第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合检测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本试卷为高中数学第二章单元综合检测，以不等式与集合为核心，通过道路修建（第3题）、盲盒经济（第17题）等现实情境及秦九韶公式（第8题）文化素材，考查数学抽象、运算推理与模型应用能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、集合运算、基本不等式|结合地域检测题（自贡/菏泽），基础与文化传承并重| |多选题|3/18|不等式综合、函数零点|选项分层设计，考查批判性思维| |填空题|3/15|分式不等式、恒成立问题|融入高考真题（2025上海），衔接升学要求| |解答题|5/77|实际应用（盲盒经济）、创新定义（远离概念）|以盲盒盈利建模（第17题）体现应用意识，“远离”概念探究（第19题）考查逻辑推理|

第二章单元综合检测 (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.已知-b<a<0,则下列不等式中正确的是 (　　) A. B.a2>b2 C. D.|a|>b 2.(2026·自贡高一检测)集合A={x|x<1},B={x|x2-2x<0},则A∩B= (　　) A.{x|0<x<1}　　　 B.{x|-1<x<0} C.{x|-1<x<2}　　 D.{x|0<x<2} 3.如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m,根据题意可列出的不等式为 (　　) A.(22-x)(17-x)≤300 B.(22-x)(17-x)≥300 C.(22-x)(17-x)>300 D.(22-x)(17-x)<300 所以(22-x)(17-x)≥300. 4.(2026·菏泽高一检测)已知2≤a≤4,-1≤b≤3,则a-2b的取值范围是 (　　) A.{x|-8≤x≤2}　　 B.{x|-3≤x≤1} C.{x|-4≤x≤6}　　 D.{x|-7≤x≤7} 5.已知=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 6.关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.{x|1<x<3} B.{x|-1<x<3} C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<1或x>3} 7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|m≤-2或m≥2} B.{m|-2≤m≤2} C.{m|m<-2或m>2} D.{m|-2<m<2} 8.(2025·无锡高一检测)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为(　　) A.6　 B.12　 C.4　 D.4 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.若<0,则下列不等式中,正确的是 (　　) A.a+b<ab B.|a|>|b| C.a<b D.>2 10.已知函数y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点,则 (　　) A.a2-b2≤4 B.a2+≤4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},则c=1 11.已知a,b均为正数,且2a+5b=1,则下列结论一定正确的是 (　　) A. B.的最小值是16 C.ab的最大值是 D.8a2+50b2≥1 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2026·上海高一检测)关于x的不等式≥1的解集为　　.  13.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是　　.  14.(2025·上海高考)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　　.  四、解答题(共77分) 15.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0; (2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R? 16.(15分)若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy. (1)求xy的最大值; (2)求x+y的最小值. 17.(15分)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济,某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x年(x为正整数)所用的各种费用总计为(2x2+10x)万元. (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年). (2)该公司几年后年平均利润最大?最大是多少? 18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,求的最小值. 19.(17分)(2024·延边高一检测)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m. (1)若2比3x-4远离1,求x的取值范围; (2)设y=,其中x∈{x|0<x<或x>},判断:x与y哪一个更远离?并说明理由. (3)若x+y=2,试问:y与x2+y2哪一个更远离?并说明理由. 答案解析 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.已知-b<a<0,则下列不等式中正确的是 (　　) A. B.a2>b2 C. D.|a|>b 【解析】选C.因为-b<a<0,所以b>0>a,所以<0,>0,所以,故选项A错误; 当a=-,b=1时,a2<b2,故选项B错误; 因为a-b<a<0,所以,故选项C正确; 当a=-1,b=2时,|a|<b,故选项D错误. 2.(2026·自贡高一检测)集合A={x|x<1},B={x|x2-2x<0},则A∩B= (　　) A.{x|0<x<1}　　　 B.{x|-1<x<0} C.{x|-1<x<2}　　 D.{x|0<x<2} 【解析】选A.由x2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,则B={x|0<x<2}, 又A={x|x<1},则A∩B={x|0<x<1}. 3.如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m,根据题意可列出的不等式为 (　　) A.(22-x)(17-x)≤300 B.(22-x)(17-x)≥300 C.(22-x)(17-x)>300 D.(22-x)(17-x)<300 【解析】选B.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个矩形,因为道路宽为x m,所以草坪面积为(22-x)(17-x),因为草坪的面积不小于300 m2, 所以(22-x)(17-x)≥300. 4.(2026·菏泽高一检测)已知2≤a≤4,-1≤b≤3,则a-2b的取值范围是 (　　) A.{x|-8≤x≤2}　　 B.{x|-3≤x≤1} C.{x|-4≤x≤6}　　 D.{x|-7≤x≤7} 【解析】选C.因为2≤a≤4,-1≤b≤3,所以-6≤-2b≤2,由不等式的性质可得-4≤a-2b≤6. 因此,a-2b的取值范围是{x|-4≤x≤6}. 5.已知=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选D.因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·()=4+2()≥4+4=8. 当且仅当,即x=y=4时取等号. 6.关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.{x|1<x<3} B.{x|-1<x<3} C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<1或x>3} 【解析】选C.不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},故a>0,=1,则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0即a(x+)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,故解集是{x|x<-1或x>3}. 7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是 (　　) A.{m|m≤-2或m≥2} B.{m|-2≤m≤2} C.{m|m<-2或m>2} D.{m|-2<m<2} 【解析】选B.因为不等式x2+mx+1≥0的解集为R,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2. 8.(2025·无锡高一检测)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为(　　) A.6　 B.12　 C.4　 D.4 【解析】选B.a=6,b+c=10,则p==8, 故S==4≤4×=12,当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形,故此三角形面积的最大值为12. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.若<0,则下列不等式中,正确的是 (　　) A.a+b<ab B.|a|>|b| C.a<b D.>2 【解析】选AD.因为<0,所以b<a<0,所以a+b<0<ab,|a|<|b|. 因为>0,>0,a>b,所以>2=2. 10.已知函数y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点,则 (　　) A.a2-b2≤4 B.a2+≤4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},则c=1 【解析】选AD.因为y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一个零点. 故可得Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0. a2-b2≤4等价于b2-4b+4≥0,显然(b-2)2≥0,故A正确. a2+=4b+≥2=4,故B错误. 因为不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},故可得x1x2=-b<0,故C错误. 因为不等式x2+ax+b<c的解集为{x|1<x<3},所以实数1与3是方程x2+ax+b-c=0的两根,所以-a=1+3=4,则a=-4,从而b=4. 又b-c=1×3=3,所以c=b-3=1,故D正确. 11.已知a,b均为正数,且2a+5b=1,则下列结论一定正确的是 (　　) A. B.的最小值是16 C.ab的最大值是 D.8a2+50b2≥1 【解析】选BCD.对于A,取a=b=满足题意,但显然不成立,故A错误; 对于B,由2a+5b=(a+4b)+(a+b)=1,因为a,b均为正数,则=()(a+4b+a+b)= 10+≥16,当且仅当,即a=,b=时,等号成立,故B正确; 对于C,由基本不等式可知2a+5b=1≥2,即ab≤, 当且仅当a=,b=时,等号成立,故C正确; 对于D,由基本不等式可知≤,则8a2+50b2≥1,当且仅当a=,b=时,等号成立,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2026·上海高一检测)关于x的不等式≥1的解集为　{x|x≤-1或x>2}　.  【解析】根据题意-1=≥0, 则,解得x≤-1或x>2, 所以不等式≥1的解集为{x|x≤-1或x>2}. 13.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是　{a|-1≤a≤4}　.  【解析】因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,y=-x2+4x=-(x-2)2+4的最大值为4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 14.(2025·上海高考)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　4　.  【解析】易知b+=(b+)(a+)=ab++2≥2+2=4, 当且仅当ab=1,即a=,b=2时取得最小值. 四、解答题(共77分) 15.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0; 【解析】(1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根, 所以解得a=3. 所以不等式2x2+(2-a)x-a>0,即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>, 所以所求不等式的解集为. (2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R? 【解析】(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0, 若此不等式的解集为R,则b2-4×3×3≤0, 所以-6≤b≤6. 16.(15分)若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy. (1)求xy的最大值; 【解析】(1)因为x>0,y>0,所以8-xy=x+y≥2,即(+4)(-2)≤0,解得0<xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以xy的最大值为4. (2)求x+y的最小值. 【解析】(2)8-(x+y)=xy≤()2,所以[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0,所以x+y≥4,当且仅当x=y=2时,等号成立,即x+y的最小值为4. 17.(15分)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济,某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x年(x为正整数)所用的各种费用总计为(2x2+10x)万元. (1)该公司第几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年). 【解析】(1)设利润为y,则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(x∈N*), 由-2x2+40x-98>0整理得x2-20x+49<0, 解得10-<x<10+,由于x∈N*,所以x∈{x|3≤x≤17,x∈N*},所以第3年首次盈利. (2)该公司几年后年平均利润最大?最大是多少? 【解析】(2)首先x∈{x|3≤x≤17,x∈N*}, 由(1)得年平均利润=-2(x+)+40≤-2×2+40=12(万元),当且仅当x=,即x=7时等号成立,则第7年年平均利润最大,为12万元. 18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围; 【解析】(1)由已知得y=mx2+(1-m)x+m-2≥-2对一切实数x恒成立, 即mx2+(1-m)x+m≥0对一切实数x恒成立. 当m=0时,x≥0,不满足题意; 当m≠0时,则,解得m≥. 综上所述,实数m的取值范围为{m|m≥}. (2)在(1)的条件下,求的最小值. 【解析】(2)由(1)可知m≥,则=m+1+≥2=4, 当且仅当m+1=,即m=1时,等号成立. 故的最小值为4. 19.(17分)(2024·延边高一检测)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m. (1)若2比3x-4远离1,求x的取值范围; 【解析】(1)根据题意可得:|2-1|>|3x-4-1|, 所以|3x-5|<1,解得<x<2, 所以x的取值范围为{x|<x<2}. (2)设y=,其中x∈{x|0<x<或x>},判断:x与y哪一个更远离?并说明理由. 【解析】(2)x比y更远离, 理由如下:要证x比y更远离,只要证|x-|>|-|,即证|x-|>||, 因为x∈{x|0<x<或x>},所以|x-|>0,所以只要证1>,即证|x+1|>-1, 因为x∈{x|0<x<或x>}, 所以1<x+1<+1,x+1>+1, 所以|x+1|>1>-1,所以x比y更远离. (3)若x+y=2,试问:y与x2+y2哪一个更远离?并说明理由. 【解析】(3)因为x2+y2≥=2,当且仅当x=y=1时等号成立, 所以|x2+y2-|=x2+y2-,从而|y-|-|x2+y2-|=|y-|-(x2+y2-), ①当y≥时,|y-|-(x2+y2-)=y--(x2+y2-)=y-x2-y2=y-(2-y)2-y2=-2y2+5y-4=-2(y-)2-<0, 即|y-|<|x2+y2-|; ②当y<时,|y-|-(x2+y2-)=(-y)-(x2+y2-)=-y-x2-y2+1=-y-(2-y)2-y2+1=-2y2+3y-3=-2(y-)2-<0,即|y-|<|x2+y2-|. 综上|y-|<|x2+y2-|,即x2+y2比y更远离. 学科网（北京）股份有限公司 $