专题3：☆生活中的分段计费（综合实践）（思维拓展）-苏教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题三 生活中的分段计费（综合实践） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：出租车分段计费与边界判断（进阶推理） 3 考点二：阶梯水电燃气费计算（进阶应用） 4 考点三：分段计费逆向求解（算理强化・奥数题型） 6 考点四：计费方案优选与对比（思维拓展・奥数题型） 7 考点五：综合实践与合理性分析（实践拓展） 9 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：分段临界点归属混淆，跨段计算重复或遗漏 10 易错点 2：直接按均价乘总量，忽略分段计价规则 11 易错点 3：逆向求解分段错误，费用与用量对应偏差 11 易错点 4：“不足按整算” 的最值判断失误 11 易错点 5：方案对比只算总价，忽略场景适配性 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 12 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版六年级上册 “综合与实践” 领域经典内容，以生活中常见的出租车、水费、电费、燃气费、停车费等分段计费问题为载体，以“规则认知→分段计算→逆向求解→分析评价” 为主线，系统覆盖分段计费概念、常见计费类型、分段计算方法、逆向求解、方案选择与合理性分析五大模块，渗透模型思想、分段思维、优化决策、数据分析等核心数学素养。 专题遵循 “认识规则→掌握算法→逆向应用→实践分析” 的认知路径，从出租车起步价、阶梯电价等熟悉的生活场景切入，理解 “起步价”“阶梯计价”“不足按整算” 等核心概念；掌握分段计费的通用计算方法；能根据费用逆向推算用量范围；能对比不同计费方案、分析分段标准的合理性；完整经历 “调查规则→计算应用→分析评价” 的综合实践过程。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域探究与应用要求，呼应 2024 版苏教版教材综合实践活动设计，体会数学在生活中的应用价值。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 出租车计费 起步价规则；超出部分计价；不足 1 千米按 1 千米算 分段计算法、边界判断法 临界点归属不清，不足按整算失误 阶梯水电燃气费 多档阶梯计价；分档累加计算；阶梯用量分界 分档累加发、区间定位法 跨档重复计算，档位分界错误 逆向求解 已知费用求用量；求最值范围 逆推还原法、边界分析法 分段对应错误，最值边界混淆 方案优选 多方案计费对比；场景适配选择 方案对比法、成本分析法 分段遗漏，方案对比片面 综合实践 计费规则调查；合理性分析；改进建议 调查分析法、数据支撑法 脱离数据，主观评价 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分段计算法 基础分段计费题 ①确定分段临界点；②各段分别计算费用；③各段费用相加得总价 先分段，算各段，加起来，得总价 边界分析法 最值范围问题 ①确定计费规则的进位标准；②最大对应刚好临界值；③最小对应超临界值 最大看刚好，最少看超档 逆推还原法 已知费用求用量 ①先扣起步 / 基础费用；②剩余费用除以对应单价得超出量；③加基础量得总用量 先减基础费，再算超用量，加回基础量 方案对比法 多方案选择 ①分别计算各方案费用；②对比费用高低；③结合场景选择最优 分别算，比总价，看场景，选最优 调查分析法 合理性分析 ①收集计费规则与用量数据；②计算不同档位占比；③分析合理性提建议 收数据，算占比，评合理，提建议 三、数学思维提升 1. 分段分类思维 核心要点：把一个总量按照计费标准分成不同的段，每段对应不同的单价，分别计算再合并。分段思维是解决复杂问题的通用思想，把复杂问题拆解成简单的小问题，逐个击破再整合。 专题示例：出租车车费分成 3 千米以内的起步价部分和超出 3 千米的加价部分，分开算再加起来，就是分段思维的应用。 2. 建模转化思维 核心要点：把生活中的计费问题转化成数学中的分段计算模型，用数学算式表达计费规则，把实际问题转化成数学计算问题，体现建模思想。 专题示例：阶梯电价问题，转化成 “第一档数量 × 第一档单价 + 第二档数量 × 第二档单价 = 总费用” 的数学模型，用数学方法解决生活问题。 3. 优化决策思维 核心要点：面对多种计费方案，通过计算对比，结合实际使用场景选择最划算的方案，培养优化决策的能力，用数学知识指导生活决策。 专题示例：手机套餐选择、出租车类型选择，都可以通过计算对比，选出最适合自己的方案，就是优化决策的应用。 4. 数据分析思维 核心要点：通过统计不同档位的用量分布、费用占比，分析分段计费标准的合理性，用数据支撑评价与建议，体现统计的价值，培养数据分析能力。 专题示例：调查全班家庭的月用电量，统计落在第一、二、三阶梯的家庭占比，就能分析当地阶梯电价设置得是否合理。 5. 实践探究思维 核心要点：通过实际调查、收集数据、分析评价，完整经历综合实践的全过程，把数学知识和生活实际结合起来，体会数学的应用价值，提升实践能力。 专题示例：调查当地出租车收费标准、家庭水电费用，分析分段计费的意义，就是实践探究的过程。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：出租车分段计费与边界判断（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础分段计费 题目：某市出租车收费标准：3 千米以内 10 元；超过 3 千米的部分，每千米 2.2 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。小明乘车行驶了 7.2 千米，应付多少元车费？ 解题步骤： ① 确定分段与进位：7.2 千米超过了 3 千米，不足 1 千米按 1 千米计算，7.2 千米按 8 千米计算； ② 计算超出部分的费用：超出里程千米，超出费用元； ③ 总费用 = 起步价 + 超出部分费用：元。 【答案】应付 21 元车费。 【知识点睛】本题考查出租车分段计费的基础计算，是分段计费的入门题型。 核心方法：总费用 = 起步价 + 超出起步里程的费用。 特别注意 “不足 1 千米按 1 千米计算” 的规则，这是 “进一法” 在生活中的典型应用，无论超出多少，只要超过整数里程，就按下一个整数计算。判断时，只要不是刚好整千米，就向上进一位取整，再计算超出里程。 典型例题 2（思维拓展型）—— 费用反推里程最值（奥数题型） 题目：某市出租车收费标准：3 千米以内 11 元；超过 3 千米的部分，每千米 2.5 元（不足 1 千米按 1 千米计算）。王叔叔付了 26 元车费，他乘车的里程最多是多少千米？最少是多少千米？ 解题步骤： ① 先计算超出起步价的费用：元； ② 计算超出 3 千米的最大里程：超出费用 ÷ 单价 = 超出里程，千米； 总里程最多：千米，刚好行驶 9 千米时，费用正好 26 元； ③ 分析最少里程：不足 1 千米按 1 千米算，只要超过 8 千米，就会按 9 千米计费； 所以最少比 8 千米多，即大于 8 千米，不超过 9 千米。 【答案】最多是 9 千米，最少是大于 8 千米（或）。 【知识点睛】本题是分段计费的最值问题，属于奥数经典题型。 解题关键是理解 “不足按整算” 的边界含义：费用对应一个里程区间，而不是一个固定值。 规律总结：费用固定时，最大里程就是刚好整数的情况，此时费用正好对应；最少里程就是比前一个整数多一点点，只要超过就进位到当前整数。这类题能很好地培养边界思维与逆向推理能力。 考点二：阶梯水电燃气费计算（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 两档阶梯电费 题目：某市居民阶梯电价标准：第一阶梯每月用电量 230 度以内，每度 0.56 元；第二阶梯 231~400 度，每度加价 0.05 元（即 0.61 元 / 度）。小华家八月份用电 300 度，应交电费多少元？ 解题步骤： ① 分档确定用电量：300 度跨越两个阶梯，第一阶梯满档 230 度，第二阶梯度； ② 分别计算各档费用： 第一阶梯：元 第二阶梯：元 ③ 总电费：元。 【答案】应交电费 171.5 元。 【知识点睛】本题考查两档阶梯计费的计算，是生活中最常见的分段计费类型。 核心原则：分段计价，累加收费，不同档位的用量对应不同的单价，分别计算再相加。 注意：第二阶梯的单价是 “加价”，要先算出第二阶梯的实际单价，不能直接用加价乘总用量；也不能全部用量都按第二档单价算，必须分档计算。 典型例题 2（思维拓展型）—— 三档阶梯水费 题目：某市居民阶梯水费标准如下：第一阶梯每月用水量 15 吨以内，每吨 3.2 元；第二阶梯 16~30 吨，每吨 4.1 元；第三阶梯 31 吨及以上，每吨 6.8 元。小刚家七月份用水 35 吨，应交水费多少元？ 解题步骤： ① 分档拆分用水量：35 吨跨越三个阶梯，第一档 15 吨，第二档吨，第三档吨； ② 分别计算各档费用： 第一阶梯：元 第二阶梯：元 第三阶梯：元 ③ 总水费：元。 【答案】应交水费 143.5 元。 【知识点睛】本题考查三档阶梯计费，是阶梯计费的拓展题型。 解题方法和两档一致，按档位从低到高依次拆分用量，每档对应对应单价，累加求和。 多档阶梯计费的通用步骤：①从最低档开始，满档先算满档费用；②剩余用量进入下一档，直到算完所有用量；③各档费用相加得总费用。档位越多，越要注意有序拆分，避免重复或遗漏。 考点三：分段计费逆向求解（算理强化・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础逆推用量 题目：某市天然气收费标准：50 立方米以内 2.8 元 / 立方米；超过 50 立方米的部分，每立方米 3.5 元。小丽家上个月交天然气费 175 元，她家上个月用了多少立方米天然气？ 解题步骤： ① 先计算第一档满档费用：元； ② 对比总费用判断档位：，说明用量超过 50 立方米，超出费用元； ③ 计算超出部分用量：立方米； 总用量：立方米。 【答案】用了 60 立方米天然气。 【知识点睛】本题考查分段计费的逆向求解，是奥数基础题型。 解题思路和正向计算相反：先判断档位，再减去基础档费用，剩余费用除以对应单价得超出用量，最后加基础档用量。 验证技巧：算完后正向计算一遍费用，看是否和题目一致，确保结果正确。逆向求解是分段计费的高频考点，核心是量费对应，每段费用对应每段用量。 典型例题 2（思维拓展型）—— 三档阶梯逆推（奥数题型） 题目：某市阶梯水费标准：15 吨以内 3.2 元 / 吨，16~30 吨 4.1 元 / 吨，31 吨以上 6.8 元 / 吨。某户交水费 139.7 元，用水多少吨？ 解题步骤： ① 先计算前两档满档费用： 第一档 15 吨：元 第二档 15 吨：元 前两档合计：元 ② 对比总费用：，说明用水量超过 30 吨，进入第三档； 第三档费用：元 ③ 第三档用水量：吨 总用水量：吨。 【答案】约 34.44 吨。 【知识点睛】本题考查三档阶梯计费的逆向求解，属于奥数进阶题型。 解题核心是逐级判断档位、分段逆推用量。先从最低档开始，依次计算每档满档费用，和总费用对比确定最高档位；减去前面所有档位的费用，得到最高档的费用；除以对应单价得到最高档用量；加上前面所有档位的总量，得到总用量。 易错提醒：不要直接用总费用除以最高档单价，必须分档逆推。 考点四：计费方案优选与对比（思维拓展・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 两方案对比 题目：同样行驶 10 千米，普通出租车起步价 10 元 3 千米，超出部分每千米 2.2 元；新能源出租车起步价 8 元 2 千米，超出部分每千米 2.5 元。坐哪种出租车更划算？ 解题步骤： ① 计算普通出租车费用： 超出里程千米，总费用元； ② 计算新能源出租车费用： 超出里程千米，总费用元； ③ 对比：，普通出租车更划算。 【答案】坐普通出租车更划算。 【知识点睛】本题考查不同计费方案的对比，是实践应用的基础题型。 方法很简单：相同条件下，分别计算总费用，费用低的更划算。 拓展思考：不是所有里程都是普通车划算，里程很短的时候新能源更便宜。这类问题的本质是找到两种方案费用相等的临界点，低于临界点选便宜起步价的，高于临界点选便宜单价的。 典型例题 2（思维拓展型）—— 临界点问题（奥数题型） 题目：某通讯公司推出两种手机套餐： A 套餐：月租 30 元，通话每分钟 0.2 元； B 套餐：无月租，通话每分钟 0.4 元。 每月通话多少分钟时，两种套餐费用相等？通话 200 分钟选哪种套餐划算？ 解题步骤： ① 设通话分钟时费用相等，列方程： A 套餐总费用： B 套餐总费用： 费用相等时： ② 解方程： 即通话 150 分钟时，两种套餐费用相等。 ③ 计算通话 200 分钟的费用： A 套餐：元 B 套餐：元 ，所以选 A 套餐划算。 【答案】通话 150 分钟时费用相等；通话 200 分钟选 A 套餐划算。 【知识点睛】本题是计费方案优选的经典奥数题型，核心是临界点思维。 解题关键是找到两种方案费用相等的临界点：低于临界点，无月租的便宜；高于临界点，有月租的便宜。 规律总结：有月租的套餐，单价低，适合用量多的用户；无月租的套餐，单价高，适合用量少的用户。这类问题本质是一次函数的初步应用，培养建模与决策能力。 考点五：综合实践与合理性分析（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 计费规则调查与计算 题目：调查得知某小区居民峰谷电价：每天 8:00-21:00 为峰时，0.56 元 / 千瓦时；21:00 次日 8:00 为谷时，0.36 元 / 千瓦时。小明家上个月峰时用电 80 千瓦时，谷时用电 40 千瓦时。上个月应交电费多少元？ 解题步骤： ① 分别计算峰时、谷时电费： 峰时电费：元 谷时电费：元 ② 总电费：元。 【答案】上个月应交电费 59.2 元。 【知识点睛】本题考查峰谷分时计费的计算，是综合实践的常见类型。 解题方法和阶梯计费类似，按时段分别计算费用，再相加求和。 峰谷电价的设计目的是引导用户错峰用电，谷时电价更低，鼓励低谷时段用电，体现了分段计费的调节作用。 典型例题 2（思维拓展型）—— 合理性分析与建议 题目：某市阶梯电价分为三档，第一档 230 度以内 0.56 元 / 度，第二档 231-400 度 0.61 元 / 度，第三档 400 度以上 0.86 元 / 度。对某校六年级 100 户家庭月用电量调查后发现：78 户家庭用电量在 230 度以内，19 户在 231-400 度，3 户在 400 度以上。请你分析该阶梯电价设置是否合理，并说说理由。 解题步骤： ① 分析各档位家庭占比： 第一档占 78%，第二档占 19%，第三档占 3%； ② 结合阶梯电价的设计原则分析： 阶梯电价目的是保障基本用电、引导节约用电，大部分家庭应该在基础档，少部分在二档，极少数在三档； ③ 评价与建议： 78% 的家庭在第一档，保障了大多数居民的基本用电需求；第二档、第三档逐级加价，能引导节约用电，整体设置合理； 建议：可以适当加大二三档的价差，进一步引导高用电家庭节约用电。 【答案】整体设置合理；理由是大部分家庭用电量在第一档，保障了基本生活用电，阶梯加价能引导节约用电，符合阶梯电价的设计目的。 【知识点睛】本题考查分段计费的合理性分析，对应综合实践的核心要求。 分析合理性的核心依据：分段计费的目的是保障基本、调节消费，大部分使用者落在低档位，少部分落在高档位，就是合理的。 分析时要用数据说话，结合各档位的占比得出结论，不能空泛评价；建议要具体可行，有针对性。这类题能培养数据分析能力与理性表达能力。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：分段临界点归属混淆，跨段计算重复或遗漏 错误示例：计算 3 千米以内起步价，行驶 3 千米时按超出部分算，或者把 3 千米既算起步价又算超出部分。 正确分析：分段计费的临界点，通常包含在低档位里，比如 “3 千米以内” 包含 3 千米，超过 3 千米才加价。 修正方法：计算前先明确临界点的归属，“以内、以下” 包含本数，“超过、以上” 不含本数；拆分用量时，临界点只算一次。 易错点 2：直接按均价乘总量，忽略分段计价规则 错误示例：知道第二档单价，就直接用总用量乘第二档单价，导致费用算高了。 正确分析：阶梯计费是分档计价，只有超出部分才按高价算，不是全部都按高价算。 修正方法：牢记 “分段算、再相加”，低档位满了才进入高档位，低档位的用量永远按低价算。 易错点 3：逆向求解分段错误，费用与用量对应偏差 错误示例：已知车费求里程，直接用总费用除以超出部分单价，漏掉起步价对应的里程。 正确分析：逆向求解必须先扣掉基础费用，剩下的才是超出部分的费用，对应超出部分的用量。 修正方法：逆推固定步骤：先减基础费→算超出量→加基础量→得总量；算完后正向验算一遍。 易错点 4：“不足按整算” 的最值判断失误 错误示例：已知费用求最少里程，认为刚好整数里程时最少，搞反最大和最小。 正确分析：不足按整算，只要超过整数就进位，所以费用对应的最小里程是 “整数 + 极小值”，最大就是整数里程。 修正方法：判断最值时举例子验证，比如 7.1 千米按 8 千米算，7.9 千米也按 8 千米算，8 千米时费用对应最大里程，最少就是刚过 7 千米。 易错点 5：方案对比只算总价，忽略场景适配性 错误示例：只比较费用高低，就说哪个方案好，不考虑实际使用场景。 正确分析：方案选择不仅看费用，还要结合使用频率、使用场景，适合的才是最好的。 修正方法：对比完费用，再结合使用场景分析，说明什么情况选哪种，结论要全面，不绝对化。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 1. 某市出租车：3 千米以内 9 元，超过 3 千米每千米 2.3 元（不足 1 千米按 1 千米算）。行驶 8.7 千米，应付多少元？ 2. 居民阶梯水费：12 吨以内 2.8 元 / 吨，12 吨以上每吨 3.5 元。用水 18 吨，应交水费多少元？ 3. 判断：阶梯电费第二档每度加价 0.05 元，就是全部用电量都加 0.05 元。（ ） 4. 停车场收费：2 小时内 6 元，超过 2 小时每小时 3 元（不足 1 小时按 1 小时算）。停车 5 小时 20 分，应交多少停车费？ 5. 天然气收费：45 立方米以内 2.7 元 / 立方米，超出部分 3.3 元 / 立方米。交了 150.3 元，用气多少立方米？ 6. 选择：通话时间比较长的用户，选（ ）套餐更划算。 A. 有月租，每分钟便宜 B. 无月租，每分钟贵 7. 阶梯电价：第一档 210 度 0.52 元 / 度，第二档 211-350 度 0.57 元 / 度。用电 300 度，电费多少元？ 8. 出租车起步价 8 元 2.5 千米，超出部分每千米 2 元。付了 20 元，最多行驶多少千米？ 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 9. 某市出租车收费：3 千米内 10 元，超过 3 千米每千米 2.4 元，超过 10 千米的部分每千米 3 元（不足 1 千米按 1 千米算）。行驶 12.5 千米，应付多少元？ 10. 两种宽带套餐：甲套餐月租 50 元，超出流量 1 元 / G；乙套餐无月租，每 G 流量 3 元。每月用多少 G 流量时费用相等？每月用 30G 选哪种划算？ 11. 某阶梯水费：15 吨以内 3.2 元 / 吨，16-30 吨 4.1 元 / 吨，31 吨以上 6.8 元 / 吨。某户交水费 130.1 元，用水多少吨？ 12. 调查你家近 3 个月的电费，结合当地阶梯电价标准，分析你家用电处于哪个档位，谈谈你对阶梯电价的看法。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 22.8 元 【解题步骤】 ① 8.7 千米按 “不足 1 千米按 1 千米计算” 的规则进一取整，按 9 千米计算，超出起步里程千米； ② 超出部分费用：元； ③ 总费用 = 起步价 + 超出部分费用：元。 【知识点睛】本题考查出租车分段计费的基础计算，核心是 “不足按整算” 的进一规则。 解题时先对总里程进行进一取整，再拆分起步里程和超出里程，分别计算费用后相加。 易错提醒：不要直接用 8.7 千米减 3 千米计算超出部分，必须先按规则取整；临界点 3 千米包含在起步价内。 2. 【答案】 54.6 元 【解题步骤】 ① 第一档（12 吨以内）费用：元； ② 第二档（超出 12 吨部分）：吨，费用元； ③ 总水费：元。 【知识点睛】本题考查两档阶梯水费的计算，核心原则是阶梯计价、分档计费、累加收费。 只有超出第一档的部分才按第二档单价计算，不是全部用水量都按高价算。计算时从最低档开始，满档先算满档费用，剩余用量进入下一档。 3. 【答案】 × 【解题步骤】 ① 阶梯电价的加价规则是：只有超过第一档的部分，每度才加价 0.05 元；第一档以内的用电量仍按原价计算，不是全部用电量都加价。 ② 题目中 “全部用电量都加 0.05 元” 的表述错误。 【知识点睛】本题考查阶梯计费的核心概念辨析。 阶梯计费的 “加价” 是针对超出基础档的部分，基础档以内的用量保持原价，这是阶梯计费和 “整体加价” 最本质的区别。 易错提醒：看到 “加价” 就默认全部用量都加价，是高频易错点。 4. 【答案】 18 元 【解题步骤】 ① 拆分停车时间：2 小时以内是基础时段，超出时间为； ② 不足 1 小时按 1 小时计算，3 小时 20 分按 4 小时计算，超出部分费用：元； ③ 总停车费：元。 【知识点睛】本题考查分段计时停车费计算，是 “进一法” 的典型应用。 解题关键是按计费单位拆分超出时间，不足一个计费单位的按一个完整单位计算。先算基础时段费用，再算超出时段费用，两者相加得总费用。 5. 【答案】 53.73 立方米 【解题步骤】 ① 第一档（45 立方米以内）满档费用：45×2.7＝121.5 元； ② 对比总费用：150.3＞121.5，说明用量超过 45 立方米，超出部分费用：150.3－121.5＝28.8 元； ③ 超出部分用量：28.8÷3.3≈8.73 立方米； 总用量：45＋8.73≈53.73 立方米。 【知识点睛】本题考查阶梯费用的逆向求解，核心思路是由费求量、分段逆推。 通用步骤：先计算最低档满档费用，和总费用对比判断档位；再减去基础档费用，用剩余费用除以对应档位单价，得到超出部分用量；最后加基础档用量得总量。算完后可以正向验算确保正确。 6. 【答案】 A 【解题步骤】 ① 有月租套餐的特点是：单价低，但有固定月租；通话时间越长，总费用的优势越明显。 ② 通话时间比较长的用户，总分钟数多，低单价带来的优惠超过月租成本，整体更划算。 【知识点睛】本题考查计费方案的选择逻辑，本质是临界点思维的应用。 规律总结：用量少选无月租，用量多选有月租。两种套餐存在费用相等的临界点，低于临界点无月租更便宜，高于临界点有月租更便宜。通话时间长属于高用量场景，适合有月租、低单价的套餐。 7. 【答案】 160.5 元 【解题步骤】 ① 第一档（210 度以内）费用：元； ② 第二档（211-350 度）用电量：度，费用：元； ③ 总电费：元。 【知识点睛】本题考查两档阶梯电费的计算。 解题时按档拆分用量，分别计算再相加。第二档的计算基数是超出第一档的部分，不是总用电量；档位分界点 210 度包含在第一档内。 8. 【答案】 8.5 千米 【解题步骤】 ① 先扣除起步价，得到超出部分费用：元； ② 超出起步里程：千米； ③ 总里程：千米。刚好行驶 8.5 千米时，车费正好 20 元，是费用对应的最大里程。 【知识点睛】本题考查出租车费用逆向求解最大里程，核心是理解 “不足按整算” 的边界含义。 当费用固定时，最大里程就是刚好整数 / 点五的里程，此时费用正好对应；只要超过这个里程，费用就会跳升一档。 易错提醒：不要搞反最大和最小，刚好整数点是费用对应的最大值。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】 35.8 元 【解题步骤】 ① 第一段（0-3 千米）：起步价 10 元； ② 第二段（3-10 千米）：共千米，费用元； ③ 第三段（10 千米以上）：12.5 千米按 13 千米算，超出千米，费用元； ④ 总费用：元。 【知识点睛】本题考查三段式出租车计费，属于分段计费的进阶奥数题型。 解题核心是按里程区间逐段拆分，每段对应对应单价，分段计算后累加。 长里程计费通常分 “起步段 - 中段 - 远途段” 三档，单价逐段提高；计算时先确定总里程落在哪个区间，从低到高逐段算满档费用，最后一段算实际超出量。 10. 【答案】 25G 时费用相等；每月用 30G 选甲套餐划算 【解题步骤】 ① 设每月用G 流量时两种套餐费用相等，列方程： 甲套餐总费用： 乙套餐总费用： 费用相等时： ② 解方程得：，，即 25G 为费用临界点； ③ 计算 30G 时费用： 甲套餐：元 乙套餐：元 ，因此甲套餐更划算。 【知识点睛】本题是计费方案优选的经典奥数题型，核心是临界点思维。 解题关键是找到两种方案费用相等的临界点，以此为分界判断不同用量下的最优方案。低于临界点，无月租的单价高但无固定成本，更便宜；高于临界点，有月租的低单价优势凸显，更划算。这类问题本质是一次函数的初步应用。 11. 【答案】 33.03 吨 【解题步骤】 ① 先计算前两档满档费用： 第一档 15 吨：15×3.2＝48 元 第二档 15 吨：15×4.1＝61.5 元 前两档合计：48＋61.5＝109.5 元 ② 对比总费用：130.1＞109.5，说明用水量超过 30 吨，进入第三档； 第三档费用：130.1－109.5＝20.6 元 ③ 第三档用水量：20.6÷6.8≈3.03 吨 总用水量：30＋3.03≈33.03 吨 【知识点睛】本题考查三档阶梯水费的逆向求解，属于奥数进阶题型。 解题核心是逐级判断档位、分段逆推用量。先从最低档开始，依次计算每档满档费用，和总费用对比确定最高档位；减去前面所有档位的费用，得到最高档的费用；除以对应单价得到最高档用量；加上前面所有档位的总量，得到总用量。 易错提醒：不要直接用总费用除以最高档单价，必须分档逆推。 12. 【答案】 结合实际调查回答即可，参考要点： ① 先说明当地阶梯电价的分档标准、各档单价； ② 统计自家近 3 个月的月均用电量，计算对应电费，判断所在档位； ③ 从阶梯电价 “保障基本用电、引导节约用电” 的设计目的出发，结合自家用电情况谈看法，比如是否合理、有没有节约用电的空间等。 【知识点睛】本题考查分段计费的综合实践应用，对应新课标 “综合与实践” 的育人要求。 分析合理性的核心依据：大部分用户落在基础档，保障基本需求；高用量档位加价，引导节约资源，这样的分段设计就是基本合理的。 答题要点：要有数据支撑，结合具体用量和费用分析，观点明确，建议具体可行，避免空泛评价。 1 学科网（北京）股份有限公司 $