第2章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先梳理等式的对称性、传递性等基本性质作为学习支架，再延伸至不等式的对称性、可加性等性质，结合判断命题、证明及求取值范围等应用构建知识脉络。 资料通过问题导思链接现实情境培养数学眼光，典例分析与规律方法总结提升逻辑推理能力，对点练和随堂评价助力课中教学与课后查漏补缺，凸显数学思维与应用意识的培养。

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标 梳理等式的性质，掌握不等式的性质及其简单应用，培养逻辑推理的核心素养． 任务一　等式的基本性质 (阅读教材P40，完成探究问题1) 问题1.判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝． 提示：以上均正确，这些都是等式的基本性质． 等式的基本性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ ［微提醒］　(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．(2)性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性． 对点练1.(1)(多选)若ma＝mb，则下列等式一定成立的是(　　) A．a＝b B．ma＋2 026＝mb＋2 026 C．ma－5＝mb－5 D．－ma＝－mb (2)利用等式的基本性质填空： ①若2x－3＝5，则2x＝　　　　，x＝　　　　； ②若5x＋2＝2x－4，则3x＝　　　　，x＝　　　　． 答案：(1)BCD　(2)①8　4　②－6　－2 解析：(1)根据等式的基本性质，知BCD正确，A错误．故选BCD． (2)①根据等式的基本性质，若2x－3＝5，则2x＝8，x＝4. ②根据等式的基本性质，若5x＋2＝2x－4，则3x＝－6，x＝－2. 任务二　不等式的性质 (阅读教材P40—42，完成探究问题2、3、4) 问题2.如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高．如果a＞b，b＞c，那么a＞c． 问题3.如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？ 提示：甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高．若a＞b，则a－c＞b－c． 问题4.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多．这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？ 提示：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d． 不等式的基本性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac＞bc c的 符号 ⇒ac＜bc 5 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd 同向同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn (n∈N，n≥2) 同正 ［微提醒］　(1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(4)性质7(即可乘方性)的拓展：a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2)． (链教材P42练习T2)(1)关于实数a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．如果a＞b＞c，那么ac＞bc B．如果a＞b，那么a＋c＞b＋c C．如果a＞b＞0，那么ac2＞bc2 D．如果＞，那么a＞b (2)已知a，b，c满足c＜b＜a，且a＋b＋c＝0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．a＞0，c＜0 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)对于A，当c＝0时，有ac＝bc＝0，故A错误；对于B，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，故B正确；对于C，当c＝0时，有ac2＝bc2＝0，故C错误；对于D，当c＜0时，a＜b，故D错误．故选B． (2)因为a，b，c满足c＜b＜a，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac，故A、D一定成立；又因为b－a＜0，所以c(b－a)＞0，故B一定成立；因为b2是不是0不确定，所以cb2＜ab2不一定成立．故选C． 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 1.直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可． 2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 对点练2.(1)如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是(　　) A．＜ B．a2＜b2 C．＞ D．＜ (2)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)对于A，如果a＜b＜0，那么ab＞0，则＜，即＞，故A错误；对于B，如果a＜b＜0，那么a2＞b2，故B错误；对于C，当a＝－2，b＝－1时，＝－1，＝－，即＜，故C错误；对于D，如果a＜b＜0，那么a2＞b2＞0，则＜，故D正确.故选D. (2)可令a＝9，c＝6，b＝d＝7，则满足a＋c＞b＋d，但“a＞b且c＞d”不成立，所以“a＋c＞b＋d”不是“a＞b且c＞d”的充分条件．根据不等式的性质，由a＞b且c＞d，可得a＋c＞b＋d，所以“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要条件．故“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．故选A． 任务三　利用不等式的性质证明不等式 (链教材P42例2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，证明： (1)ac＜bd； (2)＜． 证明：(1)因为a＞b＞0，c＜0，所以ac＜bc＜0. 又c＜d＜0，b＞0，所以bc＜bd＜0，故ac＜bd． (2)由c＜0，得－c＞0. 因为a＞b＞0，所以a－c＞b－c＞0， 所以0＜． 又因为a＞0，所以． 　　在应用不等式的性质进行推导时，应注意不等式性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 对点练3.证明下列不等式： (1)已知a＜b＜0＜c＜d，证明：ad＋c＜bc＋d； (2)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，证明：＞． 证明：(1)因为a＜b＜0， 所以－a＞－b＞0. 又0＜c＜d，所以－ad＞－bc，即ad＜bc． 又c＜d，所以ad＋c＜bc＋d． (2)因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0， 所以a＞0，c＜0. 因为c＜b＜a，所以c－a＜b－a＜0， 所以－(c－a)＞－(b－a)＞0，(c－a)(b－a)＞0， 即＞0， 故－(c－a)·＞0， 所以＞0， 所以． 任务四　利用不等式的性质求代数式的取值范围 (链教材P43T5)(1)如果12＜a＜60，15＜b＜36，求a＋b，2a－b，的取值范围； (2)已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围． 解：(1)27＜a＋b＜96，24＜2a＜120， －36＜－b＜－15，， 所以－12＜2a－b＜105，＜4. (2)设2a－4b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，x，y∈R， 则 所以2a－4b＝－(a＋b)＋3(a－b)． 因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2， 所以－5＜－(a＋b)＜1，－12＜3(a－b)＜6， 所以－17＜－(a＋b)＋3(a－b)＜7， 即－17＜2a－4b＜7. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 对点练4.(1)已知－2＜a≤3，1≤b＜2，则2a－3b的取值范围是　　　　　　　　　　． (2)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围是　　　　　　　　　　． 答案：(1)－10＜2a－b≤3　(2)－≤a＋3b≤1 解析：(1)由题意得－4＜2a≤6，－6＜－3b≤－3， 所以－10＜2a－3b≤3. (2)设a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－2b)＝(x＋y)a＋(x－2y)b，x，y∈R， 则 所以a＋3b＝(a－2b)， 故－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－， 则－≤a＋3b≤1. ［教材拓展2］　糖水不等式 1.糖水不等式定理 若a＞b＞0，m＞0，则一定有＞． 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 2.糖水不等式的倒数形式 设a＞b＞0，m＞0，则有＞． (1)设a，b，m都是正数，且a＜b，记x＝，y＝，则(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜ D．x与y的大小与m的取值有关 (2)(多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a＞0，b＞0，且a＞b)，若再添加c克糖(c＞0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：＞．趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是(　　) A．若a＞b＞0，m＞0，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若b＞a＞0，m＞0，则＞ C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＜ D．若a＞0，b＞0，则一定有＋＜＋ 答案：(1)A　(2)BCD 解析：(1)由a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，即b－a＞0，可得x－y＝＞0，即x＞y．故选A． (2)对于A，因为a＞b＞0，m＞0，所以－＝＞0，所以＞，故A错误，对于B，因为b＞a＞0，m＞0，所以－＝＜0，所以＞，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以a－b＞0，c－d＞0，所以－＝＝＞0，所以＜，故C正确；对于D，因为0＜1＋a＜1＋a＋b，0＜1＋b＜1＋a＋b，所以＞，＞，所以＋＞＋，故D正确.故选BCD. 任务再现 (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用 方法提炼 作差比较法、赋值法、不等式性质法 易错警示 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 1.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 答案：C 解析：由a＋b＞0知，a＞－b，所以－a＜b＜0.又b＜0，所以－b＞0，所以a＞－b＞b＞－a．故选C． 2.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a＜b，c＜d，则ac＜bd B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ 答案：BC 解析：对于A，若a＜0＜b，c＜d＜0，则ac＞bd，故A错误；对于B，若ab＞0，bc－ad＞0，则－＝＞0，故B正确；对于C，若c＞d，则－d＞－c.又a＞b，所以a－d＞b－c，故C正确；对于D，若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝＝－1，故D错误.故选BC. 3.已知实数a，b满足0＜a＜b＜2，则a－b的取值范围是　　　　　　． 答案：－2＜a－b＜0 解析：因为0＜b＜2，所以－2＜－b＜0.因为0＜a＜2，所以－2＜a－b＜2.又a＜b，所以a－b＜0，所以－2＜a－b＜0. 4.用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c　　　　b－d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac　　　　bd； (3)如果a＞b＞0，那么　　　． 答案：(1)＞　(2)＜　(3)＜ 解析：(1)因为a＞b，c＜d，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d． (2)因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以－ac＞－bd＞0，所以ac＜bd． (3)因为a＞b＞0，所以0＜． 课时分层评价11　等式性质与不等式性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.与a＞b等价的不等式是(　　) A．|a|＞|b| B．a2＞b2 C．＞1 D．a3＞b3 答案：D 解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但|a|＜|b|，a2＜b2，＜1，故A、B、C都不正确．故选D． 2.设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax 答案：B 解析：因为x＜a＜0，所以x2＞a2.因为x2－ax＝x(x－a)＞0，所以x2＞ax．又ax－a2＝a(x－a)＞0，所以ax＞a2.所以x2＞ax＞a2.故选B． 3.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是(　　) A．a＞b B．b＞a C．a＞m D．m＞b 答案：B 解析：＞0⇒＞0.因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a．故选B． 4.若实数α，β满足－＜α＜β＜－，则α－β的取值范围是(　　) A．－＜α－β＜－ B．－＜α－β＜0 C．－＜α－β＜ D．－＜α－β＜0 答案：D 解析：因为－＜α＜β＜－＜α＜－＜－β＜，α－β＜0，所以－＜α－β＜0.故选D． 5.(多选)若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1 C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x 答案：BCD 解析：对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故D中不等式成立．故选BCD． 6.(多选)已知m＞n＞1，则下列结论正确的有(　　) A．＜ B．m＋＞n＋ C．m3＋n3＞2m2n D．m＋＞n＋ 答案：BD 解析：对于A，因为m＞n＞1，所以2m＞2n，所以mn＋2m＞mn＋2n，所以m(n＋2)＞n(m＋2)，又m，n都大于零，所以＞，故A错误；对于B，因为m＞n＞1，所以mn＞1，且m－n＞0，则mn(m－n)＞m－n，所以m2n－mn2＞m－n，所以m2n＋n＞mn2＋m，所以m＋＞n＋，故B正确；对于C，当m＝3，n＝2时，m3＋n3＝27＋8＝35，2m2n＝36，即m3＋n3＜2m2n，故C错误；对于D，因为m＞n＞1，所以＞＞0，所以m＋＞n＋，故D正确.故选BD. 7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是　　　　． 答案：a＞0＞b 解析：因为，所以a＞b和同时成立的条件是a＞0＞b． 8.已知1＜α＜3，－4＜β＜2，若z＝α－β，则z的取值范围是　　　　　　　　． 答案： 解析：因为1＜α＜3，所以α＜．又－4＜β＜2，所以－2＜－β＜4.所以－α－β＜． 9.(开放题)设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　　． 答案：1，0，－1(答案不唯一) 解析：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，则取a＝1，b＝0，c＝－1，则满足条件c＜b＜a且ac＜0，但ab＜ac不成立． 10.(10分)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤． 证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc． 因为bd＞0，所以＋1， 所以． (11—13每小题5分，共15分) 11.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| 答案：C 解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz．故选C． 12.(多选)设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的有(　　) A．b2＜ab＜1 B．＜＜1 C．1＜＜ D．a2＜ab＜1 答案：AC 解析：因为0＜b＜a＜1，所以b2－ab＝b(b－a)＜0，所以b2＜ab，又ab＜1，所以b2＜ab＜1，故A正确；当a＝，b＝时，＝，＝，所以＞，故B不正确；因为0＜b＜a＜1，所以1＜＜，故C正确；因为0＜b＜a＜1，所以a2－ab＝a(a－b)＞0，即a2＞ab，故D不正确.故选AC. 13.已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad，将其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成　　　　个真命题． 答案：3 解析：⇒⇒bc＞ad，故以①②为条件，③为结论的命题是真命题；⇒＞，故以①③为条件，②为结论的命题是真命题；⇒⇒ab＞0，故以②③为条件，①为结论的命题是真命题，故可组成3个真命题. 14.(10分)(1)已知1＜a＜6，3＜b＜4，求2a－b，的取值范围； (2)已知a，b，x，y均是正实数，且＞，x＞y，试比较与的大小． 解：(1)由题意可知，2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，则－2＜2a－b＜9. 因为＜2， 所以． (2)． 因为，且a，b均是正实数，所以b＞a＞0. 又因为x＞y＞0，所以bx＞ay＞0，(x＋a)(y＋b)＞0，则bx－ay＞0，所以． 15.(5分)已知b＞0，且－4b≤a－c≤－b≤4a－c≤5b，则的取值范围是　　　　　　． 答案：－1≤≤20 解析：易得令9a－c＝m(a－c)＋n(4a－c)＝(m＋4n)a－(m＋n)c，m，n∈R，则解得所以9a－c＝－(a－c)＋(4a－c).又b≤－(a－c)≤b，－b≤(4a－c)≤b，故b－b≤－(a－c)＋(4a－c)≤b＋b，即－b≤9a－c≤20b，因为b＞0，所以－1≤≤20. 16.(15分)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系． 解：(1)有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 因为3×7＜11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”． (2)因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad＜bc． 因为a，b，c，d均为正数， 所以＞0， 即． 又． 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $