第6讲 小数乘除错中求解 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第6讲 小数乘除错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 乘法错中求解核心原理 乘法计算中，一个因数不变，另一个因数的变化会引起积同比例变化，这是乘法错中求解的核心依据。 （1）基础题型：数字看错 看错因数某一位上的数字，导致因数增加或减少一个固定数值，另一个因数不变。 核心公式： 推导：设不变因数为，正确因数为，看错为，则 错误积 - 正确积 = （2）进阶题型：小数点位置看错 看错因数的小数点位置，导致因数扩大或缩小 10 倍、100 倍…… 积也随之同倍数变化。 小数点向右移 n 位：因数扩大倍，积也扩大倍。 错误积是正确积的倍，积的差 = 正确积 × 常见：右移 1 位，积多 9 倍。 小数点向左移 n 位：因数缩小到原来的，积也缩小到原来的。 错误积是正确积的，积的差 = 正确积 × 常见：左移 1 位，积少。 2. 除法错中求解核心原理 除法计算中，商的变化与被除数变化同向，与除数变化反向，这是除法错中求解的核心依据，也是最易混淆的易错点。 （1）除数不变，被除数看错 被除数数字看错或小数点移位，商随被除数同比例变化。 核心公式： 被除数右移 n 位，商扩大倍；被除数左移 n 位，商缩小到原来的。 （2）被除数不变，除数看错 除数数字看错或小数点移位，商与除数反比例变化。 核心规律：除数扩大，商反而缩小；除数缩小，商反而扩大。 除数右移 n 位（扩大倍），商缩小到原来的； 除数左移 n 位（缩小到原来的），商扩大倍。 通用解法：先通过错误的除数和商求出被除数，再除以正确的除数得到正确商。 3. 易错警示 除法中除数与商的变化方向相反，切勿记混； 小数点移位的差量：右移一位，积 / 商多 9 倍（不是 10 倍）；左移一位，少； 计算差量时，先判断是 “多算了” 还是 “少算了”，对应差的加减关系； 最终结果要验证：代入原题验算，确认与错误结果的差是否匹配。 4. 解题通用步骤 ① 判类型：区分乘法 / 除法，确定看错的是哪个数； ② 找不变：锁定没看错的量（不变因数、被除数或除数）； ③ 算关系：计算错误与正确结果的差量或倍数关系； ④ 推原数：反推出不变量，再计算正确的积或商。 例题讲解 【典型例题 1】乘法错中求解：基础数字看错 小明计算小数乘法时，把其中一个因数个位上的 3 看成了 8，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 【分析】把看成，因数增加了，另一个因数不变。积多出来的部分，就是不变的因数乘，由此先求出不变的因数，再乘正确的因数即可。 【详解】 看错后因数增加： 另一个不变的因数： 正确的积： 答：正确的积是 6.9。 【答案】 【跟踪训练 1】 小红计算小数乘法时，把其中一个因数十分位上的 5 看成了 2，结果得到的积比正确的积少了。正确的积是多少？ 【分析】把看成，因数减少了，积减少的部分对应个不变的因数，先求不变因数，再算正确积。 【详解】 因数减少量： 另一个不变的因数： 正确的积： 答：正确的积是 9.45。 【答案】 【典型例题 2】乘法错中求解：小数点移位进阶 计算一道小数乘法题时，把其中一个因数的小数点向右错移了一位，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 【分析】小数点向右移一位，该因数扩大 10 倍，积也随之扩大 10 倍。错误积是正确积的 10 倍，比正确积多了倍，对应多出的，用差量除以倍数差即可得到正确的积。 【详解】 错误积是正确积的倍数：倍 积的倍数差： 正确的积： 答：正确的积是 3.69。 【答案】 【跟踪训练 2】 计算小数乘法时，把其中一个因数的小数点向左错移了一位，结果得到的积比正确的积少了。正确的积是多少？ 【分析】小数点向左移一位，该因数缩小到原来的，积也缩小到原来的。错误积比正确积少了，对应，用差量除以对应分率得正确积。 【详解】 错误积是正确积的： 积少的分率： 正确的积： 答：正确的积是 12。 【答案】 【典型例题 3】除法错中求解：看错除数数字 小明计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商应该是多少？ 【分析】被除数不变，除数从变成，扩大了 10 倍，商反而缩小到原来的。也可以先通过错误的除数和商求出被除数，再除以正确的除数得到正确商。 【详解】 方法一：规律法 除数扩大 10 倍，商缩小到原来的 正确的商： 方法二：逆推法 被除数： 正确的商： 答：正确的商是 14。 【答案】 【跟踪训练 3】 计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商应该是多少？（结果保留两位小数） 【分析】先根据错误的除数和商求出被除数，被除数不变，再除以正确的除数，计算正确的商。 【详解】 被除数： 正确的商： 答：正确的商约是 2.32。 【答案】 【典型例题 4】除法错中求解：被除数小数点移位 计算一道小数除法题时，把被除数的小数点向右错移了一位，除数不变，结果得到的商比正确的商多了。正确的商是多少？ 【分析】被除数小数点右移一位，扩大 10 倍，除数不变，商也扩大 10 倍。错误商比正确商多了倍，对应，用差量除以倍数差得正确商。 【详解】 商扩大的倍数：倍 商的倍数差： 正确的商： 答：正确的商是 2.45。 【答案】 【跟踪训练 4】 计算小数除法时，把被除数的小数点向左错移了两位，除数不变，结果得到的商比正确的商少了。正确的商是多少？ 【分析】被除数小数点左移两位，缩小到原来的，商也缩小到原来的。错误商比正确商少了，对应。 【详解】 商少的分率： 正确的商： 答：正确的商是 15。 【答案】 巩固练习 1. 小刚计算小数乘法时，把一个因数十分位上的 4 看成了 6，结果积比正确的多了。正确的积是多少？ 【分析】把看成，因数多了，积多的部分对应个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 答：正确的积是 9.72。 【答案】 2. 小丽计算小数乘法时，把一个因数个位上的 5 看成了 3，结果积比正确的少了。正确的积是多少？ 【分析】把看成，因数少了，积少的部分对应个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 答：正确的积是 90。 【答案】 3. 计算一道小数乘法时，把一个因数的小数点向右错移两位，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 【分析】右移两位，积扩大 100 倍，多了 99 倍，对应。 【详解】 倍数差： 正确积： 答：正确的积是 2.01。 【答案】 4. 计算小数乘法时，把一个因数的小数点向左错移一位，结果得到的积是。正确的积是多少？ 【分析】左移一位，积缩小 10 倍，错误积是正确的，正确积是错误积的 10 倍。 【详解】 正确积： 答：正确的积是 14.4。 【答案】 5. 计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】被除数不变，除数扩大 10 倍，商缩小 10 倍，正确商是错误商的 10 倍。 【详解】 除数扩大 10 倍，商缩小 10 倍 正确商： 答：正确的商是 24。 【答案】 6. 计算小数除法时，把被除数看成了，除数不变，得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】被除数扩大 10 倍，商扩大 10 倍，正确商是错误商的。 【详解】 被除数扩大 10 倍，商扩大 10 倍 正确商： 答：正确的商是 1.6。 【答案】 7. 计算小数除法时，把除数的小数点向左错移一位，被除数不变，结果得到的商比正确的商多了。正确的商是多少？ 【分析】除数左移一位，缩小 10 倍，商扩大 10 倍，多了 9 倍，对应。 【详解】 商的倍数差： 正确商： 答：正确的商是 3.5。 【答案】 8. 计算小数除法时，把被除数的小数点向右错移一位，除数不变，结果得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】被除数右移一位，商扩大 10 倍，正确商是错误商的。 【详解】 正确商： 答：正确的商是 3.68。 【答案】 9. 小明做小数乘法时，把一个因数看成了，结果算出的积比正确的积多了。另一个因数是多少？ 【分析】因数多了，积多了，对应个另一个因数。 【详解】 因数差： 另一个因数： 答：另一个因数是 2.8。 【答案】 10. 小红做小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。被除数是多少？ 【分析】被除数 = 错误除数 × 错误商，与正确除数无关。 【详解】 被除数： 答：被除数是 15.12。 【答案】 11. 计算一道小数乘法题，把其中一个因数看成了，结果得到的积是。正确的积比错误的积少多少？ 【分析】因数扩大 10 倍，积扩大 10 倍，先求正确积，再求差。 【详解】 正确积： 少的部分： 答：正确的积比错误的积少 33.75。 【答案】 12. 计算一道小数除法题，把被除数的小数点向左错移一位，除数的小数点向右错移一位，得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】被除数左移一位，商缩小 10 倍；除数右移一位，商又缩小 10 倍。一共缩小 100 倍，正确商是错误商的 100 倍。 【详解】 一共缩小的倍数： 正确商： 答：正确的商是 36。 【答案】 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）计算小数乘法时，把一个因数十分位上的 5 看成了 8，结果积比正确的多了。正确的积是多少？ 【分析】把看成，因数多了，积多，对应个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 答：正确的积是 8.4。 【答案】 2.（希望杯六年级试题）一道小数乘法题，把一个因数的小数点向右错移一位，得到的积比正确积多了。正确的积是多少？ 【分析】右移一位，积多 9 倍，对应。 【详解】 倍数差： 正确积： 答：正确的积是 3.1。 【答案】 3.（小升初衔接题）计算小数除法时，把除数看成了，结果得商。正确的商是多少？ 【分析】除数扩大 10 倍，商缩小 10 倍，正确商是错误的 10 倍。 【详解】 正确商： 答：正确的商是 16。 【答案】 4.（华杯赛初赛）计算小数除法时，把被除数的小数点向左错移两位，除数不变，得到的商比正确商少了。正确的商是多少？ 【分析】被除数左移两位，商缩小 100 倍，少了 99 倍，对应。 【详解】 倍数差： 正确商： 答：正确的商是 0.2。 【答案】 5.（苏教版培优题）小明做小数乘法时，把一个因数看成了，结果算出的积比正确积多了。正确的积是多少？ 【分析】因数多了，积多，对应个不变因数。 【详解】 因数差： 不变因数： 正确积： 答：正确的积是 1.8。 【答案】 6.（重点中学分班考）小丽做小数除法时，把除数看成了，得到的商是。正确的被除数是多少？ 【分析】被除数 = 错误除数 × 错误商。 【详解】 被除数： 答：正确的被除数是 13.44。 【答案】 7.（走美杯真题）计算小数除法时，把除数的小数点向左错移两位，被除数不变，得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】除数左移两位，缩小 100 倍，商扩大 100 倍，正确商是错误的。 【详解】 正确商： 答：正确的商是 4.5。 【答案】 8.（六年级期末真题）计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商比正确的商少了。正确的商是多少？ 【分析】除数扩大 10 倍，商缩小 10 倍，少了 9 倍，对应。 【详解】 倍数差： 正确商： 答：正确的商是 18。 【答案】 9.（希望杯模拟题）计算小数乘法时，把一个因数的小数点向左错移两位，结果得到的积比正确积少了。正确的积是多少？ 【分析】左移两位，积缩小 100 倍，少了 99 倍，对应。 【详解】 倍数差： 正确积： 答：正确的积是 15。 【答案】 10.（小升初真题）小明计算除法时，把被除数看成了，把除数看成了，得到的商是。正确的商是多少？ 【分析】被除数缩小 10 倍，商缩小 10 倍；除数扩大 10 倍，商又缩小 10 倍。一共缩小 100 倍，正确商是错误的 100 倍。 【详解】 一共缩小：倍 正确商： 答：正确的商是 25。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）两个数相乘，小马虎把第一个因数的小数点向右移了一位，第二个因数不变，算出的积是。正确的积与错误的积相差多少？ 【分析】右移一位，积扩大 10 倍，正确积是，再求差。 【详解】 正确积： 相差： 答：正确的积与错误的积相差 32.04。 【答案】 12.（思维训练题）小刚在计算小数除法时，把被除数的小数点向右多移了一位，除数的小数点向左少移了一位，得到的商是。正确的商应该是多少？ 【分析】被除数右移一位，商扩大 10 倍；除数左移一位，商扩大 10 倍。一共扩大倍，正确商 = 错误商 ÷100。 【详解】 商扩大的总倍数： 正确商： 答：正确的商应该是 1.8。 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 小数乘除错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 乘法错中求解核心原理 乘法计算中，一个因数不变，另一个因数的变化会引起积同比例变化，这是乘法错中求解的核心依据。 （1）基础题型：数字看错 看错因数某一位上的数字，导致因数增加或减少一个固定数值，另一个因数不变。 核心公式： 推导：设不变因数为，正确因数为，看错为，则 错误积 - 正确积 = （2）进阶题型：小数点位置看错 看错因数的小数点位置，导致因数扩大或缩小 10 倍、100 倍…… 积也随之同倍数变化。 小数点向右移 n 位：因数扩大倍，积也扩大倍。 错误积是正确积的倍，积的差 = 正确积 × 常见：右移 1 位，积多 9 倍。 小数点向左移 n 位：因数缩小到原来的，积也缩小到原来的。 错误积是正确积的，积的差 = 正确积 × 常见：左移 1 位，积少。 2. 除法错中求解核心原理 除法计算中，商的变化与被除数变化同向，与除数变化反向，这是除法错中求解的核心依据，也是最易混淆的易错点。 （1）除数不变，被除数看错 被除数数字看错或小数点移位，商随被除数同比例变化。 核心公式： 被除数右移 n 位，商扩大倍；被除数左移 n 位，商缩小到原来的。 （2）被除数不变，除数看错 除数数字看错或小数点移位，商与除数反比例变化。 核心规律：除数扩大，商反而缩小；除数缩小，商反而扩大。 除数右移 n 位（扩大倍），商缩小到原来的； 除数左移 n 位（缩小到原来的），商扩大倍。 通用解法：先通过错误的除数和商求出被除数，再除以正确的除数得到正确商。 3. 易错警示 除法中除数与商的变化方向相反，切勿记混； 小数点移位的差量：右移一位，积 / 商多 9 倍（不是 10 倍）；左移一位，少； 计算差量时，先判断是 “多算了” 还是 “少算了”，对应差的加减关系； 最终结果要验证：代入原题验算，确认与错误结果的差是否匹配。 4. 解题通用步骤 ① 判类型：区分乘法 / 除法，确定看错的是哪个数； ② 找不变：锁定没看错的量（不变因数、被除数或除数）； ③ 算关系：计算错误与正确结果的差量或倍数关系； ④ 推原数：反推出不变量，再计算正确的积或商。 例题讲解 【典型例题 1】乘法错中求解：基础数字看错 小明计算小数乘法时，把其中一个因数个位上的 3 看成了 8，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 【跟踪训练 1】 小红计算小数乘法时，把其中一个因数十分位上的 5 看成了 2，结果得到的积比正确的积少了。正确的积是多少？ 【典型例题 2】乘法错中求解：小数点移位进阶 计算一道小数乘法题时，把其中一个因数的小数点向右错移了一位，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 【跟踪训练 2】 计算小数乘法时，把其中一个因数的小数点向左错移了一位，结果得到的积比正确的积少了。正确的积是多少？ 【典型例题 3】除法错中求解：看错除数数字 小明计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商应该是多少？ 【跟踪训练 3】 计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商应该是多少？（结果保留两位小数） 【典型例题 4】除法错中求解：被除数小数点移位 计算一道小数除法题时，把被除数的小数点向右错移了一位，除数不变，结果得到的商比正确的商多了。正确的商是多少？ 【跟踪训练 4】 计算小数除法时，把被除数的小数点向左错移了两位，除数不变，结果得到的商比正确的商少了。正确的商是多少？ 巩固练习 1. 小刚计算小数乘法时，把一个因数十分位上的 4 看成了 6，结果积比正确的多了。正确的积是多少？ 2. 小丽计算小数乘法时，把一个因数个位上的 5 看成了 3，结果积比正确的少了。正确的积是多少？ 3. 计算一道小数乘法时，把一个因数的小数点向右错移两位，结果得到的积比正确的积多了。正确的积是多少？ 4. 计算小数乘法时，把一个因数的小数点向左错移一位，结果得到的积是。正确的积是多少？ 5. 计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。正确的商是多少？ 6. 计算小数除法时，把被除数看成了，除数不变，得到的商是。正确的商是多少？ 7. 计算小数除法时，把除数的小数点向左错移一位，被除数不变，结果得到的商比正确的商多了。正确的商是多少？ 8. 计算小数除法时，把被除数的小数点向右错移一位，除数不变，结果得到的商是。正确的商是多少？ 9. 小明做小数乘法时，把一个因数看成了，结果算出的积比正确的积多了。另一个因数是多少？ 10. 小红做小数除法时，把除数看成了，结果得到的商是。被除数是多少？ 11. 计算一道小数乘法题，把其中一个因数看成了，结果得到的积是。正确的积比错误的积少多少？ 12. 计算一道小数除法题，把被除数的小数点向左错移一位，除数的小数点向右错移一位，得到的商是。正确的商是多少？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）计算小数乘法时，把一个因数十分位上的 5 看成了 8，结果积比正确的多了。正确的积是多少？ 2.（希望杯六年级试题）一道小数乘法题，把一个因数的小数点向右错移一位，得到的积比正确积多了。正确的积是多少？ 3.（小升初衔接题）计算小数除法时，把除数看成了，结果得商。正确的商是多少？ 4.（华杯赛初赛）计算小数除法时，把被除数的小数点向左错移两位，除数不变，得到的商比正确商少了。正确的商是多少？ 5.（苏教版培优题）小明做小数乘法时，把一个因数看成了，结果算出的积比正确积多了。正确的积是多少？ 6.（重点中学分班考）小丽做小数除法时，把除数看成了，得到的商是。正确的被除数是多少？ 7.（走美杯真题）计算小数除法时，把除数的小数点向左错移两位，被除数不变，得到的商是。正确的商是多少？ 8.（六年级期末真题）计算小数除法时，把除数看成了，结果得到的商比正确的商少了。正确的商是多少？ 9.（希望杯模拟题）计算小数乘法时，把一个因数的小数点向左错移两位，结果得到的积比正确积少了。正确的积是多少？ 10.（小升初真题）小明计算除法时，把被除数看成了，把除数看成了，得到的商是。正确的商是多少？ 11.（华杯赛模拟题）两个数相乘，小马虎把第一个因数的小数点向右移了一位，第二个因数不变，算出的积是。正确的积与错误的积相差多少？ 12.（思维训练题）小刚在计算小数除法时，把被除数的小数点向右多移了一位，除数的小数点向左少移了一位，得到的商是。正确的商应该是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $