第5讲 分段计费问题（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

第5讲 分段计费问题 考点梳理 分段计费问题是生活中常见的数学模型，其核心特征是：收费标准不统一，根据数量所在的区间不同，单价也不同。解决此类问题的关键在于“分段思考，合并计算”。 1. 核心概念 (1) 分段点（临界值）：收费标准发生变化的数值界限。例如：用电量在200度以内和超过200度的部分价格不同，200就是分段点。 (2) 基础段：通常指第一段，往往包含一个固定的起步价或较低的基础单价。 (3) 超额段：超过分段点后的部分，通常单价更高（惩罚性收费）或更低（鼓励性收费，如批发）。 2. 解题两大基本模型 模型一：正向计算（已知数量，求总费用） 思路：将总数量按照分段点进行切割，分别计算每一段的费用，最后相加。 步骤： (1) 判断总数量超过了几个分段点。 (2) 计算第一段（基础段）的费用： 。 (3) 计算第二段及后续段的费用： 。 (4) 总费用 = 各段费用之和。 模型二：逆向推导（已知总费用，求数量） 思路：先判断总费用处于哪个收费区间，再逐层剥离。 步骤： (1) 计算第一段的满额费用。如果总费用小于它，说明只在第一段；如果大于，说明进入了下一段。 (2) 用总费用减去第一段的满额费用，得到剩余费用。 (3) 用剩余费用除以第二段的单价，得到第二段产生的数量。 (4) 总数量 = 第一段基础数量 + 第二段产生的数量。（若有更多段，依此类推） 模型三：比较与优化（方案选择） 思路：分别计算不同方案下的费用，或者寻找两种方案费用相等的“平衡点”。 技巧：对于固定套餐与按量计费的比较，可以先算出固定套餐折合的“等效单价”，或者直接计算临界使用量。 3. 易错点提醒 (1) 忘记分段：直接用总数量乘以最高或最低单价。 (2) 基数错误：在计算超额部分时，忘记减去前面的基础数量。 (3) 区间判断失误：在逆向推导时，未先验证费用是否超过上一段的封顶费用，导致除数错误。 例题讲解 【典型例题1】基础正向计算 某市自来水公司规定：每户每月用水10吨以内（含10吨），每吨收费2.5元；超过10吨的部分，每吨收费4元。小明家上月用水16吨，应缴水费多少元？ 【跟踪训练1】 某停车场规定：停车2小时以内（含2小时）收费5元；超过2小时的部分，每小时收费3元（不足1小时按1小时计算）。张叔叔停车5小时，应付停车费多少元？ 【典型例题2】逆向推导（已知费用求数量） 某地出租车收费标准如下：起步价10元（含3千米）；超过3千米后，每千米收费2元。李叔叔付了24元车费，他乘坐了多少千米？ 【跟踪训练2】 某通讯公司手机话费套餐：月租15元，包含100分钟通话时间；超过100分钟的部分，每分钟0.2元。王老师上个月话费共计35元，他上个月通话了多少分钟？ 【典型例题3】多段计费与复杂逆向 某市实行阶梯电价： 第一档：0-200度，每度0.5元； 第二档：201-400度，每度0.6元； 第三档：400度以上，每度0.8元。 小红家上个月电费是172元，她家上个月用电多少度？ 【跟踪训练3】 某快递公司的收费标准： 1千克以内（含1千克）收费10元； 1-5千克部分（不含1千克，含5千克），每千克加收3元； 5千克以上部分，每千克加收2元。 小明寄包裹花了34元，包裹重多少千克？ 培优练习 1.某市燃气收费规定：每户每月用气 30 立方米以内（含 30 立方米），每立方米 2 元；超过 30 立方米的部分，每立方米 2.8 元。小华家这个月用气 38 立方米，需要交燃气费多少元？ 2.公园停车场收费：停车 4 小时以内（含 4 小时）收费 8 元；超过 4 小时的部分，每小时收费 2.5 元，不足 1 小时按 1 小时算。王大伯停车 7 小时，应付停车费多少元？ 3.自来水收费：每户每月用水 12 吨以内（含 12 吨），每吨 3 元；超过 12 吨部分，每吨 4.5 元。小刚家用水 17 吨，应缴水费多少元？ 4.出租车收费：起步价 12 元（包含 4 千米），超过 4 千米之后，每千米 2.3 元。小明打车行驶 9 千米，一共要付车费多少元？ 5.快递寄件收费：2 千克以内（含 2 千克）收费 12 元；2 千克以上到 6 千克（含 6 千克）部分，每千克 4 元；6 千克以上部分每千克 3 元。一件包裹重 8 千克，寄件费用是多少元？ 6.阶梯电价：第一档 0～150 度，每度 0.55 元；第二档 151～300 度，每度 0.65 元；第三档 300 度以上每度 0.75 元。小宇家用电 260 度，电费多少元？ 7.图书馆复印收费：复印 30 张以内（含 30 张）每张 0.4 元；超过 30 张的部分每张 0.25 元。需要复印 44 张，一共要花多少钱？ 8.宽带超时使用费：每月基础使用 60 小时以内（含 60 小时）收费 40 元；超过 60 小时部分，每小时 1.8 元。小强家本月上网 72 小时，需要交多少使用费？ 9.出租车收费标准：起步价 11 元（含 5 千米）；超过 5 千米后每千米 2 元。小红打车一共付了 27 元，她坐车行驶了多少千米？ 10.水费标准：每月用水 15 吨以内（含 15 吨）每吨 2.6 元；超过 15 吨部分每吨 3.2 元。乐乐家交水费 71 元，乐乐家用水多少吨？ 11.手机话费：月租 20 元，包含 120 分钟通话；超过 120 分钟，每分钟 0.25 元。上个月总话费 45 元，一共通话多少分钟？ 12.某寄件点收费：1 千克以内（含 1 千克）收费 9 元；超过 1 千克，不大于 4 千克部分，每千克 4 元。小宇寄包裹一共花 21 元，这个包裹重多少千克？ 13.阶梯电价：第一档：0‑180 度，每度 0.5 元；第二档：181‑350 度，每度 0.6 元；第三档：350 度以上每度 0.7 元。小林家交电费 150 元，用电多少度？ 14.停车场收费：3 小时以内（含 3 小时）收 6 元；超过 3 小时部分，每小时收费 2 元（不足 1 小时按 1 小时算）。李先生付停车费 18 元，最多停车几小时？ 15.打印店打印：25 张以内（含 25 张）每张 0.5 元；超过 25 张部分每张 0.3 元。一共花了 20 元打印，打印多少张？ 16.物流托运收费：5 千克以内（含 5 千克）收费 14 元；5‑10 千克（不含 5，含 10）每千克 3 元；10 千克以上每千克 2 元。一件货物托运缴费 43 元，货物重多少千克？ 17.某地水费标准：每月用水 8 吨以内（含 8 吨）每吨 2 元；8‑15 吨（不含 8 吨，含 15 吨）每吨 3 元；超过 15 吨每吨 4 元。 （1）小军家用水 14 吨，水费多少元？ （2）小兰家交水费 62 元，用水多少吨？ 18.阶梯燃气收费：第一档：0‑40 立方米，每立方米 2.2 元；第二档 41‑70 立方米，每立方米 2.7 元；第三档 70 立方米以上，每立方米 3.2 元。 （1）小方家使用燃气 65 立方米，应交燃气费多少元？ （2）小陈家交燃气费 202.5 元，用燃气多少立方米？ 19.网约车收费：起步价 9 元（包含 3 千米）；3‑10 千米部分，每千米 1.8 元；超过 10 千米部分每千米 2.5 元。 （1）乘车 12 千米，需要付车费多少元？ （2）某人乘车一共付费 32.6 元，乘车行驶多少千米？ 20.书店打印店收费规则：打印 50 张以内（含 50 张），每张 0.4 元；51‑100 张（含 100 张）部分每张 0.3 元；100 张以上部分每张 0.2 元。 （1）打印 92 张，一共花费多少元？ （2）一共花 41 元打印，打印多少张？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 分段计费问题 考点梳理 分段计费问题是生活中常见的数学模型，其核心特征是：收费标准不统一，根据数量所在的区间不同，单价也不同。解决此类问题的关键在于“分段思考，合并计算”。 1. 核心概念 (1) 分段点（临界值）：收费标准发生变化的数值界限。例如：用电量在200度以内和超过200度的部分价格不同，200就是分段点。 (2) 基础段：通常指第一段，往往包含一个固定的起步价或较低的基础单价。 (3) 超额段：超过分段点后的部分，通常单价更高（惩罚性收费）或更低（鼓励性收费，如批发）。 2. 解题两大基本模型 模型一：正向计算（已知数量，求总费用） 思路：将总数量按照分段点进行切割，分别计算每一段的费用，最后相加。 步骤： (1) 判断总数量超过了几个分段点。 (2) 计算第一段（基础段）的费用： 。 (3) 计算第二段及后续段的费用： 。 (4) 总费用 = 各段费用之和。 模型二：逆向推导（已知总费用，求数量） 思路：先判断总费用处于哪个收费区间，再逐层剥离。 步骤： (1) 计算第一段的满额费用。如果总费用小于它，说明只在第一段；如果大于，说明进入了下一段。 (2) 用总费用减去第一段的满额费用，得到剩余费用。 (3) 用剩余费用除以第二段的单价，得到第二段产生的数量。 (4) 总数量 = 第一段基础数量 + 第二段产生的数量。（若有更多段，依此类推） 模型三：比较与优化（方案选择） 思路：分别计算不同方案下的费用，或者寻找两种方案费用相等的“平衡点”。 技巧：对于固定套餐与按量计费的比较，可以先算出固定套餐折合的“等效单价”，或者直接计算临界使用量。 3. 易错点提醒 (1) 忘记分段：直接用总数量乘以最高或最低单价。 (2) 基数错误：在计算超额部分时，忘记减去前面的基础数量。 (3) 区间判断失误：在逆向推导时，未先验证费用是否超过上一段的封顶费用，导致除数错误。 例题讲解 【典型例题1】基础正向计算 某市自来水公司规定：每户每月用水10吨以内（含10吨），每吨收费2.5元；超过10吨的部分，每吨收费4元。小明家上月用水16吨，应缴水费多少元？ 【详解】 分析：用水量16吨，超过了10吨的分段点，需要分两段计算。 第一段（10吨以内）： （元） 第二段（超过10吨的部分）： 超额水量： （吨） 超额费用： （元） 总费用： （元） 【答案】 49元 【跟踪训练1】 某停车场规定：停车2小时以内（含2小时）收费5元；超过2小时的部分，每小时收费3元（不足1小时按1小时计算）。张叔叔停车5小时，应付停车费多少元？ 【详解】 分析：停车5小时，超过2小时。注意“不足1小时按1小时算”，这里5小时是整数，无需向上取整，直接计算超时时长。 基础段：2小时收费5元。 超额段： 超时时间： （小时） 超时费用： （元） 总费用： （元） 【答案】 14元 【典型例题2】逆向推导（已知费用求数量） 某地出租车收费标准如下：起步价10元（含3千米）；超过3千米后，每千米收费2元。李叔叔付了24元车费，他乘坐了多少千米？ 【详解】 分析：首先判断24元是否超过起步价。 ，说明行驶里程超过了3千米。 扣除起步价：超出部分的费用为 （元）。 计算超额里程：超出部分的单价是2元/千米，所以超额里程为 （千米）。 计算总里程：起步里程 + 超额里程 = （千米）。 【答案】 10千米 【跟踪训练2】 某通讯公司手机话费套餐：月租15元，包含100分钟通话时间；超过100分钟的部分，每分钟0.2元。王老师上个月话费共计35元，他上个月通话了多少分钟？ 【详解】 分析：总话费35元，大于月租15元，说明通话时间超过100分钟。 扣除月租：用于支付超额通话的费用为 （元）。 计算超额时间： （分钟）。 计算总时间： （分钟）。 【答案】 200分钟 【典型例题3】多段计费与复杂逆向 某市实行阶梯电价： 第一档：0-200度，每度0.5元； 第二档：201-400度，每度0.6元； 第三档：400度以上，每度0.8元。 小红家上个月电费是172元，她家上个月用电多少度？ 【详解】 判断区间： 第一档满额费用： （元）。 因为 ，所以用电量超过200度。 第二档满额费用（201-400度共200度）： （元）。 前两档总费用： （元）。 因为 ，所以用电量在第二档范围内（200-400度之间），未进入第三档。 计算第二档用电量： 扣除第一档费用后剩余电费： （元）。 第二档用电度数： （度）。 计算总度数： 总度数 = 第一档基数 + 第二档度数 = （度）。 【答案】 320度 【跟踪训练3】 某快递公司的收费标准： 1千克以内（含1千克）收费10元； 1-5千克部分（不含1千克，含5千克），每千克加收3元； 5千克以上部分，每千克加收2元。 小明寄包裹花了34元，包裹重多少千克？ 【详解】 判断区间： 首重1千克费用：10元。 续重1-5千克（共4千克）满额费用： 元。 前5千克总费用： 元。 因为 ，说明重量超过5千克。 计算第三段重量： 扣除前5千克费用后剩余： （元）。 第三段单价2元/千克，重量： （千克）。 计算总重量： 总重量 = 5 + 6 = 11（千克）。 【答案】 11千克 培优练习 1.某市燃气收费规定：每户每月用气 30 立方米以内（含 30 立方米），每立方米 2 元；超过 30 立方米的部分，每立方米 2.8 元。小华家这个月用气 38 立方米，需要交燃气费多少元？ 【详解】 用气 38 立方米，超过 30 立方米分段点，分两段计算。 第一段：30 立方米费用：（元） 超额部分：（立方米） 超额部分费用：（元） 总费用：（元） 【答案】82.4 元 2.公园停车场收费：停车 4 小时以内（含 4 小时）收费 8 元；超过 4 小时的部分，每小时收费 2.5 元，不足 1 小时按 1 小时算。王大伯停车 7 小时，应付停车费多少元？ 【详解】 7 小时大于 4 小时，分段计算。 基础段 4 小时：8 元 超出时长：（小时） 超出部分费用：（元） 总费用：（元） 【答案】15.5 元 3.自来水收费：每户每月用水 12 吨以内（含 12 吨），每吨 3 元；超过 12 吨部分，每吨 4.5 元。小刚家用水 17 吨，应缴水费多少元？ 【详解】 17 吨超过 12 吨，分两段。 12 吨以内费用：（元） 超出吨数：（吨） 超出费用：（元） 总水费：（元） 【答案】58.5 元 4.出租车收费：起步价 12 元（包含 4 千米），超过 4 千米之后，每千米 2.3 元。小明打车行驶 9 千米，一共要付车费多少元？ 【详解】 9 千米＞4 千米，分段计算。 起步价：12 元 超出里程：（千米） 超出费用：（元） 总车费：（元） 【答案】23.5 元 5.快递寄件收费：2 千克以内（含 2 千克）收费 12 元；2 千克以上到 6 千克（含 6 千克）部分，每千克 4 元；6 千克以上部分每千克 3 元。一件包裹重 8 千克，寄件费用是多少元？ 【详解】 8 千克，分三段计算。 第一段 2 千克：12 元 第二段：（千克），费用（元） 第三段：（千克），费用（元） 总费用：（元） 【答案】34 元 6.阶梯电价：第一档 0～150 度，每度 0.55 元；第二档 151～300 度，每度 0.65 元；第三档 300 度以上每度 0.75 元。小宇家用电 260 度，电费多少元？ 【详解】 260 度落在第二档，分两段。 第一档 150 度：（元） 第二档度数：（度） 第二档费用：（元） 总电费：（元） 【答案】154 元 7.图书馆复印收费：复印 30 张以内（含 30 张）每张 0.4 元；超过 30 张的部分每张 0.25 元。需要复印 44 张，一共要花多少钱？ 【详解】 44 张超过 30 张。 前 30 张费用：（元） 超出张数：（张） 超出费用：（元） 总钱数：（元） 【答案】15.5 元 8.宽带超时使用费：每月基础使用 60 小时以内（含 60 小时）收费 40 元；超过 60 小时部分，每小时 1.8 元。小强家本月上网 72 小时，需要交多少使用费？ 【详解】 72 小时＞60 小时。 基础费用：40 元 超出时长：（小时） 超出费用：（元） 总费用：（元） 【答案】61.6 元 9.出租车收费标准：起步价 11 元（含 5 千米）；超过 5 千米后每千米 2 元。小红打车一共付了 27 元，她坐车行驶了多少千米？ 【详解】 ，里程超过 5 千米。 超出部分费用：（元） 超出里程：（千米） 总里程：（千米） 【答案】13 千米 10.水费标准：每月用水 15 吨以内（含 15 吨）每吨 2.6 元；超过 15 吨部分每吨 3.2 元。乐乐家交水费 71 元，乐乐家用水多少吨？ 【详解】 15 吨满额费用：（元） ，用水量超过 15 吨。 超出部分水费：（元） 超出吨数：（吨） 总吨数：（吨） 【答案】25 吨 11.手机话费：月租 20 元，包含 120 分钟通话；超过 120 分钟，每分钟 0.25 元。上个月总话费 45 元，一共通话多少分钟？ 【详解】 ，通话超过 120 分钟。 超额话费：（元） 超额通话时长：（分钟） 总通话时间：（分钟） 【答案】220 分钟 12.某寄件点收费：1 千克以内（含 1 千克）收费 9 元；超过 1 千克，不大于 4 千克部分，每千克 4 元。小宇寄包裹一共花 21 元，这个包裹重多少千克？ 【详解】 首重 1 千克：9 元。 1‑4 千克这一段最多重量千克，最多费用元；前 4 千克总费用元。 正好花费 21 元，包裹重 4 千克。 【答案】4 千克 13.阶梯电价：第一档：0‑180 度，每度 0.5 元；第二档：181‑350 度，每度 0.6 元；第三档：350 度以上每度 0.7 元。小林家交电费 150 元，用电多少度？ 【详解】 第一档满额：（元） ，超过 180 度。 前两档封顶费用：（元） ，电量落在第二档。 第二档电费：（元） 第二档度数：（度） 总用电：（度） 【答案】280 度 14.停车场收费：3 小时以内（含 3 小时）收 6 元；超过 3 小时部分，每小时收费 2 元（不足 1 小时按 1 小时算）。李先生付停车费 18 元，最多停车几小时？ 【详解】 ，停车超过 3 小时。 超出部分费用：（元） 超出时长：（小时） 总时长：（小时） 【答案】9 小时 15.打印店打印：25 张以内（含 25 张）每张 0.5 元；超过 25 张部分每张 0.3 元。一共花了 20 元打印，打印多少张？ 【详解】 25 张费用：（元） ，打印张数大于 25 张。 超出花费：（元） 超出张数：（张） 总张数：（张） 【答案】50 张 16.物流托运收费：5 千克以内（含 5 千克）收费 14 元；5‑10 千克（不含 5，含 10）每千克 3 元；10 千克以上每千克 2 元。一件货物托运缴费 43 元，货物重多少千克？ 【详解】 第一段 5 千克费用：14 元。 5 到 10 千克共千克，费用元；前 10 千克合计：元。 ，重量超过 10 千克。 第三段费用：（元） 第三段重量：（千克） 总重量：（千克） 【答案】17 千克 17.某地水费标准：每月用水 8 吨以内（含 8 吨）每吨 2 元；8‑15 吨（不含 8 吨，含 15 吨）每吨 3 元；超过 15 吨每吨 4 元。 （1）小军家用水 14 吨，水费多少元？ （2）小兰家交水费 62 元，用水多少吨？ 【详解】 (1) 14 吨，第一段 8 吨：元； 第二段：吨，元； 总水费：元。 (2) 8 吨费用：元； 8‑15 吨共吨，费用元； 前 15 吨总费用：元。 ，用水超过 15 吨。 超出 15 吨的费用：元 超出吨数：（吨） 总吨数：（吨） 【答案】(1) 34 元；(2) 21.25 吨 18.阶梯燃气收费：第一档：0‑40 立方米，每立方米 2.2 元；第二档 41‑70 立方米，每立方米 2.7 元；第三档 70 立方米以上，每立方米 3.2 元。 （1）小方家使用燃气 65 立方米，应交燃气费多少元？ （2）小陈家交燃气费 202.5 元，用燃气多少立方米？ 【详解】 (1) 65 立方米，第一档 40 立方米：元 第二档：立方米，元 总燃气费：元 (2) 第一档满额：元； 第二档共立方米：元； 前两档合计：元。 ，进入第三档。 第三段费用：元 第三段气量：立方米 总气量：立方米 【答案】(1) 155.5 元；(2) 80.46875 立方米 19.网约车收费：起步价 9 元（包含 3 千米）；3‑10 千米部分，每千米 1.8 元；超过 10 千米部分每千米 2.5 元。 （1）乘车 12 千米，需要付车费多少元？ （2）某人乘车一共付费 32.6 元，乘车行驶多少千米？ 【详解】 (1) 第一段 3 千米：9 元 第二段：千米，元 第三段：千米，元 总车费：元 (2) 前 3 千米 9 元；3‑10 千米 7 千米，12.6 元；前 10 千米合计元。 ，里程超过 10 千米。 超出 10 千米费用：元 超出里程：（千米） 总里程：（千米） 【答案】(1) 26.6 元；(2) 14.4 千米 20.书店打印店收费规则：打印 50 张以内（含 50 张），每张 0.4 元；51‑100 张（含 100 张）部分每张 0.3 元；100 张以上部分每张 0.2 元。 （1）打印 92 张，一共花费多少元？ （2）一共花 41 元打印，打印多少张？ 【详解】 (1) 前 50 张：元 第二段：张，元 合计：元 (2) 50 张：20 元； 51‑100 张一共张：元； 前 100 张总费用：元。 ，打印数量超过 100 张。 超过 100 张部分费用：元 超出张数：（张） 总张数：（张） 【答案】(1) 32.6 元；(2) 130 张 学科网（北京）股份有限公司 $