第8讲 比例的应用（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

第8讲 比例的应用 考点梳理 1. 比的意义与基本性质 (1) 定义：两个数相除又叫做两个数的比。记作 ，读作 比 。其中 是前项， 是后项（ ），比值是 。 (2) 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是化简比的依据。 注意：化简比的结果是一个最简整数比（如 ），而求比值的结果是一个数（如 或 ）。 2. 比例的意义与基本性质 (1) 定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如： 。 (2) 基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。即若 ，则 。这是解比例的依据。 3. 正比例与反比例 (1) 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 1　 关系式： （一定）。 2　 图像特征：一条经过原点的直线。 (2) 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 1　 关系式： （一定）。 2　 图像特征：双曲线的一支。 4. 按比例分配 (1) 核心思路：已知总量和各部分量的比，求各部分量。 (2) 方法：先求出总份数，再求出每一份是多少，最后求出各部分量；或者直接用总量乘以各部分占总量的几分之几。 例题讲解 【典型例题1】 复杂的按比例分配与转化 题目： 甲、乙、丙三个数的和是 180。已知甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 。求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【跟踪训练1】 某小学参加兴趣小组的学生共有 120 人，其中参加科技组的人数是艺术组的 ，参加体育组的人数是艺术组的 。求参加科技组、艺术组、体育组的学生各有多少人？ 【典型例题2】 正反比例的判定与应用 题目： 加工一批零件，如果每天加工 20 个，15 天可以完成。如果要在 10 天内完成，每天需要加工多少个？ 【跟踪训练2】 一辆汽车从甲地开往乙地，计划每小时行 60 千米，5 小时到达。实际每小时多行了 15 千米，实际几小时到达？ 【典型例题3】 比例在几何图形中的应用 题目： 一个长方形的周长是 48 厘米，长与宽的比是 。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【跟踪训练3】 一个三角形的三个内角度数之比是 ，这个三角形最大的角是多少度？它是什么三角形？ 【典型例题4】 比例法解复杂应用题（浓度问题） 题目： 现有浓度为 10% 的盐水 200 克，要将其变为浓度为 20% 的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 【跟踪训练4】 现有含盐率 15% 的盐水 400 克，加入多少克水后，含盐率变为 10%？ 培优练习 1.甲、乙、丙三个数的和是 240，甲数是乙数的，乙数是丙数的，求甲、乙、丙各是多少？ 2.学校兴趣小组一共有 180 人，书法组人数是绘画组的，音乐组人数是绘画组的，三个小组各多少人？ 3.加工一批零件，如果每天加工 30 个，12 天可以完成。如果要 9 天完成任务，每天需要加工多少个零件？ 4.一辆货车从 A 地开往 B 地，计划每小时行 45 千米，8 小时可以到达。实际每小时多行 15 千米，实际多少小时到达？ 5.一个长方形周长是 64 厘米，长与宽的比是，求长方形的面积。 6.一个三角形三个内角度数比，求最大内角是多少度，是什么三角形？ 7.现有浓度 8% 的盐水 300 克，要变成浓度 12% 的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 8.含盐率 20% 的盐水 500 克，加入多少克水之后含盐率变为 10%？ 9.已知，，，求。 10.水果店苹果、梨、橘子一共 240 千克。苹果质量是梨的，梨质量是橘子的。三种水果各多少千克？ 11.修一条公路，如果每天修 25 米，24 天修完；实际每天多修 5 米，实际多少天可以修完？（用反比例解答） 12.一个长方形，周长 80 分米，长与宽之比是，求长方形面积。 13.三角形三个内角度数比，求三个内角分别多少度，是什么三角形？ 14.浓度 5% 的盐水 400 克，蒸发一部分水之后浓度变成 10%，蒸发掉多少克水？ 15.甲、乙两数比，甲乙两数的差是 36，求甲、乙两数分别是多少？ 16.工厂按把一批零件分给甲、乙两个车间，已知乙车间比甲车间多分到 40 个零件，这批零件一共有多少个？ 17.从甲地到乙地，计划每小时行 50 千米，6 小时到达；实际只用了 5 小时就到达，实际每小时行驶多少千米？（反比例解题） 18.甲乙，乙丙，甲乙丙，求甲、乙、丙。 19.有含盐率 25% 的盐水 240 克，加入若干克水后含盐率变成 15%，加入多少克水？ 20.一块菜地周长 100 米，长和宽比是。如果每平方米可以收获白菜 4 千克，这块地一共收获白菜多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 比例的应用 考点梳理 1. 比的意义与基本性质 (1) 定义：两个数相除又叫做两个数的比。记作 ，读作 比 。其中 是前项， 是后项（ ），比值是 。 (2) 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是化简比的依据。 注意：化简比的结果是一个最简整数比（如 ），而求比值的结果是一个数（如 或 ）。 2. 比例的意义与基本性质 (1) 定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如： 。 (2) 基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。即若 ，则 。这是解比例的依据。 3. 正比例与反比例 (1) 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 1　 关系式： （一定）。 2　 图像特征：一条经过原点的直线。 (2) 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 1　 关系式： （一定）。 2　 图像特征：双曲线的一支。 4. 按比例分配 (1) 核心思路：已知总量和各部分量的比，求各部分量。 (2) 方法：先求出总份数，再求出每一份是多少，最后求出各部分量；或者直接用总量乘以各部分占总量的几分之几。 例题讲解 【典型例题1】 复杂的按比例分配与转化 题目： 甲、乙、丙三个数的和是 180。已知甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 。求甲、乙、丙三个数各是多少？ 【详解】 统一比的关系： 由“甲数是乙数的 ”可知，甲 : 乙 = 。 由“乙数是丙数的 ”可知，乙 : 丙 = 。 观察发现，两个比中“乙”对应的份数都是 3，因此可以直接连比： 计算总份数： 求每一份的量： 求各数： 甲： 乙： 丙： 【答案】 甲是 40，乙是 60，丙是 80。 【跟踪训练1】 某小学参加兴趣小组的学生共有 120 人，其中参加科技组的人数是艺术组的 ，参加体育组的人数是艺术组的 。求参加科技组、艺术组、体育组的学生各有多少人？ 【详解】 设艺术组人数为基准“1”份（或设为 以消除分数，这里用比更直观）。 科技 : 艺术 = 体育 : 艺术 = 连比：科技 : 艺术 : 体育 = 总份数： 每份人数： （人） 各组人数： 科技组： （人） 艺术组： （人） 体育组： （人） 【答案】 科技组 20 人，艺术组 40 人，体育组 60 人。 【典型例题2】 正反比例的判定与应用 题目： 加工一批零件，如果每天加工 20 个，15 天可以完成。如果要在 10 天内完成，每天需要加工多少个？ 【详解】 判断比例关系： 工作总量 = 每天加工数量 天数。 因为这批零件的总量是一定的，所以“每天加工数量”与“天数”的乘积一定。 故两者成反比例关系。 列方程求解： 设每天需要加工 个。 【答案】 每天需要加工 30 个。 【跟踪训练2】 一辆汽车从甲地开往乙地，计划每小时行 60 千米，5 小时到达。实际每小时多行了 15 千米，实际几小时到达？ 【详解】 判断比例关系： 路程 = 速度 时间。路程一定，速度与时间成反比例。 确定实际速度： 实际速度 = （千米/时）。 列方程求解： 设实际 小时到达。 【答案】 实际 4 小时到达。 【典型例题3】 比例在几何图形中的应用 题目： 一个长方形的周长是 48 厘米，长与宽的比是 。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【详解】 理解周长与长宽之和的关系： 长方形周长 = 。 所以，长 + 宽 = （厘米）。 按比例分配求长和宽： 总份数： 长： （厘米） 宽： （厘米） 计算面积： 面积 = 长 宽 = （平方厘米）。 【答案】 这个长方形的面积是 135 平方厘米。 【跟踪训练3】 一个三角形的三个内角度数之比是 ，这个三角形最大的角是多少度？它是什么三角形？ 【详解】 利用三角形内角和定理： 三角形内角和为 。 按比例分配： 总份数： 最大角对应的份数是 3。 最大角度数： 。 判断三角形类型： 因为有一个角是 ，所以这是一个直角三角形。 【答案】 最大的角是 90 度，它是直角三角形。 【典型例题4】 比例法解复杂应用题（浓度问题） 题目： 现有浓度为 10% 的盐水 200 克，要将其变为浓度为 20% 的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 【详解】 抓住不变量： 在蒸发水的过程中，盐的质量是不变的。 计算盐的质量： 盐的质量 = （克）。 计算新溶液的总质量： 新浓度是 20%，盐仍为 20 克。 新溶液质量 = 盐的质量 新浓度 = （克）。 计算蒸发的水量： 蒸发掉的水 = 原溶液质量 - 新溶液质量 = （克）。 【答案】 需要蒸发掉 100 克水。 【跟踪训练4】 现有含盐率 15% 的盐水 400 克，加入多少克水后，含盐率变为 10%？ 【详解】 抓住不变量： 加水过程中，盐的质量不变。 计算盐的质量： 盐的质量 = （克）。 计算新溶液的总质量： 新含盐率 10%，盐 60 克。 新溶液质量 = （克）。 计算加入的水量： 加入的水 = 新溶液质量 - 原溶液质量 = （克）。 【答案】 需要加入 200 克水。 培优练习 1.甲、乙、丙三个数的和是 240，甲数是乙数的，乙数是丙数的，求甲、乙、丙各是多少？ 【详解】 由甲是乙的，得甲乙； 由乙是丙的，得乙丙； 乙份数统一为 2，连比：甲乙丙 总份数： 每份： 甲：，乙：，丙： 【答案】甲是 40，乙是 80，丙是 120 2.学校兴趣小组一共有 180 人，书法组人数是绘画组的，音乐组人数是绘画组的，三个小组各多少人？ 【详解】 书法绘画，音乐绘画 连比：书法绘画音乐 总份数： 每份： 书法：（人） 绘画：（人） 音乐：（人） 【答案】书法组 30 人，绘画组 90 人，音乐组 60 人 3.加工一批零件，如果每天加工 30 个，12 天可以完成。如果要 9 天完成任务，每天需要加工多少个零件？ 【详解】 零件总数量一定，每天加工数量和天数成反比例。 解：设每天需要加工个。 【答案】每天需要加工 40 个 4.一辆货车从 A 地开往 B 地，计划每小时行 45 千米，8 小时可以到达。实际每小时多行 15 千米，实际多少小时到达？ 【详解】 路程不变，速度和时间成反比例。 实际速度：（千米 / 时） 解：设实际小时到达。 【答案】实际 6 小时到达 5.一个长方形周长是 64 厘米，长与宽的比是，求长方形的面积。 【详解】 长宽：（厘米） 总份数： 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 【答案】长方形面积 240 平方厘米 6.一个三角形三个内角度数比，求最大内角是多少度，是什么三角形？ 【详解】 三角形内角和，总份数 最大角： 有一个角是，是直角三角形。 【答案】最大内角，直角三角形 7.现有浓度 8% 的盐水 300 克，要变成浓度 12% 的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 【详解】 蒸发水，盐质量不变。 盐质量：（克） 新盐水总质量：（克） 蒸发水：（克） 【答案】需要蒸发掉 100 克水 8.含盐率 20% 的盐水 500 克，加入多少克水之后含盐率变为 10%？ 【详解】 加水，盐的质量不变。 盐质量：（克） 新盐水总质量：（克） 加水质量：（克） 【答案】需要加入 500 克水 9.已知，，，求。 【详解】 统一中间量，5 和 3 最小公倍数 15 ， 连比 总份数： 每份： ，， 【答案】 10.水果店苹果、梨、橘子一共 240 千克。苹果质量是梨的，梨质量是橘子的。三种水果各多少千克？ 【详解】 苹果梨，梨橘子 连比：苹果梨橘子 总份数： 每份： 苹果：（kg），梨：（kg），橘子：（kg） 【答案】苹果 60 千克，梨 80 千克，橘子 100 千克 11.修一条公路，如果每天修 25 米，24 天修完；实际每天多修 5 米，实际多少天可以修完？（用反比例解答） 【详解】 公路总长度一定，每天修的长度与天数成反比例。 实际每天修：（米） 解：设实际天修完。 【答案】实际 20 天修完 12.一个长方形，周长 80 分米，长与宽之比是，求长方形面积。 【详解】 长宽：（分米） 总份数： 长：（分米） 宽：（分米） 面积：（平方分米） 【答案】面积 384 平方分米 13.三角形三个内角度数比，求三个内角分别多少度，是什么三角形？ 【详解】 内角和，总份数 最大角，直角三角形。 【答案】三个内角；直角三角形 14.浓度 5% 的盐水 400 克，蒸发一部分水之后浓度变成 10%，蒸发掉多少克水？ 【详解】 盐不变：（克） 新盐水质量：（克） 蒸发水：（克） 【答案】蒸发掉 200 克水 15.甲、乙两数比，甲乙两数的差是 36，求甲、乙两数分别是多少？ 【详解】 份数差：份，对应 36 1 份： 甲：；乙： 【答案】甲是 48，乙是 84 16.工厂按把一批零件分给甲、乙两个车间，已知乙车间比甲车间多分到 40 个零件，这批零件一共有多少个？ 【详解】 份数差：份，对应 40 个 每份： 总份数： 总数：（个） 【答案】这批零件一共 160 个 17.从甲地到乙地，计划每小时行 50 千米，6 小时到达；实际只用了 5 小时就到达，实际每小时行驶多少千米？（反比例解题） 【详解】 路程一定，速度与时间成反比例。 解：设实际每小时行千米。 【答案】实际每小时行驶 60 千米 18.甲乙，乙丙，甲乙丙，求甲、乙、丙。 【详解】 统一乙，2 和 3 最小公倍数 6 甲乙；乙丙 连比甲乙丙 总份数： 每份： 甲：；乙：；丙： 【答案】甲 = 27，乙 = 18，丙 = 12 19.有含盐率 25% 的盐水 240 克，加入若干克水后含盐率变成 15%，加入多少克水？ 【详解】 盐质量不变：（克） 新盐水总质量：（克） 加水：（克） 【答案】加入 160 克水 20.一块菜地周长 100 米，长和宽比是。如果每平方米可以收获白菜 4 千克，这块地一共收获白菜多少千克？ 【详解】 长宽：（米） 总份数： 长：（米） 宽：（米） 面积：（平方米） 总收获：（千克） 【答案】一共收获白菜 2400 千克 学科网（北京）股份有限公司 $