第二章 一元二次函数、方程和不等式综合测试卷（基础）2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式综合测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D． 【答案】A 【详解】不等式，可化为，整理得， 即，解得. 所以解集为. 2．若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 3．已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，逐一判断选项即可. 【详解】已知条件为，逐一分析选项： 选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立； 选项B：取，，， 此时，不等式不恒成立； 选项C：作差：， 由条件得， 因此差值为正，即，该不等式不成立； 选项D：先拆分变形：， 由条件：故；，因此， 两个正数相加结果必大于，即恒成立. 4．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件 代入原式，得到关于 的表达式 ，再通过配凑项法将其转化为可使用基本不等式的形式求解. 【详解】因为，， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值是. 故选:D. 5．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 6．已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间的关系可得，的根为，由韦达定理可得，可得，解一元二次不等式即可. 【详解】因为的解集为，所以， 且的根为， 所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 8．“”是“关于x的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断不等式的解集为成立的条件，然后根据充分性、 必要性的定义选出正确答案. 【详解】关于x的不等式的解集为, 当时，,此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得：， 综上，的取值范围为：， 故“”是“关于x的不等式的解集为”的充分不必要条件， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法比较大小判断ABD，举反例判断C. 【详解】对于A，，正确； 对于B，， 所以，正确； 对于C，满足，且，此时，错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 又，故不同时为0，所以， 即成立，所以成立，正确. 故选：ABD 10．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 11．已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式计算可判断A错误，结合基本不等式中“1”的应用可得B正确，将代入并利用二次函数性质即可求得最小值，可得C正确，根据为定值，利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，由可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由可得，所以； 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确； 对于D，易知，所以； 当且仅当，即时，等号成立，因此D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 13．正实数满足，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】先根据基本不等式可得，再由，进而得到，注意检验是否能同时成立即可． 【详解】，， （当且仅当，即时取等）， （当且仅当时取等）， 综上（当且仅当时等号同时成立）， 则的最小值是． 故答案为：． 14．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断 【详解】（1）令，，，即， 则有解得．     又，，所以，，     所以，即．         （2）．     因为，，所以，．         当时，，即；     当时，，即．     综上所述，当时，；当时，． 16．已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，不等式的解集不是， 即不等式在上有解， 则，即. 所以实数m的取值范围是. （2）依题意，在区间上恒成立， 的对称轴为， 因为，， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 17．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 18．求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)5 (2) (3) (4)9 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及不等式的解法，逐个求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）解：由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （4）解：由，，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得或， 所以，所以的最小值为. 19．随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】(1)不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. (2) 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）略. （2）设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式综合测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D． 2．若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 6．已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 8．“”是“关于x的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．已知正数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围为_____________________． 13．正实数满足，则的最小值是_____． 14．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 16．已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 18．求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 19．随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $