1.4 绝对值（第3课时：与绝对值有关的解答题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

1.4 绝对值（第3课时：与绝对值有关的解答题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 1．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】 (1)当取最小值时，可以取的整数为______________； (2)当的值最小时，最小值为_____________； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧，右侧，右侧．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【拓展】 (4)受地形影响，实验室P只能修建在A点以及A点左侧的公路上．此时的最低运输成本为_____________． 【答案】(1)、、、、 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括，）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元．理由如下： 设城区为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为： 表示到的距离与到3的距离之和，与到1的距离与到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． (4)36元 【分析】（1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义解答即可； （3）设城区为原点，建立数轴，实验室所对应的数为，根据题意可得，芯片的运输成本为，再结合绝对值的几何意义计算即可得出结果； （4）由题意可得，再结合绝对值的意义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离，加上到表示数的点的距离之和， 根据数轴上两点之间线段最短可得，当表示数的点落在和之间（包含端点）时，这个距离和取得最小值，最小值就是到的距离， 在这个区间内的整数有、、、、； （2）解：的几何意义表示数轴上表示数的点到表示数、、的点的距离之和， 对于奇数个点的绝对值求和最小值问题，当取中间点（也就是排序后位于最中间的那个数）时，总距离最小， ∵， ∴当时，的值最小，为； （3）略； （4）解：∵受地形影响，实验室P只能修建在A点以及A点左侧的公路上， ∴， 由（3）可得芯片的运输成本为， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴此时的最低运输成本为元． 2．综合应用题： 阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：容易看出，在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为和． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与的距离为的点的对应数为和，即的值为和． (1)仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值． ① ② (2)利用数轴，解决下列问题： ①对于任何有理数，式子是否有最小值？如果有，写出式子的最小值；如果没有，请说明理由． ②是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合的值及式子的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①和；②和 (2)①； ②不存在，理由如下： 可理解为，在数轴上点到点和点的距离之和， 当时，距离之和固定为， 当或时，距离之和会无限增大， 故没有最大值． 【分析】（1）①利用绝对值的几何意义，找数轴上到原点距离为的点，直接读出对应的两个数即可；②把式子改写为，找数轴上到距离等于的两个点，求出； （2）①理解为数轴上到、两点距离之和，当落在两点之间时距离和最小，最小值就是两定点的差；②理解为数轴上到、的距离之和，向数轴左右两侧无限远离时，距离和可以无限变大，则没有最大值． 【详解】（1）①解：，在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为和； ②解：，即，在数轴上与距离为的点的对应数为和，即的值为和． （2）①解：可理解为，在数轴上点到点和点的距离之和， 据图可知，当时，存在最小值，最小值为； ②略 3．【知识储备】点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离为__________； 【进阶感知】已知数轴上某个点表示的数为． (2)若，则__________； (3)若，则__________； (4)的最小值是__________； 【深入探究】 (5)的最小值是__________； (6)若有理数满足，则的最小值为__________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）根据题意可得或，即可求解； （4）根据题意可得在数轴上表示x到1的两点之间的距离与x到7的两点之间的距离之和，即可求解； （5）根据题意得：当时，取得最小值，即可求解； （6）根据题意得：当a在1和3之间时，取得最小值，最小值为，当b在和之间时，取得最小值，最小值为，此时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离为 （2）解：根据题意得：在数轴上表示x与1的距离为2， ∴或， （3）解：， ∴或， 解得：或； （4）解：根据题意得：在数轴上表示x到1的距离与x到7的两点之间的距离之和， 当x在1和7之间时，的值最小，最小值是； （5）解：根据题意得：当时，取得最小值，最小值是： ； （6）解：当a在1和3之间时，取得最小值，最小值为， 当b在和之间时，取得最小值，最小值为， 此时，满足条件， 此时当时，取得最小值，最小值为． 4．阅读探究：我们规定：数轴上两点的距离． (1)数轴上表示和两点的距离=______； (2)若，求； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可解答； （2）解绝对值方程即可解答； （3）当时有最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）解：， ∴， ∴, 即或； （3）解：当时有最小值， 此时 ． 5．如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)① ；② 有最小值，最小值为 【分析】（1）观察数轴直接计算； （2）根据距离列出算式，由绝对值的意义得出结果； （3）①将化为即可解答； ②由①可知表示到的距离与到 5 的距离之和，根据数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 或， 或， 即的值为或； （3）解：① 可表示数轴上有理数到的距离； ②即到的距离与到 5 的距离之和， 距离之和最小则在和之间（包括和）， 此时最小距离和即为和之间的距离， ， 故距离之和最小为7． 6．数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 【答案】(1)0； (2)； (3)5 【分析】（1）根据数轴上与表示1的点和表示的点距离相等的点所表示的数为0，数轴上与表示2的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可求解； （2）数轴上表示2的点和表示的点的距离是3，故在此范围内x的最小取值是，最大取值是2，即可求解； （3）数轴上表示2的点和表示的点的距离是5，故当时，，再根据在的范围内，即可求解． 【详解】（1）解：，即数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； ，即数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； （2）解：，即表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和为3， 在数轴上表示数x的点在表示数2的点和表示数的点之间（包含端点），即， 能取到的最小值是，最大值是2； （3）解：表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和， ，即当时，取得最小值为5， 表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 当时，取得最小值为0， 在的范围内， 当时，的最小值是5． 7．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)________． (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则________． ②若，请直接写出符合条件的所有的整数的值：________． ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． ④当为何值时，，请求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①或； ②，，，，，；③存在有理数，使得式子有最大值，最大值为，的值可以是（大于或等于的所有值均可）；④符合条件的的值为和 【分析】（1）根据两点间距离的定义解答即可； （2）①根据两点间距离的定义解答即可；②根据两点间距离的定义解答即可；③根据绝对值的性质，分，，三种情况讨论；④根据绝对值的性质，分，，三种情况讨论，再进行解方程即可． 【详解】（1）解：表示数轴上点和点的距离，即为， ∴； （2）解：①，可转化为，表示数轴上到点的距离为的数， ∴或； ②，可转化为，表示数轴上到点和点的距离和为的数， ∴在和之间（包括和）， ∴符合条件的所有的整数的值为：，，，，，； ③存在， 当时，原式可变为； 当时，原式可变为； 当时，原式可变为， 此时； ∴存在有理数，使得式子有最大值，最大值为，的值可以是（大于或等于的所有值均可）； ④当时，原方程可变为， 解得，与条件矛盾，舍去； 当时，原方程可变为， 解得，符合条件； 当时，原方程可变为， 解得，符合条件； 综上，符合条件的的值为和． 8．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 【答案】(1)4，8 (2) (3)①5或；②4 (4)的最小值为1025156 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； （2）解：A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； （3）解：①∵， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， ∴． 综上：或； ②， 当时，. （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 9．数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 ． (2)可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 ． (3)在数轴上，点表示，点表示，点与点始终保持距离为在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)；；； (3)或 【分析】（1）根据阅读材料中数轴上两点间的距离公式求出和的距离，表示出与两点间的距离即可； （2）根据表示数轴上与的距离得到与表示的意义，并根据在数轴上的位置，利用表示的意义，分情况讨论，求出的最小值； （3）根据在的右边，对应的数为，表示出表示的数为，进而表示出与的距离，到、的距离之和，列出关于的方程，根据的不同取值范围分情况讨论求出方程的解，即可得到的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：数轴上表示和的两点之间的距离是， 表示与两点之间的距离为； （2）解：根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应两点之间的距离，可理解为与两数在数轴上所对应两点之间的距离； ∴可理解为与，与在数轴上的距离的和， ①如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为和之间的距离，即距离和， ②如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为与的距离的倍加和之间的距离，即距离和， ③如图所示，当时，与，与在数轴上的距离的和为与的距离的倍加和之间的距离，即距离和， ∵当时，，当时，， ∴的最小值为； （3）解：∵点对应的数为，点与点始终保持距离为，点在点右侧， ∴点对应的数为， ∵表示的数为，表示的数为，，点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和， ∴，即， 整理得：， 当时，上式可化简为，解得， 当时，上式可化简为，解得（不合题意，舍去）， 当时，上式可化简为，解得， 综上所述，或． 10．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 11．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 12．综合探究与应用： (1)【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：“”可理解为___________________； 我们定义：形如“，，，”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． (2)【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是____________． ②不等式的解集是____________． (3)【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】(1)数在数轴上对应的点到原点的距离小于； (2)①或；②； (3)；或． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答； （2）①②仿照所给例即可求解； （3）分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）∵“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于， ∴“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； （2）①， 由数轴表示：， 绝对值不等式的解集是或， ②，即， 由数轴表示： 绝对值不等式的解集是； （3）分类讨论： ①当时，， ∵，即， ∴； ②当时，， ∵，即，不成立 ∴无解； ③当时，， ∵，即， ∴； 综上，解得或． 13．已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)①，；②，；③， (2) (3)①的值为或；②当时，最小，最小值为7． 【分析】（1）根据数轴得，结合绝对值的定义即可解答； （2）根据题意可得数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值，由此可解； （3）①根据数a到3的距离是7可得a的值；②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小，由此可解． 【详解】（1）①由数轴可得， ∴，； ②，； ③∵， ∴，， ∴，； （2）解：数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数的距离可表示为； （3）解：①∵， ∴， 解得：或10， 则的值为或； ②表示a到的距离和a到3的距离之和， 由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 14．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为）． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是_________，点N表示的数是_________（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)；7；10 (2)①，；②或 【分析】（1）根据点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，得到数a可能是3或，数b可能是7或，点A与点B的距离为，求解即可． （2）设运动时间为秒． ①根据题意，得,，则点M表示的数是，点N表示的数是； ②根据题意，得点M与点N的距离为，且点M与点N的距离为2个单位长度，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7， 得到数a可能是3或，数b可能是7或，点A与点B的距离为， 根据图示，得点A在原点的左侧，故数a是一个负数，取；点B在原点的右侧，故数b是一个正数，取7． （2）解：设运动时间为秒． ①根据题意，得,， 由点A表示的数是，点B表示的数是7， 故点M表示的数是，点N表示的数是； ②解：由材料得，点M与点N的距离为． 因为点M与点N的距离为2， 所以，或． 解，得． 解，得． 所以，t的值为或． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 绝对值（第3课时：与绝对值有关的解答题） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 1．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】 (1)当取最小值时，可以取的整数为______________； (2)当的值最小时，最小值为_____________； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧，右侧，右侧．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【拓展】 (4)受地形影响，实验室P只能修建在A点以及A点左侧的公路上．此时的最低运输成本为_____________． 2．综合应用题： 阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：容易看出，在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为和． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与的距离为的点的对应数为和，即的值为和． (1)仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值． ① ② (2)利用数轴，解决下列问题： ①对于任何有理数，式子是否有最小值？如果有，写出式子的最小值；如果没有，请说明理由． ②是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合的值及式子的最大值；如果不存在，请说明理由． 3．【知识储备】点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离为__________； 【进阶感知】已知数轴上某个点表示的数为． (2)若，则__________； (3)若，则__________； (4)的最小值是__________； 【深入探究】 (5)的最小值是__________； (6)若有理数满足，则的最小值为__________． 4．阅读探究：我们规定：数轴上两点的距离． (1)数轴上表示和两点的距离=______； (2)若，求； (3)求的最小值． 5．如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 6．数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 7．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)________． (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则________． ②若，请直接写出符合条件的所有的整数的值：________． ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． ④当为何值时，，请求出符合条件的的值． 8．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 9．数轴是初中数学的一个重要工具．它建立了“数”与“形”之间的对应，是“数形结合”的重要基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 （写出最后的结果），表示与的两点之间的距离为 ． (2)可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；可理解为与 两数在数轴上所对应两点之间的距离；所以的最小值为 ． (3)在数轴上，点表示，点表示，点与点始终保持距离为在射线上移动．已知点在点右侧，设点对应的数为，那么当点到点的距离恰好等于点分别到，两点的距离之和时，的值是多少？ 10．阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 11．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 12．综合探究与应用： (1)【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：“”可理解为___________________； 我们定义：形如“，，，”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． (2)【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是____________． ②不等式的解集是____________． (3)【拓展应用】解不等式，并画图说明． 13．已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 14．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为）． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是_________，点N表示的数是_________（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为2个单位长度？ 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 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