重庆市杨家坪中学2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

高2027届高三第二次质量检测 数学试题 2026.9 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ） A．25 B．40 C．150 D．240 4．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 7．21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3个小题，每题6分，共18分．每小题选项中有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ） A．一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 B．若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 C．若，，，则事件与事件相互独立 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数（）来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（ ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于点对称 D．若（）在上有且仅有两个极值点，则 11．已知函数（），，则下列说法正确的是（ ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，若函数有三个零点，，，则 C．若函数恰有2个零点，则 D．若存在实数使得函数有3个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．________． 13．已知角的终边上一点，则________． 14．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，分别为的内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取100名学生进行调查，其中上课转笔的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示（分组区间为，，，，，）．记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． （1）请完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联．（单位：人） 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 优秀 10 合计 100 （2）现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到的5人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的均值和方差． 附：参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． 求证：． 19．（17分）已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若，正实数，满足，证明：； （3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $