第13章 三角形中的线段问题（中线、高线与角平分线）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形的中线、高线与角平分线，系统梳理中线的重心性质、高线的位置特征、角平分线的作图及垂两边等三大模型，构建从定义到性质再到应用的学习支架。 资料以模型化教学突出几何直观，通过“角平分线垂中间”等模型培养推理意识，例题涵盖基础与综合题，课中助教师分层教学，课后供学生针对性练习，强化知识应用与查漏补缺。

目录 第2讲：三角形的中线、高线与角平分线 1 【知识梳理】 1 知识点1：三角形中线 1 知识点2：三角形高线 1 知识点3：角平分线 1 【题型演练】 3 【题型一：中线】 3 【题型二：高线】 8 【题型三：角平分线】 11 【题型四：综合演练】 15 1 学科网（北京）股份有限公司 第2讲：三角形的中线、高线与角平分线 【知识梳理】 知识点1：三角形中线 定义：从三角形顶点到对边中点的直线段称为三角形中线 1 三角形有三条中线 2 中线是直线段，不是直线 性质： （1） 三角形三条中线在三角形内部相交于一点，且该交点将中线分成2:1的两段 （2） 三角形的三条中线将三角形分割成6个面积相等的小三角形 （3） 三角形中线的交点称为三角形的几何重心，简称重心 知识点2：三角形高线 定义：从三角形一个顶点向它对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 ①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在内部； ②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部，交点在三角形外部。 共性：任意三角形都有3条高，三条高所在直线必交于一点（垂心）。 知识点3：角平分线 角平分线绘制： （1） 以O点为圆心，以取定长为半径画弧分别交OA、OB于点C、D； （2） 以点C为圆心，以大于CD长a为半径画弧，以点D为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点E （3）作射线OE，即为∠AOB的角平分线 角平分线性质： 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 【题型演练】 【题型一：中线】 【例题1】已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【练习1-1】已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．32 C．8或32 D．16或32 【练习1-2】在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【例题2】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【练习2-1】如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【练习2-2】如图，是的中线，点是的三等分点（点靠近），是延长线上一点，，连接是的中点，连接．下列说法：；②；③和的面积相等；与的面积之比是1：2．其中正确的有_______．（填上序号） 【练习2-3】【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【例题3-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点 【例题3-2】如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【练习3-1】如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【练习3-2】如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【练习3-3】如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【题型二：高线】 【例题4-1】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A． B． C． D． 【例题4-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【练习4-1】如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【练习4-2】如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2) 如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【练习4-3】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【题型三：角平分线】 【例题5-1】如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（    ） A．4 B．2 C．3 D．6 【例题5-2】如图，已知，平分，若，则的长为________．    【例题5-3】如图的面积为，平分，且于P，则的面积为__________． 【练习5-1】如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习5-2】如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【练习5-3】如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)的度数为_____； (2)写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 【练习5-4】（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【练习5-5】【问题探究】 （1）在中，，的平分线交于点，于点． ①如图1，试说明； ②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【题型四：综合演练】 【综合演练1】如图，将三角形纸片按下面方式折叠，则分别是的（   ） A．中线，高，角平分线 B．高，中线，角平分线 C．高，角平分线，中线 D．角平分线，中线，高 【综合演练2】如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【综合演练3】如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【综合演练4】如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【综合演练5】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【综合演练6】（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 【综合演练7】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【综合演练8】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A． B． C． D． $ 目录 第2讲：三角形的中线、高线与角平分线 1 【知识梳理】 1 知识点1：三角形中线 1 知识点2：三角形高线 1 知识点3：角平分线 1 【题型演练】 3 【题型一：中线】 3 【题型二：高线】 16 【题型三：角平分线】 21 【题型四：综合演练】 33 1 学科网（北京）股份有限公司 第2讲：三角形的中线、高线与角平分线 【知识梳理】 知识点1：三角形中线 定义：从三角形顶点到对边中点的直线段称为三角形中线 1 三角形有三条中线 2 中线是直线段，不是直线 性质： （1） 三角形三条中线在三角形内部相交于一点，且该交点将中线分成2:1的两段 （2） 三角形的三条中线将三角形分割成6个面积相等的小三角形 （3） 三角形中线的交点称为三角形的几何重心，简称重心 知识点2：三角形高线 定义：从三角形一个顶点向它对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 ①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在内部； ②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部，交点在三角形外部。 共性：任意三角形都有3条高，三条高所在直线必交于一点（垂心）。 知识点3：角平分线 角平分线绘制： （1） 以O点为圆心，以取定长为半径画弧分别交OA、OB于点C、D； （2） 以点C为圆心，以大于CD长a为半径画弧，以点D为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点E （3）作射线OE，即为∠AOB的角平分线 角平分线性质： 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。 但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 【题型演练】 【题型一：中线】 【例题1】已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 【练习1-1】已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．32 C．8或32 D．16或32 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键．根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为等腰的边上的中线，底边长为， ，， 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 故选：B 【练习1-2】在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为41， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：A． 【例题2】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【练习2-1】如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【练习2-2】如图，是的中线，点是的三等分点（点靠近），是延长线上一点，，连接是的中点，连接．下列说法：；②；③和的面积相等；与的面积之比是1：2．其中正确的有_______．（填上序号） 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了根据平行线的判定和性质，根据三角形中线求面积，三角形全等的判定和性质． 根据三角形全等的判定和性质，可判断，由平行线的判定和性质，可判断，由三角形中线分面积相等，可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故正确； ∵是BC边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 故正确； ∵是的中线，点是的三等分点，G是的中点， ∴ ∴， 故不正确． 故答案为：． 【练习2-3】【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【例题3-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B．画出三角形薄板的三条高，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：A． 【例题3-2】如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 【练习3-1】如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形的重心，延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，即得到，进而由即可求解，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点为的重心， ∴是的中线，， ∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【练习3-2】如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，其性质是三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：点是的重心， 线段，，是的三条中线，故①错误； 是中线， ， 的面积是面积的一半；故②正确； ，，是的三条中线， 面积面积面积，面积面积面积，面积面积面积， 面积面积面积面积面积面积， 图中与面积相等的三角形有5个，故③正确； 故选：C 【练习3-3】如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 (3)；； 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 【题型二：高线】 【例题4-1】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高、折叠问题 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， C、将沿折叠后，垂直，故此是的高， D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C 【例题4-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 【练习4-1】如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用面积法，即用两种不同的表达方式列出三角形的面积．利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式】如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式乘多项式的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的面积表示出来． 由题意可得：阴影部分的面积，化简后即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， 阴影部分的面积 ， ∴要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道正方形的边长，即的长． 故选：B． 【练习4-2】如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 【练习4-3】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【题型三：角平分线】 【例题5-1】如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（    ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、与角平分线有关的三角形内角和问题、含30度角的直角三角形、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角的直角三角形，角平分线，点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 过点D作于点E，先求出，推导出，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，， ∴， ∵平分，交 于点D， ∴， ∴， ∴点D到的距离是4． 故选：A． 【例题5-2】如图，已知，平分，若，则的长为________．    【答案】3 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，三角形角平分线的定义，根据等角对等边证明边相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用平行线的性质证明，再根据角平分线的意义得出，从而可得，再根据等角对等边得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【例题5-3】如图的面积为，平分，且于P，则的面积为__________． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：8 【练习5-1】如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，， 即和都是等腰三角形； 故①正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 与不一定相等，故②错误． 在中，和的平分线相交于点， ， ， ；故③正确； 的周长为：； 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义，三角形内角和定理．解题的关键是掌握相关定义与性质． 【练习5-2】如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．    (1)求证：； (2)求证：点E为的中点． 【答案】(1) 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； (2) 证明：过点E作于点F， ∵，，平分， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 即点E为的中点．    【知识点】根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理、三角形角平分线的定义 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理求得，即可得出结论； （2）过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查角平分线的定义及性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【练习5-3】如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)的度数为_____； (2)写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； (3) 解：()中的结论仍然成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）由直角三角形的性质可得，再根据角平分线的定义得到，，进而根据三角形的外角性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得到，，再证明，得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【练习5-4】（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【练习5-5】【问题探究】 （1）在中，，的平分线交于点，于点． ①如图1，试说明； ②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】 （1）①证明：因为平分， 所以． 因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以． ②，理由：由（1）得， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以． （2） 【知识点】全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义得到，然后根据证明，得到结论；②根据全等得到，然后证明得到结论； （2）根据三角形的面积公式得到，然后根据，，得到，，推理得到，求出长，进而计算面积即可． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）因为， 所以， 所以． 因为的面积为，， 所以， 解得． 由①②可知，， 所以，． 因为，， 所以，即，解得， 所以， 所以， 故种植鲜花的面积是． 【题型四：综合演练】 【综合演练1】如图，将三角形纸片按下面方式折叠，则分别是的（   ） A．中线，高，角平分线 B．高，中线，角平分线 C．高，角平分线，中线 D．角平分线，中线，高 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线，熟练掌握折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线是解题的关键；因此此题可根据折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线的定义进行排除选项即可． 【详解】解：第一幅图：由折叠的性质可知：，因为，所以，即，所以是的高线； 第二幅图：由折叠的性质可知：，所以是的中线； 第三幅图：由折叠的性质可知：，所以是的角平分线； 故选B． 【综合演练2】如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，根据题意使该凉亭到公路，的距离相等，则点在的角平分线上，根据，则点在边上中线的交点，据此，即可求解． 【详解】解：如图，作的角平分线，边上中线，与交于，连接， 当点在的角平分线上， 点到公路，的距离相等， 是的边上中线， ，， ， 凉亭的位置应选在的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 【综合演练3】如图，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则BC的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形面积、三角形的中线等知识点，掌握三角形面积公式以及中线的定义是解题的关键． 由代入可得，再由是的中线即可得即可解答． 【详解】解：∵是的高线，的面积是8，， ，解得：， ∴． 故选：D． 【综合演练4】如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【综合演练5】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可. 【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意. 选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意. 选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意. 选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意. 故答案为：C ． 【综合演练6】（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 【答案】 （1）如图，点为所求： （2） 【知识点】重心的有关性质、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； （2）根据重心的性质进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得：点D为的重心， ． 【综合演练7】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、直角三角形的两个锐角互余、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【综合演练8】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义 【分析】作于点，由角平分线的性质，结合三角形的面积公式，可判断，由角平分线的定义，结合等角的余角相等，可得，由平行线的判定和性质，可得，等量代换，可判断，由同角的余角相等，结合角平分线的定义，可判断，由等腰三角形的判定方法，可判断． 【详解】解：∵， ∴， 作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴正确， ∵在中，是高， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴正确， 根据已知条件不能推出，即不能推出， ∴④不正确， ∴正确的是． 故选：A ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，角平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定． $