重庆市育才中学校2027届高三上学期质量检测（二）数学试题

重庆市育才中学校高2027届高三（上）质量检测（二） 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，则的值为 A． B． C． D． 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．已知是等比数列，则“”是“是递减数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，，则集合的元素个数为（ ）个． A．94 B．95 C．96 D．97 8．若定义在上的函数的图象关于点对称，且，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数，，满足，，则下列关系一定正确的是 A． B． C． D． 10．已知函数，点在函数的图象上，且，的最小值为，则下列说法正确的是 A． B．的单调递减区间是， C．将的图象向右移动个单位长度后，所得到的图象关于轴对称 D．若在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是 11．已知数列满足，，则 A． B．若，则；若，则 C．数列单调递增，单调递减 D．存在正整数， 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的前项和为，且，，则________． 13．四边形是边长为4的菱形，，若，且为的中点，则________． 14．已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本小题13分） 已知的内角、、所对的边分别为、、，记的面积为，且． （1）求的大小； （2）若，求外接圆直径的长． 16．（本小题15分） 已知数列的前项和为，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 17．（本小题15分） 如图，在等腰直角中，，点、分别是边、的中点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，为的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题17分） 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19．（本小题17分） 现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $重庆市育才中学校高2027届高三（上）质量检测（二）数学 参考答案及评分意见 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D c B B B A ACD ABD ABC 题号 12 13 14 答案 21 x=π（答案不唯一） 2+sin1 15.(1)b2+c2-a2=45,..2bccos A=4x-bcsin A,.tanA=1, 2 又由4e0小，4=子： 2)由A=牙，则浮-C=普-x-A-=B-受 则5cor年-c小-}=5sn=5, 2 由正弦定理可得：2R= b√6 sinB 3 16.(1)由Sn+2=a1,a1=2, 当n≥2时，S。+2-(Sn1+2)=a1-an,整理得a1=2a。, 当n=1时，a2=S,+2=a1+2=4,满足42=2a1: 故{a)为首项是2，公比是2的等比数列，通项an=2”(n∈N)· (2)b =d+log2an=2"+n+1, 则双-4+2+3ta训小-222. 2 2 17.(1)如图所示：取PB中点为G,连接GF,GD, 由G,F分别是PB,PC的中点，则GF∥BC∥DE,GF=DE, 所以四边形DEFG为平行四边形， EF∥DG,又：EFa平面PBD,DGc平面PBD, :EF∥平面PBD 6分 (2)若在棱PC上存在点H,使得二面角P-BE-H的余弦值为5，不妨设PF=2PC, 由PD=DB=2,PB=2N2,.PD2+DB2=PB2,PD⊥DB, 又由PD⊥DE,DE∩DB=D,则PD⊥平面DECB,且DE⊥BD, 分别以DE,DB,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则：E(2,0,0)，B(0,2,0),P(0,0,2),C(4,2,0),P厘=(2,0，-2)，BE=(2,-2,0), 设平面PBE的一个法向量为n=(x1,,名)， m.PE=02x-2z=0 则 nBE=02x-2y=0' 令x=1,则y=1,3=1,i=（11,1), 又由P7=PC=(41,2元，-2)，则H(4元，2元，2-2)，E丽=(42-2,2入，2-21)， 设平面BHE的一个法向量为m=(x2,2,2), 则@丽=0→4-2%+2%+-2%=0 m-BE=02x2-2y2=0 令x2=入-1，则y2=1-1,2=31-1,m=(1-1,1-1,31-1), .11分 设二面角P-BE-I的平面角为O, 7·11 元-1+1-1+32-11 则cosd 5-3=5 √3V2(-1)2+(32-1311n2-10a+33 →8-103-04或，由=面角P-B-H为脱=面，则 2 所以在校PC上存在点H,记-号使得二面角P-BE-H的余弦值为， PH 1 15分 18.①）当1=1时，网=-)-+2，=(x-+÷1。 k="(2)=1,f(2)=0,y=x-2. 4分 (2)了)的定义域为，+o),f=0台1n(x--t+2=0, 令g因)=l0-)-1+,依题意，g)有三个零点，gW)=二2K+2 x2(x-1) 方程x2-2x+21=0,△=412-81， ①△≤0时，即0<1≤2时，g(x)>0,函数g()在(L,+∞)上单增，8(x)最多一个零点，舍去； ②△>0时，即1>2时，方程x2-2x+21=0有两根x4=1-VP-21,x5=t+V2-21, :VF2-21>V0-2)2=1-2,x4=1-72-21<2,x4-1=1-1-V2-21>0,1<x4<2<5, 当4<x<x时，g'(x)<0,函数g()在(x4,x)上单减， 当1<x<x4或x<x时，8'(x)>0,函数g(x)在(L,x4),(x,+∞)上单增. g(2)=0,g(x4)>0,g(x)<0, 当x→1，g(x)→-0；当x→+o0,g(x)→+o0: 此时g(x)有三个零点，1>2. 11分 (i0)由()可知，1<x<2,x2=2,2<x 由+0+白-=-月4n亡42--0， x-1 a0*0+-0,96o*0+-0 g00,小g0+=0,是男-个笔点1+ x-1 (x1-10x3-1)=1,x2(x-10x-1)=2. 17分 a2=n2 2 19.（1)由曲线C:京+得： c 2 2 .e= a 2 4分 2 c2=a2-b2= 2 (2)()由于1>0，故直线AnBn的斜率一定存在，设直线A,Bn方程为y=knx+m x2+2y2=n2 联立 得(1+2k2)x2+4 kmx+2mn2-n2=0, y=knx+m 由于直线A,Bn与曲线Cn相切，故△=16k2m,2-41+2k,2)2m2-n)=0,整理得2m,2=n2(1+2k,2) 联立 2+2y2=n+得0+2k,2x+4k,m,x+2m2-a+=0, y=knx+mm △=16k2m2-4(1+2k2)[2m2-(n+1)2]=4[(n+1)2(2k,2+1)-2m,2]=4(2k,2+10(2n+1) 场爱 2m2-(n+1)2 XX= 1+2k2 21+k2 4B=+k21x-3FV1+k,2VG+2-4xx V2n+1. V1+2k2 9=481mL+区 2 2n+ l1分 V1+k2V1+2k2 7r2 V1+k2 2 1 2 S.n2n+i n2n nn -in n-1.n.Vn+in-1.Vn(n+n-1) 4吧点 √n-1√n