第20讲 分数、比、百分数综合互化应用 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第20讲 分数、比、百分数综合互化应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 三者互化核心规则 三者本质都是表示两个量的倍比关系，可以灵活互相转化，是统一解题形式的基础。 分数↔比：分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，即（）。带分数需先化成假分数再转化为比。 分数↔百分数：分数化百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再乘 100%；百分数化分数，先写成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。 比↔百分数：先把比转化为分数形式，再化成百分数；百分数化比，先化成分数并化简，再写成比的形式。 2. 核心解题思想：统一形式 所有比、百分数都可以转化为分率（分数），统一单位 “1” 后，即可用量率对应、不变量法等所有分数应用题的方法解题。 示例转化：已知 → 甲是乙的，乙是甲的 → 甲占总数的，乙占总数的 → 甲比乙少，乙比甲多约 3. 常见综合应用题型 百分率计算：出勤率、合格率、成活率、增长率等，本质是 “部分量 ÷ 总量 ×100%”。 按比分配 + 百分数：已知几个量的比，结合某个量的百分率，求总量或部分量。 量率对应综合：题目同时出现分数、比、百分数，统一转化为分率后，匹配量率对应关系。 不变量综合：抓住不变量（单量、和、差），统一份数或分率，实现量率对应。 4. 解题通用步骤 ① 读题定位：找出所有分数、比、百分数，确定各自的单位 “1”； ② 统一形式：将比、百分数都转化为分数，统一单位 “1”； ③ 量率匹配：找到已知数量对应的分率，或已知分率对应的数量； ④ 列式计算：根据量率对应公式求解； ⑤ 回代检验：代入原题验证所有条件是否成立。 5. 易错警示 “多百分之几”“少百分之几” 的单位 “1” 是 “比” 后面的量，不能直接用份数差除以总份数； 百分数只表示倍比关系，不能带单位； 不同单位 “1” 的分率不能直接加减，必须先统一基准； 连比转化百分数时，要先求总份数，再用各部分份数除以总份数乘 100%。 例题讲解 【典型例题 1】比与百分数的互化应用 甲、乙两人的零花钱数之比是。 （1）甲的零花钱是乙的百分之几？ （2）乙的零花钱占两人总钱数的百分之几？ （3）甲的零花钱比乙多百分之几？ 【分析】比转化为百分数，先确定单位 “1”。（1）单位 “1” 是乙，用甲的份数 ÷ 乙的份数；（2）单位 “1” 是总钱数，用乙的份数 ÷ 总份数；（3）单位 “1” 是乙，用份数差 ÷ 乙的份数。 【详解】 （1）% （2）总份数：，% （3）份数差：，% 答：（1）甲是乙的 125%；（2）乙占总钱数的约 44.4%；（3）甲比乙多 25%。 【答案】（1）；（2）%；（3）% 【跟踪训练 1】 某班男生和女生的人数比是。 （1）女生人数是男生的百分之几？ （2）男生人数占全班的百分之几？ （3）女生人数比男生少百分之几？ 【分析】分别确定单位 “1”，用份数计算百分率。 【详解】 （1）% （2）总份数：，% （3）份数差：，% 答：（1）女生是男生的约 66.7%；（2）男生占全班的 60%；（3）女生比男生少约 33.3%。 【答案】（1）%；（2）；（3）% 【典型例题 2】比、百分数结合量率对应 小明看一本故事书，已看页数与剩下页数的比是。如果再看 30 页，已看页数就占全书的。这本书共有多少页？ 【分析】把比转化为分率，原来已看占全书的，后来已看占全书的 40%。全书总页数是单位 “1”，30 页对应两次分率的差，量率对应求总页数。 【详解】 原来已看占全书：％ 30 页对应分率：%-25％=15％ 全书总页数：=200（页） 答：这本书共有 200 页。 【答案】页 【跟踪训练 2】 修一条公路，已修的长度与未修的比是。如果再修 120 米，已修的就占全长的。这条公路全长多少米？ 【分析】先求原来已修占全长的分率，再求 120 米对应的分率差，量率对应求全长。 【详解】 原来已修占全长：% 120 米对应分率：%-40％=15％ 全长：%=800（米） 答：这条公路全长 800 米。 【答案】米 【典型例题 3】连比与百分数综合应用 甲、乙、丙三人共有存款 3600 元，甲、乙、丙三人的存款比是。甲的存款比丙少百分之几？ 【分析】可以先按比分配求出甲和丙的存款，再用差量 ÷ 丙的存款；也可以直接用份数差 ÷ 丙的份数，结果一致。 【详解】 方法一：按比分配 总份数： 1 份量：（元） 甲：（元） 丙：（元） 甲比丙少：% 方法二：份数法 份数差： % 答：甲的存款比丙少 40%。 【答案】% 【跟踪训练 3】 水果店运来苹果、梨、香蕉共 120 千克，三种水果的重量比是。梨的重量比苹果少百分之几？ 【分析】用份数差 ÷ 苹果的份数，或先算具体重量再计算。 【详解】 份数差： % 答：梨的重量比苹果少 40%。 【答案】% 【典型例题 4】和不变型综合应用 甲、乙两筐水果的重量比是，如果从甲筐拿出 20 千克放入乙筐，这时乙筐占总重量的。两筐水果一共重多少千克？ 【分析】两筐总重量不变，是单位 “1”。原来乙占总重量的，后来乙占总重量的 40%，20 千克对应分率差，量率对应求总重量。 【详解】 原来乙占总重量：% 20 千克对应分率：%-30％=10％ 总重量：%=200（千克） 答：两筐水果一共重 200 千克。 【答案】千克 【跟踪训练 4】 甲、乙两个车间的人数比是，从甲车间调 18 人到乙车间后，乙车间人数占总人数的。两个车间一共有多少人？ 【分析】总人数不变，统一总人数为单位 “1”，求 18 人对应的分率差。 【详解】 原来乙占总人数： 18 人对应分率：%-37.5％=7.5％ 总人数：=240（人） 答：两个车间一共有 240 人。 【答案】人 巩固练习 1. 把下面的比转化为百分数：（1） （2） （3） 【分析】前项 ÷ 后项，再乘 100%。 【详解】 （1）% （2）% （3）% 答：（1）40%；（2）80%；（3）25%。 【答案】（1）%；（2）；（3）% 2. 把下面的百分数化成最简整数比：（1） （2） %（3）% 【分析】先化成分母 100 的分数，再化简成比。 【详解】 （1）%=3:5 （2）=3:4 （3）%=1:8 答：（1）3:5；（2）3:4；（3）1:8。 【答案】（1）；（2）；（3） 3. 某班有 50 人，今天出勤 48 人。求出勤率是多少？ 【分析】出勤率 = 出勤人数 ÷ 总人数 ×100%。 【详解】 %= 96% 答：出勤率是 96%。 【答案】% 4. 果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树比梨树多 120 棵。梨树有多少棵？苹果树占总数的百分之几？ 【分析】先按差倍问题求 1 份量，算梨树棵数；再用苹果份数 ÷ 总份数求百分率。 【详解】 份数差： 1 份量：（棵） 梨树：（棵） 苹果树占比：% 答：梨树有 80 棵，苹果树占总数的约 71.4%。 【答案】梨树棵；苹果树占比% 5. 一堆货物，第一天运走总数的，第二天运走总数的 30%，还剩 84 吨。这堆货物一共有多少吨？ 【分析】统一成分数或百分数，求剩余分率，量率对应求总量。 【详解】 剩余分率：%=50% 总重量：%=168（吨） 答：这堆货物一共有 168 吨。 【答案】吨 6. 甲、乙两人的钱数比是，如果甲花掉 10 元，甲、乙钱数比变为。乙有多少钱？ 【分析】乙的钱数不变，统一乙的份数，求 1 份量。 【详解】 乙的钱数不变，统一乙的份数： 原来甲：乙 后来甲：乙 甲减少 1 份，对应 10 元。 乙有 4 份：（元） 答：乙有 40 元。 【答案】元 7. 某工厂今年产值是去年的 120%，今年比去年多产值 500 万元。今年产值多少万元？ 【分析】去年产值是单位 “1”，500 万元对应 20%，先求去年，再求今年。 【详解】 去年产值：% -1）=20%=2500（万元） 今年产值：（万元） 答：今年产值 3000 万元。 【答案】万元 8. 三根绳子的长度比是，最长的绳子比最短的长 6 米。最长的绳子长多少米？最短的绳子占总长的百分之几？ 【分析】先求 1 份量，算最长绳长；再用最短份数 ÷ 总份数求百分率。 【详解】 份数差： 1 份量：（米） 最长绳：（米） 最短占比：% 答：最长的绳子长 10 米，最短的占总长的 20%。 【答案】最长米；占比% 9. 小明看一本书，第一天看了全书的 20%，第二天看了全书的，两天共看了 90 页。这本书共有多少页？ 【分析】统一百分数为分数，求两天分率和，量率对应求总页数。 【详解】 两天分率和： 总页数：（页） 答：这本书共有 200 页。 【答案】页 10. 甲、乙两桶油的重量比是，如果从甲桶倒 15 千克给乙桶，两桶油的重量比变为。两桶油一共重多少千克？ 【分析】总重量不变，统一总份数，求 15 千克对应的份数。 【详解】 原来总份数：，后来总份数：，总份数不变。 甲减少 1 份，对应 15 千克。 总重量：（千克） 答：两桶油一共重 75 千克。 【答案】千克 11. 一件商品原价 200 元，先涨价 10%，再降价 10%，现价是多少元？ 【分析】两次单位 “1” 不同，第一次单位 “1” 是原价，第二次是涨价后的价格。 【详解】 涨价后：%）=220（元） 现价：%）=198（元） 答：现价是 198 元。 【答案】元 12. 六年级男生人数占全班的 55%，女生比男生少 4 人。全班有多少人？ 【分析】女生占全班的 45%，4 人对应分率差，量率对应求总人数。 【详解】 女生占比：% 分率差：%-45%=10% 总人数：%=40（人） 答：全班有 40 人。 【答案】人 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）把化成百分数是多少？把化成最简整数比是多少？ 【分析】比化百分数用前项除以后项；百分数化比先化分数再化简。 【详解】 % % = = = 答：3:4 化成百分数是 75%；62.5% 化成最简整数比是 5:8。 【答案】%； 2.（希望杯六年级试题）某班有 40 人，今天有 2 人请假，今天的出勤率是多少？ 【分析】出勤率 = 出勤人数 ÷ 总人数 ×100%，先算出勤人数。 【详解】 出勤人数：（人） 出勤率：%=95% 答：今天的出勤率是 95%。 【答案】% 3.（小升初衔接题）已看页数与剩下页数的比是，已看页数比剩下页数少百分之几？ 【分析】单位 “1” 是剩下页数，用份数差 ÷ 剩下的份数。 【详解】 份数差： % 答：已看页数比剩下页数少约 33.3%。 【答案】% 4.（华杯赛初赛）一根绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的，两次一共剪去 14 米。这根绳子全长多少米？ 【分析】统一分率，求两次分率和，量率对应求全长。 【详解】 分率和：%+= + = 全长：（米） 答：这根绳子全长 24 米。 【答案】米 5.（苏教版培优题）甲、乙两数的比是，甲数比乙数多百分之几？乙数比甲数少百分之几？ 【分析】第一问单位 “1” 是乙数，第二问单位 “1” 是甲数，都用份数差 ÷ 单位 “1” 的份数。 【详解】 甲比乙多：% 乙比甲少：% 答：甲数比乙数多 25%，乙数比甲数少 20%。 【答案】多%；少% 6.（重点中学分班考）甲、乙、丙三人共有图书 180 本，三人图书本数比是。丙的图书比甲多百分之几？ 【分析】用份数差 ÷ 甲的份数，或者先算具体数量再计算。 【详解】 份数差： % 答：丙的图书比甲多 100%。 【答案】% 7.（走美杯真题）一件商品先降价 20%，要恢复原价，需要涨价百分之几？ 【分析】设原价为 1，先算降价后的价格，再算需要涨的百分率。 【详解】 设原价为 1。 降价后：%）=0.8 需要涨价：% 答：需要涨价 25%。 【答案】% 8.（六年级期末真题）修一条路，已修的与未修的长度比是，再修 120 米后，已修的占全长的 30%。这条路全长多少米？ 【分析】先求原来已修占全长的分率，再求 120 米对应的分率差。 【详解】 原来已修占比：% 120 米对应分率：%-20%=10% 全长：%=1200（米） 答：这条路全长 1200 米。 【答案】米 9.（希望杯模拟题）某厂男工人数比女工多 20 人，男工人数是女工的 125%。男、女工各有多少人？ 【分析】女工人数是单位 “1”，20 人对应 25%，先求女工人数。 【详解】 女工人数：（人） 男工人数：（人） 答：男工 100 人，女工 80 人。 【答案】男工人；女工人 10.（小升初真题）小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的，第一天比第二天多看 10 页。这本书共有多少页？ 【分析】求分率差，量率对应求总页数。 【详解】 分率差：% -=5% 总页数：%=200（页） 答：这本书共有 200 页。 【答案】页 11.（华杯赛模拟题）甲、乙两个车间人数比是，如果从甲车间调 12 人到乙车间，这时甲车间人数占总人数的 40%。两个车间一共有多少人？ 【分析】总人数不变，原来甲占总人数的，后来占 40%，12 人对应分率差。 【详解】 原来甲占总人数：% 12 人对应分率：% 总人数：%=60（人） 答：两个车间一共有 60 人。 【答案】人 12.（思维训练题）有两堆沙子，第一堆重量是第二堆的 60%，如果从第二堆运 10 吨给第一堆，两堆重量相等。两堆沙子一共重多少吨？ 【分析】先求两堆的重量比，再求差量对应份数，算总重量。 【详解】 第一堆：第二堆 = 60% = 3:5 重量差：（吨） 份数差： 1 份量：（吨） 总重量：（吨） 答：两堆沙子一共重 80 吨。 【答案】吨 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 分数、比、百分数综合互化应用 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 三者互化核心规则 三者本质都是表示两个量的倍比关系，可以灵活互相转化，是统一解题形式的基础。 分数↔比：分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，即（）。带分数需先化成假分数再转化为比。 分数↔百分数：分数化百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再乘 100%；百分数化分数，先写成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。 比↔百分数：先把比转化为分数形式，再化成百分数；百分数化比，先化成分数并化简，再写成比的形式。 2. 核心解题思想：统一形式 所有比、百分数都可以转化为分率（分数），统一单位 “1” 后，即可用量率对应、不变量法等所有分数应用题的方法解题。 示例转化：已知 → 甲是乙的，乙是甲的 → 甲占总数的，乙占总数的 → 甲比乙少，乙比甲多约 3. 常见综合应用题型 百分率计算：出勤率、合格率、成活率、增长率等，本质是 “部分量 ÷ 总量 ×100%”。 按比分配 + 百分数：已知几个量的比，结合某个量的百分率，求总量或部分量。 量率对应综合：题目同时出现分数、比、百分数，统一转化为分率后，匹配量率对应关系。 不变量综合：抓住不变量（单量、和、差），统一份数或分率，实现量率对应。 4. 解题通用步骤 ① 读题定位：找出所有分数、比、百分数，确定各自的单位 “1”； ② 统一形式：将比、百分数都转化为分数，统一单位 “1”； ③ 量率匹配：找到已知数量对应的分率，或已知分率对应的数量； ④ 列式计算：根据量率对应公式求解； ⑤ 回代检验：代入原题验证所有条件是否成立。 5. 易错警示 “多百分之几”“少百分之几” 的单位 “1” 是 “比” 后面的量，不能直接用份数差除以总份数； 百分数只表示倍比关系，不能带单位； 不同单位 “1” 的分率不能直接加减，必须先统一基准； 连比转化百分数时，要先求总份数，再用各部分份数除以总份数乘 100%。 例题讲解 【典型例题 1】比与百分数的互化应用 甲、乙两人的零花钱数之比是。 （1）甲的零花钱是乙的百分之几？ （2）乙的零花钱占两人总钱数的百分之几？ （3）甲的零花钱比乙多百分之几？ 【跟踪训练 1】 某班男生和女生的人数比是。 （1）女生人数是男生的百分之几？ （2）男生人数占全班的百分之几？ （3）女生人数比男生少百分之几？ 【典型例题 2】比、百分数结合量率对应 小明看一本故事书，已看页数与剩下页数的比是。如果再看 30 页，已看页数就占全书的。这本书共有多少页？ 【跟踪训练 2】 修一条公路，已修的长度与未修的比是。如果再修 120 米，已修的就占全长的。这条公路全长多少米？ 【典型例题 3】连比与百分数综合应用 甲、乙、丙三人共有存款 3600 元，甲、乙、丙三人的存款比是。甲的存款比丙少百分之几？ 【跟踪训练 3】 水果店运来苹果、梨、香蕉共 120 千克，三种水果的重量比是。梨的重量比苹果少百分之几？ 【典型例题 4】和不变型综合应用 甲、乙两筐水果的重量比是，如果从甲筐拿出 20 千克放入乙筐，这时乙筐占总重量的。两筐水果一共重多少千克？ 【跟踪训练 4】 甲、乙两个车间的人数比是，从甲车间调 18 人到乙车间后，乙车间人数占总人数的。两个车间一共有多少人？ 巩固练习 1. 把下面的比转化为百分数：（1） （2） （3） 2. 把下面的百分数化成最简整数比：（1） （2） %（3）% 3. 某班有 50 人，今天出勤 48 人。求出勤率是多少？ 4. 果园里苹果树和梨树的棵数比是，苹果树比梨树多 120 棵。梨树有多少棵？苹果树占总数的百分之几？ 5. 一堆货物，第一天运走总数的，第二天运走总数的 30%，还剩 84 吨。这堆货物一共有多少吨？ 6. 甲、乙两人的钱数比是，如果甲花掉 10 元，甲、乙钱数比变为。乙有多少钱？ 7. 某工厂今年产值是去年的 120%，今年比去年多产值 500 万元。今年产值多少万元？ 8. 三根绳子的长度比是，最长的绳子比最短的长 6 米。最长的绳子长多少米？最短的绳子占总长的百分之几？ 9. 小明看一本书，第一天看了全书的 20%，第二天看了全书的，两天共看了 90 页。这本书共有多少页？ 10. 甲、乙两桶油的重量比是，如果从甲桶倒 15 千克给乙桶，两桶油的重量比变为。两桶油一共重多少千克？ 11. 一件商品原价 200 元，先涨价 10%，再降价 10%，现价是多少元？ 12. 六年级男生人数占全班的 55%，女生比男生少 4 人。全班有多少人？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）把化成百分数是多少？把化成最简整数比是多少？ 2.（希望杯六年级试题）某班有 40 人，今天有 2 人请假，今天的出勤率是多少？ 3.（小升初衔接题）已看页数与剩下页数的比是，已看页数比剩下页数少百分之几？ 4.（华杯赛初赛）一根绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的，两次一共剪去 14 米。这根绳子全长多少米？ 5.（苏教版培优题）甲、乙两数的比是，甲数比乙数多百分之几？乙数比甲数少百分之几？ 6.（重点中学分班考）甲、乙、丙三人共有图书 180 本，三人图书本数比是。丙的图书比甲多百分之几？ 7.（走美杯真题）一件商品先降价 20%，要恢复原价，需要涨价百分之几？ 8.（六年级期末真题）修一条路，已修的与未修的长度比是，再修 120 米后，已修的占全长的 30%。这条路全长多少米？ 9.（希望杯模拟题）某厂男工人数比女工多 20 人，男工人数是女工的 125%。男、女工各有多少人？ 10.（小升初真题）小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的，第一天比第二天多看 10 页。这本书共有多少页？ 11.（华杯赛模拟题）甲、乙两个车间人数比是，如果从甲车间调 12 人到乙车间，这时甲车间人数占总人数的 40%。两个车间一共有多少人？ 12.（思维训练题）有两堆沙子，第一堆重量是第二堆的 60%，如果从第二堆运 10 吨给第一堆，两堆重量相等。两堆沙子一共重多少吨？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $