陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高三数学大练习（3）

西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期 高三数学大练习(3)参考答案 命题人：张雷审题人：任纯益 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每个小题给出的四个选 项中只有一项符合题目的要求) 1.A 2.A 3.c 4.B 5.D 6.C 7.c 8.D 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每个小题给出的四个选 项中有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的 得0分) 9.BCD 10.AC 11.ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12.12 13.-1 14.[1,+∞） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(1)设事件A表示“输入的问题表达清晰”，A表示“输入的问题表达不清晰”，B表示“智能客服的回答 被采纳”。 由题意得： P(A)=吉，P(4=1-P(A)=专 P(BA)=P()= 由全概率公式： P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(B A) 4711 ×8+5×2 28,4 40+40 4 2)由题意，3个问题相互独立，每个问题回答被采纳的概率均为手，故X~B(3,号)，X的可能取值 为0,1,2,3。 ①分布列： P(X=0)=Cg× ()() 125 P(X=1)=C× ()×() 2 P(X=2)=C5× ()x() P(X=3)=C× ()x() 64 125 X的分布列为 X 0 2 1 48 125 酱 125 125 ②期望： E(X)=3×4=12 55 ③方差： D0=3×告×号器 综上，(1)智能客服的回答被采纳的概率为号：（②）X的分布列如上，期望为号，方差为号。 5 251 16.(1)证明：由BC=2,AD=4,点M为AD的中点得BC=DM. …(1分） 又BCMD, 所以四边形BCDM为平行四边形， 所以BM∥CD.…(3分) 又CDC平面CDE,BMt平面CDE 所以BM平面CDE.…(5分) (2)解：由(1)知BM=CD,又CD=AB,所以BM=AB=2, 同理易知AF=FM=ED=√10.…(7分) 如图，取AM的中点O,连接OB OF,则OF⊥AM,OB⊥AM,OF= 3,0B=√5，又BF=25 所以BF2=OF2+OB2, 所以OB⊥OF,…(9分) 所以可以0为坐标原点，OB, 0D,0F所在直线分别为x,y,z M D y 轴建立如图所示的空间直角坐xB C 标系，则F(0,0,3),B(5,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3), 所以FB=(5,0,-3),BM=(-√5,1,0)，ME=(0,1,3). …(11分）》 设平面FBM的法向量为m=(x,y,z), (FB·m=√3x-3z=0, 由 BM·m=-√3x+y=0, 取z=1,可得x=√3，y=3,则m=(3,3,1). 同理可取平面BME的一个法向量为n=(3,3,-1), m·n11 所以cos(m,n〉= …(13分)） m11nl131 /112 所以sin(m,n)=√1-13) 45 13 即二面角F-BM-E的正弦值为45 …(15分)） 13 17.1) 由二倍角公式得： sin 2B 1+cos2B tan B 已知等式整理得： cos(A+B)=sin B 结合内角范围得A+2B=受。 已知C=,故A+B=吾，联立得： B=受-5=君 (2) 由A+2B=5得A=5-2B,C=+B,0<B<年。 由正弦定理： a2 sin A+sinB cos22B-+-sinB c2 sin2C cos2 B 化简得： a2+b2 =4cos2 B+- cos2B -5 由基本不等式： coco 当且仅当os2B=号时等号成立。 故2+的最小值为4V2-5。 c2 18.(1) 由题意得c=v3,故a2=b2+3。 将点V8号代入横圈方程后+长-1，得 3 1 +3+炉=1 整理得4b4-b2-3=0,解得影2=1(（=-3舍去)，故a2=4。 A 椭圆C的标准方程为 +2=1。 4 (2) 证明：由(1)得A1(-2,0),A2(2,0),设P(x0,0)为椭圆上异于A1、A2的点，则： 牙财- 0 eA0+2pAF2了 4-0 4= 1 kPA·kPA2= 0-4哈-44 故直线PA1、PA,的斜率之积为定值。 (3) 设直线的方程为x=my-3,代入椭圆方程得： (my-3)2+42=4 整理得(m2+4)y2-6my+5=0 △=36m2-20(m2+4)=16m2-80>0,故m2>5。 设P(x1h),Q(x2,2,则： 6m 5 y1+2= m2+4?h欢= m2+4 M-购=V仙+2P-4w欢=4vm2-5 m2+4 |A2B=2-(-3)=5 S4网-号×A×h-别 -2x6x 4vm3-5 10Vm2-5 m2+4 m2+4 令t=Vm2-5(t>0),则m2=t2+5,代入得： 10t 5=2+9 由基本不等式得t2+9≥6t,当且仅当t=3时等号成立，故： .10t5 ≤6t=3 当t=3时，m2=14>5,满足条件。 故△A,PQ的面积最大值为点。 19.(1)求导得f'(x)=2 sinz cosx sin2z+sin2x(2cos2x) =sin 2a sin 2x+2 sin2x cos 2x =sin2 2x+(1-cos 2z)cos 2x sin2 2x cos 2x-cos2 2 =1-cos2 2x+cos 2x-cos2 22 =1+cos 2x-2 cos22z =-(2cos222-cos 2x-1) =-(2cos2x+1)(cos2x-1) 或者化简为： f()=cos 2x-cos 4x =2sin 3x sin x. 当x∈(0，π）时，sinx>0. 令f'(x)>0,即sin3x>0. 因为x∈(0，π)，所以3x∈(0,3π) 由血3>0得3红E@列u2x3.即ze0u(动 令f'(x)<0,即sin3x<0. 由血<0得3低2别.印2E(后 所以九回)在O和（宁可上单调递抛，在（后行）上单调送流 (2)由(1)可知，在区间0，元上， 儿四)在工=3处取得极大值，也是最大值 得=m背答=x98 2 8 f)在t=2”处取得极小值，也是最小值： 3 8 又f0)=0,f(x)=0. 所以回在包司上的面城为3， 因为f(x+π)=sin2(x+π)sim(2x+2r)=sin2xsin2x=f(x), 所以f(x)是周期为π的周期函数. 故对任意xER,都有f(川≤，3 ⑧由a知m血24≤83-（学 8 将x分别替换为2,4，…，2m-z,可得： 1sm22zin4细≤(3p 2 sim24zsin8c≤（22 8in22zsin2”到≤(39 以上n个不等式相乘，得： |sim2zsin2 sin24r…sin232-zsin2d≤( 2 因为|sin2nx≤1，所以sin32nx≤|sin2"x. 故sin2xsin32xsin34x…sin32n-zsin32"x≤|sin2xsin32xsin34x…sin32n-zsin2z≤( 即(6sin2zsin22zsin24红…sin22zji<(Y3)pn 2 两边同时取号次方，得： sim2z6in2zsim24rsim22%z≤0Y3)i=(Y3)a= 3” 2 21 4n 即sin2xsin22xsin24x…sin22"x≤ 3n 4n西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期 高三数学大练习(3) 命题人：张雷审题人：任纯益 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，每个小题给出的四个选 项中只有一项符合题目的要求) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={xz=n2,n∈A},则AnB=(0 A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2} 2.复平面内，A,B,C三点对应的复数分别是2一i,3+i,一1十2i;若四边形ABCD是平行四边形，则点D对应的复 数为() A-2B.4iC.-2-iD.6-2i 2-1 3.已知函数f(四)=2：十1不等式f(✉)+f1-2)<0的解集为0 A(-0,) B(-o,1）C(1,+o） (3+∞) 4若a>1,设函数f口)=a2+E-4的零点为，g()=1og。十E-4的零点为，则}+1的取值范围0 A(经+∞) B.1,+0) c4+w)(3+o∞） 5.任意一个复数z=a+i(为虚数单位)均可以表示为z=r(cos0+isin0)的形式，由棣莫弗定理可知：若 1=r1(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin02),则a1·2=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02)l,已知 w三-号+3测1+w+w2+w3+…+w226=0 6E即微a)=he+V+可+。2在-a,网a>0)上的最大值与最小值分为M和m,侧数 g(x)=(M+m)x+[(M+m)x+1-1,函数g(x)图像的对称中心是(0 A(-1,-1) (1,)c(分-() 7.已知不等式c2-kx2+x之1血x+号血kk>0)恒成立，则k的最大值为0 A.e B.2e C.e2 D.2e2 8已知双曲线C:、】 Q2-萨=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为A,,过R的直线与C的左支交于A,B两点， |AF:|BF:BF=1:3:5,则C的离心率为(0 A.V5 B.V5 2 CVIO DV10 2 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每个小题给出的四个选 项中有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的 得0分) 9.我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W)受太阳光照强度等因素影响。 历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服从正态分布N1(120,36),在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗 Y服从正态分布N2(126,16)。则下列结论正确的有(0 (附：若随机变量Z服从正态分布N(,o2),则P(μ-0<Z<4+o)≈0.6827， P(4-2o<Z<4+2a)≈0.9545，P(4-3o<Z<4+3g）≈0.9973) A.E(2Y-1)=252B.D(2Y-1)=64C.P(X<138)>0.9D.P(X<126)<P(Y>120) 10.下列说法正确的是() A.若函数f(x)的定义域为[0,2，则函数f(2x)的定义域为0,1] x+1 B.y= 2 的最大值为 C.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)xm-1的定义域为R,则m=3 D.f(z)=1og2(x2-4x-5)的递减区间是(-0,2) 11.已知函数f(x) log2, 0<x<2 x2-8x+13,x≥2 ,若f(x)=a有四个不同的实数解1，x2,x3,x4,且满足 C1<x2<c3<x4,则下列命题正确的是() A.0<a<1 B1+2x2的取值范围是(3,2 \ C.x1+x2+x3+x4的取值范围是(10，+∞) D.2x1+x2的取值范围是2V2,3) 三、填空题（每题5分，共15分) 12.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别为AB,C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点。 13.若曲线划=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn,则 1og2025x1+10g2025c2+·+10g2025x2024= 14已知函数e)=e+1)s血z十cos,若对于任意的a,∈0，引(a≠小.均有 |f(x1)-f(x2)川<ae1一e2成立，则实数a的取值范围为。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(13分)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为g,当输入 的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2：已知输入的问题表达不清晰的概率为行” (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数。求X的分布列、期望及方 差。 16.(15分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， EF‖AD,BC‖AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FB=2V3,M为AD的中点 (1)证明：BM平面CDE: (2)求二面角F-BM-E的正弦值。 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知，cOsA sin 2B 1+sin A-1+cos 2B" 0若0=求B: ②)求02+ 一的最小值。 c2 1a0m创e照c:茶+兰-1a>b>0点(a) 其右焦点为F(V3,0),左、右顶点分别为A1,A2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P为椭圆C上任意一点（不与左、右顶点A1,A2重合），求证：直线PA1,PA2的斜率之积为定值，并求出该定 值： (3)若过点B(一3,0)的直线1与椭圆C交于P,Q两点，求△A2PQ的面积的最大值。 19.(17分)已知函数f(x)=sin2xsin2x (1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性： a明Vas5, 3” （3)设neN,证明：sin2xsin22xsin24r…sin22”2≤4n