第三章 函数的概念与性质单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 6．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 8．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 10．已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足 ，若，则________. 13．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 14．已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 16．（15分） 在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 17．（15分） 已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： (1)证明函数为偶函数； (2)判定函数的单调性并加以证明； (3)若，解不等式． 19．（17分） 对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 3．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 4．是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是定义在上的奇函数，得，. 对于A，成立，故A正确； 对于B，成立，故B正确； 对于C，令，则，不成立，故C不正确； 对于D，， 由，所以成立，故D正确. 5．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 6．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 7．若，且不恒为0，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 令，得，，故A，C错误； 令，得，故B正确； 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 8．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 10．已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 【答案】AC 【解析】由题意，的定义域为，值域为，故A正确， ，定义域并非实数，故B错误， 若，则，所以，故C正确， 减函数是对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有， 这里定义域仅三个值，并非区间，所以在定义域上不具有单调性，故D错误． 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足 ，若，则________. 【答案】 【解析】令，则，所以 ，所以 ， 因为 ，解得. 13．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 14．已知非空集合，，若函数为偶函数，则A的元素个数最多可能值为______. 【答案】3 【解析】因为为偶函数，所以对任意，有. 当时，. （i）若，则. 由得. 故可以属于. （ii）若，则. 由得，解得. 因此，的元素只可能是. 经验证，当时，为偶函数，此时的元素个数为，且无法再添加其他元素. 故的元素个数最多可能值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 【解析】（1）不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 16．（15分） 在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 【解析】（1）由题知， ，且. （2）由（1）知，， 令，解得， 又且， 所以香瓜至少种植个大棚，才能使获得的利润不低于万元. 17．（15分） 已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 18．（17分） 已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： (1)证明函数为偶函数； (2)判定函数的单调性并加以证明； (3)若，解不等式． 【解析】（1） 由于对定义域内任意，都有， 取，则， 取，则， 取，则，所以是偶函数 （2）在上单调递增，在上单调递减， 令，则，由时得， ∵， ∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增； （3）∵，. 由且在上单调递减； 当时，原不等式可化为：，则得； 当时，原不等式可化为：，即，得； 当时，由是偶函数可得或. 故原不等式的解集是：． 19．（17分） 对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【解析】（1）区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 第10页，共13页 第9页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $