个单位得新抛物线 . 设 ，将 代入 得 . ∵ 为 中点，∴，. ∴，. ∴. 62． (1)，. (2)【解】①∵，∴，对称轴 . ∴，. ∵，∴，∴解析式为 ，. ②存在，点 的横坐标为 或 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $