第二章一元二次函数、方程和不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章《一元二次函数、方程和不等式》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】D 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 3．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因为的解集为，所以， 且的根为， 所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 4．已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 5．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数m后，利用基本不等式求解． 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为．     故选：A． 6．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令， 则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线， 故在区间上，（4）， 若不等式在区间内有解， 则， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：B． 7．已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 8．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以，所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 11．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的最小值为_________． 【答案】 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 13．命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．已知，且，若恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 同理可得，则，当且仅当时，等号成立， 因为恒成立，所以，即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 17．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时的值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)的最小值为6，此时；(2)；(3). 【详解】（1），由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为6，此时； （2），且，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， 的最大值为； （3），故， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 18．已知二次函数. (1)设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； (2)设的解集为，且，求不等式的解集； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)R (3) 【详解】（1）因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． （2）因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. （3）令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 19．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）； （ii）当时，的解集为；当时，的解集为. 【详解】（1）由题意可知方程有两个解分别为，，且， 即，则，则代入得： 又，所以， 解得或， 故所求不等式的解集为或. （2）（i）依题意，的对称轴为， 对恒成立在上的最大值小于恒成立， ①当时，在上单调递增， ， ，解得， 符合条件； ②当时，在上单调递减， ， ，解得， 符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. （ii）依题意，； 已知，则； ①若，即时， 结合图象可知在上单调递减， 又，在上恒成立； ②若，即或， 令，解得，，其中， （a）若，则，故， 结合图象可知在上恒成立； （b）若，则，故， 结合图象，即的解集为， 综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 4．已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 8．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的最小值为_________． 13．命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为______. 14．已知，且，若恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 16．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 17．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时的值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 18．已知二次函数. (1)设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； (2)设的解集为，且，求不等式的解集； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 19．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $