陕西西安市长安区兴国初级中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

2026-2027 学年第一学期九年级第一次大练习数学试题 一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分。每小题只有一个选项符合题意) 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 4．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 8．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 9．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 10．如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） （10题图） （11题图） 11．中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 12．某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 13．若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 14．菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 三、解答题(共78分) 15．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 18．如图，在中，，．尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； 19．如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状并说明理由． 20．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根． 21．某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 22．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 23．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A． （1）求证：△DCF∽△CEB； （2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长． 24．2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 25．如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 第2页/共25页 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【解析】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程；B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程；C选项：未明确，不一定是一元二次方程；D选项：是一元二次方程． 2．C 【解析】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 3．B 【解析】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 4．B 【解析】解：，，，，， ，，，，， ． 5．C 【解析】∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ，解得 综上，的取值范围是且．故选：C． 6．A 【解析】解：四边形是矩形，， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点，，， ， ，，． 7．C 【解析】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点，，∴， ∵，∴， 又，∴，， ∴，即，∴，∴的面积． 8．C 【解析】解：设点到的距离为，∵，， ∴，解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，设直线与交于点， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且，∴，∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为． 9．3 【解析】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 10．（或，答案不唯一） 【解析】解：添加可使菱形变为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）； 或添加，可使菱形变为正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 11． 【解析】解：∵四边形为菱形， ∴，，，∴， ∵，∴， ∴． 12． 【解析】解：∵等腰，∴，∴， ∵，∴，解得：（舍去） 13．8 【解析】解：∵是一元二次方程的根，∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根，∴由根与系数的关系得， ∴原式． 14．或/或 【解析】解：设菱形的边长为， ∴，， 点是的中点，，，， ，为平行线与之间的距离，即． 分两种情况讨论： 情况1：点在线段上， 过点作，交直线于点． ，，四边形是平行四边形，，， ， 又，为直角三角形，， 在中，由勾股定理，得 ， ，． 情况2：点在的延长线上， 在中，由勾股定理，得 ，。， ． 15．（1）解：方程的解为，； （2）解：方程的解为，； （3）解：方程的解为，； （4）解：方程的解为，． 16．（1）解：设则： （2）解：∵，∴，∴，∴． 17．（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． 18．解：如图所示，即为所求： 19．(1)证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； (2)解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 20．解：（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3． 当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0． 所以x1＝，x2＝． 21．（1）解：由题意得：、，， 同一时刻太阳光线平行，，，， ，即，； （2）解：根据光的反射定律，，由题意得：、， ，，， 由（1）知，，，， 解得：，即大厦高度为； （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 22．（1）解：设平均每年增长的百分率为x，根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据题意得：， 解得：，设购买费用为w元，则， ∵，∴w随m的增大而减小，∵m为整数，∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 23．解：（1）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC． ∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，∴∠DFC＝∠B，∴△DCF∽△CEB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6， ∵△DCF∽△CEB，DF＝4，CD＝8，∴，即，∴CE＝12． 24．（1）解：设销售单价为x元，则降价了元，∴多销售的个数为个， 依题意得：，化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：依题意得：，解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 25．（1）证明：因为，所以， 因为是的高，所以，所以， 因为平分，所以，所以. （2）解：过点作于点， . ，，. ，. 又，，，即，． 26．（1）解：取的中点N，连接， ，∴∴， ∴是等边三角形， ， 故答案为：（或）． （2）解：四边形是正方形， 由折叠性质得：， ①∴ ，故答案为：，． ②，理由如下：四边形是正方形， 由折叠可得，， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ， 由（2）可知， 设，即 解得：∴； 当点在点的上方时，如图， ，， 由（2）可知，设， 即解得：∴．综上所述，或． 第 2 页 共 25 页 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 $