第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖核心知识与素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合运算、不等式性质、基本不等式等|基础概念辨析，如不等式性质判断，培养逻辑推理（数学思维）| |多项选择题|3/18|一元二次不等式解集、条件最值|多角度考查，如含参不等式参数关系分析，发展批判性思维| |填空题|3/15|不等式解集、恒成立问题|简洁考查核心技能，如三元条件最值求解，体现数学语言表达| |解答题|5/77|集合综合、函数最值、实际应用（宇树科技利润）|分层设计，从基础运算到科技情境建模，如研发利润率问题，培养数学眼光与应用意识|

第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 4. 已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 5. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若在恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（     ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是 ． 13. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 14. 已知正数，，满足，则的最小值为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求函数的最小值. （2） 已知，且，求的最小值. 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2） 18. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B D A C A CD AD AC 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】C 由题意得，解得，即， 则. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】B 对A选项，当时不等式不成立,故A选项错误； B选项，满足不等式的同向可加性，故B选项正确； C选项，当，则，故C选项错误； D选项，当时，，故D选项错误. 3. 若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【解析】D 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 4. 已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【解析】B 设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 5. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由命题“”为假命题，则命题“”为真命题， 即不等式在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 6. 若在恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 若在恒成立， 则在恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立， 所以， 则是的充分不必要条件. 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【解析】A ∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【解析】CD 因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（     ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【解析】AD 因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则， 对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式， 又，可得，所以或，故B错误； 对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确； 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【解析】AC 对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号 由， 即，解得， 即，A正确； 对于，由，当且仅当时取等号， 得， 所以， 又 所以，即，故B错误； 对C选项，因为，则， 得，结合，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D选项知:， 当且仅当时，即， 但由于，因此等号不成立，故D不正确. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是 ． 【解析】由等价于，解得或， 故解集为或. 13. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解析】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 14. 已知正数，，满足，则的最小值为 ． 【解析】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 因为 所以，所以 （2）①当，即时，此时，满足，符合题意； ②当，即时，， 要满足，则， 则解得， 16. （1）已知，求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【解析】（1）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）由得， 因为，所以， 所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2） 【解析】（1）由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【解析】（1） ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. （2）由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. （2）设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. （3）因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $