13章 《将军饮马问题》讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

将军饮马问题 模块一：将军饮马问题 1．两定一动型 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【问题简化】如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值(两点之间线段最短). 2．一定两动型 在、上分别取点、，使得周长最小． 此处、均为折点，分别作点关于(折点所在直线)、(折点所在直线)的对称点，化折线段为，当、、、共线时，周长最小． 3．两定两动型 在、上分别取点、使得四边形的周长最小． 考虑是条定线段，故只需考虑最小值即可，类似，分别作点、关于、对称，化折线段为，当、、、共线时，四边形的周长最小． 4．一定两动垂线段型 在、上分别取、使得最小． 此处点为折点，作点关于对称的点，将折线段转化为，即过点作垂线分别交、于点、，得最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)． 【例1】两定一动型求值 (1)(第四中学2023期中)如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是(　　) A． B． C． D． (3)已知，如图为等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为________cm． (4)如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．7 【例2】一定两动型 (1)如图，，内有一定点，且，在上有一点，上有一点．若周长最小，则最小周长是(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 (2)如图，在四边形中，，，在、上分别找一点、，使的周长最小，此时的度数为__________°． (3)如图所示，已知点是锐角内一点，试分别在、上确定两点，使三角形的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点． 【例3】两定两动型 (1)如图，、两处加工厂需从设在轴上的货站和轴上的货站来回调运货物，当、建于何处时，的路程最短？ (2)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的，)，桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了糖果，站在处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 【例4】两定两动垂线段型 (1)如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 (2)如图，中，，，的面积为48，平分，，分别为，上两动点，连接，，则的最小值为______． (3)(番禺区2025期末)如图，在中，，，的平分线交于点，点、分别在线段、上运动，则的最小值是_______． 模块二：造桥选址问题 1．造桥选址问题 已知将军在图中点处，现要过河去往点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑长度恒定，只要求最小值即可．问题在于、彼此分离，所以首先通过平移，使与连在一起，将向下平移使得、重合，此时点落在位置．问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 2．将军遛马问题 如图，将军在点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知、两点，长度为定值，求确定、位置使得值最小？ 【分析】考虑为定值，故只要值最小即可．将平移使、重合，，将转化为． 构造点关于的对称点，连接，可依次确定、位置，可得路线． 【例5】造桥选址问题 (1)如图1，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． (2)如图2，直线是一条河，、是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向、两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．(保留作图过程) (3)如图3，在一条河的两岸有、两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．(保留作图过程) 巅 峰 突 破 【突破1】是数轴上任意一点表示的数，若的值最小，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【突破2】(1)问题发现： 如图1，点、是直线外的任意两点，在直线上，试确定一点，使，最短． 作法如下：作点关于直线的对称点A′，连结交于点，则最短．(不必证明) (2)解决问题： 如图2，等边的边长为4，为的中点，，是上一点． ①在图中画出点，使点，到点的距离之和最短；(保留作图痕迹，不写作法) ②求这个最短距离． (3)应用拓展：如图3，角形铁架，，分别是，上的定点，且，，为实际设计的需要，需在和上分别找出点，，使的值最小．请在图中画出点、，则此时的最小值为(保留作图痕迹，不写作法) 【突破3】如图，，点、分别在边，上，，，点、分别在边、上运动，连接、、，则的最小值为______． 课 后 自 测 【练习1】如图所示，、是两个村庄，若要在河边上修建一个水泵站往两村输水，则水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由． 【练习2】如图1，在一条河同一岸边有和两个村庄，要在河边修建码头，使到和的距离之和最短，试确定的位置； 【练习3】如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点、、． (1)作关于轴对称的； (2)在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 【练习4】已知、两点在直线的同侧，试用直尺(没有刻度)和圆规，在上找两点和(的长度为定值)，使得最短．(不要求写画法) 【练习5】如图所示，某工厂有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上(、、三点在同一直线上)，已知米，米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在(　　) A．点 B．点 C．之间 D．之间 【练习6】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【练习7】如图，在中，，，，平分，点分别是、边上的动点，则的最小值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【练习8】如图，已知的大小为α，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则α=_____． 【练习9】如图，已知，平分，在上有一点，，现要在，上分别找点，，使最小，则其最小值为________． 【练习10】如图，中，，是定长.点，分别在，上运动，连结，.若的最小值是2，则的长是______ 【练习11】如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 答案版 模块一：将军饮马问题 1．两定一动型 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【问题简化】如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值(两点之间线段最短). 2．一定两动型 在、上分别取点、，使得周长最小． 此处、均为折点，分别作点关于(折点所在直线)、(折点所在直线)的对称点，化折线段为，当、、、共线时，周长最小． 3．两定两动型 在、上分别取点、使得四边形的周长最小． 考虑是条定线段，故只需考虑最小值即可，类似，分别作点、关于、对称，化折线段为，当、、、共线时，四边形的周长最小． 4．一定两动垂线段型 在、上分别取、使得最小． 此处点为折点，作点关于对称的点，将折线段转化为，即过点作垂线分别交、于点、，得最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)． 【例1】两定一动型求值 (1)(第四中学2023期中)如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是(　　) A． B． C． D． (3)已知，如图为等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为________cm． (4)如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．7 【答案】(1)B；(2)C；(3)10；(4)B． 【解析】(1)根据垂线段最短，当、、三点一线，且时，最小， 因为三角形面积的不变，，，于点，， 所以， 解得． 故选：B． (2)如连接，与交于点，此时最小， ∵是等边三角形，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． (3)连接， ∵为等边三角形，为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为:10． (4)连接， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∴当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值=． 故选：B． 【例2】一定两动型 (1)如图，，内有一定点，且，在上有一点，上有一点．若周长最小，则最小周长是(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 (2)如图，在四边形中，，，在、上分别找一点、，使的周长最小，此时的度数为__________°． (3)如图所示，已知点是锐角内一点，试分别在、上确定两点，使三角形的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点． 【答案】(1)A；(2)144；(3)略． 【解析】(1)设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即． 作与相交于，并将延长一倍到，即． 连接与相交于，与相交于R，再连接、，则即为周长最短的三角形． ∵是的垂直平分线， ∴； 同理，是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，且， ∴是正三角形，∴， 即在保持的条件下的最小周长为10． 故选A． (2)作关于和的对称点、，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作延长线， ∵， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴． (3)作法：①分别作点关于射线、的对称点、， ②连结，分别交、于点、，则、就是所要求的点． 【例3】两定两动型 (1)如图，、两处加工厂需从设在轴上的货站和轴上的货站来回调运货物，当、建于何处时，的路程最短？ (2)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的，)，桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了糖果，站在处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 【解析】(1)如图所示，作关于x轴的对称点，作关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，则的路程最短． (2)如图： 作法：①作点关于的对称点，点关于的对称点； ②连接，分别交，于点，，连接，， 那么小明沿的路线行走，所走的总路程最短． 【例4】两定两动垂线段型 (1)如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 (2)如图，中，，，的面积为48，平分，，分别为，上两动点，连接，，则的最小值为______． (3)(番禺区2025期末)如图，在中，，，的平分线交于点，点、分别在线段、上运动，则的最小值是_______． 【答案】(1)C；(2)8；(3)2． 【解析】(1)如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴，这时有最小值，即的长度， ∵，，，， ∵， ∴， 故选：C． (2)作关于的对称点为，作边上的高， ∵平分，为锐角三角形， ∴必在上， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， 即(垂线段最短)， ∵的面积是48，， ∴， ∴，即的最小值为． (3)作点关于的对称点， ∵是的角平分线， ∴落在边上，， ， 当、、 三点共线，且时，取得最小值，最小值即为垂线段的长度， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 答案：． 模块二：造桥选址问题 1．造桥选址问题 已知将军在图中点处，现要过河去往点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑长度恒定，只要求最小值即可．问题在于、彼此分离，所以首先通过平移，使与连在一起，将向下平移使得、重合，此时点落在位置．问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 2．将军遛马问题 如图，将军在点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知、两点，长度为定值，求确定、位置使得值最小？ 【分析】考虑为定值，故只要值最小即可．将平移使、重合，，将转化为． 构造点关于的对称点，连接，可依次确定、位置，可得路线． 【例5】造桥选址问题 (1)如图1，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． (2)如图2，直线是一条河，、是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向、两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．(保留作图过程) (3)如图3，在一条河的两岸有、两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．(保留作图过程) 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示； (3)如图所示． 巅 峰 突 破 【突破1】是数轴上任意一点表示的数，若的值最小，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】可以看作：表示x的点到表示3的点和到表示-2的点的距离的和，根据两点之间线段最短，可知表示x的点在表示3的点和到表示-2的点的线段上，所以． 故选C． 【突破2】(1)问题发现： 如图1，点、是直线外的任意两点，在直线上，试确定一点，使，最短． 作法如下：作点关于直线的对称点A′，连结交于点，则最短．(不必证明) (2)解决问题： 如图2，等边的边长为4，为的中点，，是上一点． ①在图中画出点，使点，到点的距离之和最短；(保留作图痕迹，不写作法) ②求这个最短距离． (3)应用拓展：如图3，角形铁架，，分别是，上的定点，且，，为实际设计的需要，需在和上分别找出点，，使的值最小．请在图中画出点、，则此时的最小值为(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1)图见解析，；(2)图见解析，25． 【解析】 (2)如图2所示：点为所求， ∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，等边三角形关于直线对称， ∴， ∴； (3)如图3所示： 作关于的对称点，作关于的对称点，连接与、的交点就是、二点， 此时为最短距离， 连接，，，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 同理也是等边三角形， ∴，，， ∴． 【突破3】如图，，点、分别在边，上，，，点、分别在边、上运动，连接、、，则的最小值为______． 【答案】13． 【解析】作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值， 根据轴对称的定义可知：，，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴， ∴在中，。 故答案为：13． 课 后 自 测 【练习1】如图所示，、是两个村庄，若要在河边上修建一个水泵站往两村输水，则水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由． 【解析】连接，与直线的交点为所求水泵站的位置．因为两点之间的所有连线中，线段最短． 【练习2】如图1，在一条河同一岸边有和两个村庄，要在河边修建码头，使到和的距离之和最短，试确定的位置； 【解析】所求点如下图所示： ∵两点之间线段最短， ∴需要能将、两边转化到一条直线上， ∴用轴对称可以办到， 求点的位置的具体步骤如下： ①作作点关于直线的轴对称点， ②连结交于点， ③连结， 则点就是所求作的点，能够使到和的距离之和最短． 【练习3】如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点、、． (1)作关于轴对称的； (2)在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 【解析】(1)如图所示，即为所求； (2)作点关于x轴的对称点，再连接交轴于点，其坐标为． 【练习4】已知、两点在直线的同侧，试用直尺(没有刻度)和圆规，在上找两点和(的长度为定值)，使得最短．(不要求写画法) 【答案】(1)过点A作的垂线(尺规作图)；在垂线上截取，找到对称点A′， (2)过点B作的垂线(尺规作图)，垂足为M，在上截取线段； (3)分别以B点为圆心，以长为半径画弧，以N点为圆心，以BM长为半径画弧，交于点B′；(4)连接A′B′交于点C，在上截取线段． 【练习5】如图所示，某工厂有三个住宅区，、、各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上(、、三点在同一直线上)，已知米，米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在(　　) A．点 B．点 C．之间 D．之间 【答案】A 【解析】①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500(米)， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000(米)， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000(米)， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则(0<m<300)，则所有人的路程的和是：30m+15(300-m)+10(900-m)=13500+5m>13500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则(0<n<600)，则总路程为30(300+n)+15n+10(600-n)=15000+35n>13500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 【练习6】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴，解得=8， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴的长为+的最小值， ∴． 故选：C． 【练习7】如图，在中，，，，平分，点分别是、边上的动点，则的最小值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′， 在和中， ， ∴， ∴PQ=QP′ ∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值， ∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长。 在中， ∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°， ∴， ∴PQ+BQ的最小值是4， 故选A. 【练习8】如图，已知的大小为α，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于4，则α=_____． 【答案】30° 【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，的周长最小． 连接OC，OD，PE，PF． ∵点P与点C关于OA对称， ∴OA垂直平分PC， ∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP， 同理，可得，，OD=OP． ∴，OC=OD=4， ∴∠COD=2α． 又∵， ∴OC=OD=CD=4， ∴是等边三角形， ∴2α=60°， ∴α=30°． 故答案为：30° 【练习9】如图，已知，平分，在上有一点，，现要在，上分别找点，，使最小，则其最小值为________． 【答案】5cm 【解析】作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小， ∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M， ∴OA、OB关于OC对称， ∴P点在OB上， ∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°， ∵， ∴， 故答案为5cm． 【练习10】如图，中，，是定长.点，分别在，上运动，连结，.若的最小值是2，则的长是______ 【答案】4 【解析】如图： 作∠CAF=15°， ∵AC是∠BAF的平分线， ∴DE=D´E， ∴当BE、D´E在一条直线上时，即当E、D在如图位置上时，最小， ∵∠F=90°，∠FAB=30°， ∴AB=2BF=4. 故答案为：4. 【练习11】如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】D 【解析】如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得． 故选：D． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $