第4讲 积与商的近似数与极值问题求解 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第4讲 积与商的近似数与极值问题求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 积的近似数 计算步骤：先计算出完整准确的积，再根据要求用四舍五入法保留指定的小数位数。 四舍五入规则：保留位小数，就看第位上的数字。若≥5，则向前一位进 1；若＜5，则直接舍去尾数。 精确度说明：近似数末尾的 0 不能省略，它代表了近似数的精确程度。例如和数值相等，但精确到十分位，精确度更高。 精度对应：保留整数→精确到个位；保留一位小数→精确到十分位；保留两位小数→精确到百分位，以此类推。 2. 商的近似数 计算步骤：计算时，除到比要保留的小数位数多一位，再用四舍五入法截取近似数，无需算出完整的商。 与积的近似数的区别：积需要算出完整结果再取近似；商只需除到指定位次的下一位即可判断结果，减少计算量。 3. 极值问题（核心培优内容） 核心逻辑：已知一个数的近似数，反推原数的最大值和最小值，分为 \\“四舍”和“五入”\\ 两种情况。 （1）单个数的极值 “四舍” 得到近似数：原数大于近似数，尾数被舍去。 最大值：近似数的下一位数字取 4，后面数位都取最大数字 9。 例：保留一位小数是，四舍得到的原数最大是。 “五入” 得到近似数：原数小于近似数，尾数进 1 得到近似数。 最小值：近似数的最后一位减 1，下一位数字取 5，后面数位都取最小数字 0。 例：保留一位小数是，五入得到的原数最小是。 特殊情况：连续进位：如保留两位小数是，五入时需要连续进位，最小值是。 （2）积的极值 已知两个因数的近似数： 求积的最大值：两个因数分别取各自的最大值，再相乘； 求积的最小值：两个因数分别取各自的最小值，再相乘。 （3）商的极值 已知商的近似数和除数： 被除数最大值 = 商的最大值 × 除数 被除数最小值 = 商的最小值 × 除数 已知被除数和商的近似数： 除数最大值 = 被除数 ÷ 商的最小值 除数最小值 = 被除数 ÷ 商的最大值 4. 解题通用步骤 ① 求近似数：积先算全再四舍五入；商除到多一位再四舍五入。 ② 求单个数极值：区分 “四舍”“五入”，分别写出最大值和最小值。 ③ 求积 / 商极值：先确定每个相关量的最值，再对应进行乘除运算。 例题讲解 【典型例题 1】积与商的近似数基础 计算下面各题，按要求取近似数。 （1） （保留两位小数） （2） （保留一位小数） 【跟踪训练 1】 计算： （1） （保留两位小数） （2） （保留一位小数） 【典型例题 2】单个数的极值（三位小数） 一个三位小数，用四舍五入法保留两位小数约是，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 【跟踪训练 2】 一个四位小数，保留三位小数约是，这个四位小数最大是多少？最小是多少？ 【典型例题 3】积的极值应用 两个一位小数，四舍五入到个位都是 7，这两个小数相乘的积最大是多少？最小是多少？ 【跟踪训练 3】 两个两位小数，保留一位小数都是，这两个小数相乘的积最大是多少？最小是多少？ 【典型例题 4】商的极值应用 已知商保留两位小数约是，除数是，被除数最大是多少？最小是多少？ 【跟踪训练 4】 已知被除数是 15，商保留一位小数约是，除数最大是多少？最小是多少？（结果保留三位小数） 巩固练习 1. 计算，保留两位小数是多少？ 2. 计算，保留一位小数是多少？ 3. 一个两位小数，四舍五入保留一位小数约是，这个两位小数最大是多少？最小是多少？ 4. 一个三位小数，保留整数约是 10，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 5. 两个一位小数，四舍五入到个位都是 9，它们的积最大是多少？最小是多少？ 6. 已知商保留一位小数约是，除数是，被除数最大是多少？ 7. 计算，保留一位小数是多少？ 8. 一个三位小数，保留两位小数约是，这个三位小数的取值范围是什么？ 9. 两个两位小数，保留整数都是 5，它们的积最大是多少？ 10. 已知被除数是 20，商保留两位小数约是，除数最小是多少？（结果保留三位小数） 11. 计算，保留两位小数是多少？ 12. 一个两位小数，四舍五入到整数约是 8，这个两位小数的最大值与最小值相差多少？ 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）计算：，保留两位小数。 2.（希望杯六年级题）计算：，保留一位小数。 3.（小升初衔接题）一个三位小数，保留两位小数约是，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 4.（华杯赛初赛）两个一位小数，四舍五入到个位都是 4，它们的积最大是多少？最小是多少？ 5.（苏教版培优题）已知商保留两位小数约是，除数是，被除数最大是多少？最小是多少？ 6.（重点中学分班考）一个四位小数，保留三位小数约是，这个四位小数最大是多少？最小是多少？ 7.（走美杯真题）计算，保留一位小数是多少？ 8.（六年级期末真题）两个两位小数，保留一位小数都是，它们的积最小是多少？ 9.（希望杯模拟题）已知被除数是 30，商保留一位小数约是，除数最大是多少？（结果保留两位小数） 10.（小升初真题）一个两位小数，四舍五入后约是，这个两位小数的最大值与最小值的和是多少？ 11.（华杯赛模拟题）计算：，保留两位小数是多少？ 12.（思维训练题）有一个三位小数，保留一位小数后得到的近似数和保留两位小数后得到的近似数数值相等，都是。这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 积与商的近似数与极值问题求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 积的近似数 计算步骤：先计算出完整准确的积，再根据要求用四舍五入法保留指定的小数位数。 四舍五入规则：保留位小数，就看第位上的数字。若≥5，则向前一位进 1；若＜5，则直接舍去尾数。 精确度说明：近似数末尾的 0 不能省略，它代表了近似数的精确程度。例如和数值相等，但精确到十分位，精确度更高。 精度对应：保留整数→精确到个位；保留一位小数→精确到十分位；保留两位小数→精确到百分位，以此类推。 2. 商的近似数 计算步骤：计算时，除到比要保留的小数位数多一位，再用四舍五入法截取近似数，无需算出完整的商。 与积的近似数的区别：积需要算出完整结果再取近似；商只需除到指定位次的下一位即可判断结果，减少计算量。 3. 极值问题（核心培优内容） 核心逻辑：已知一个数的近似数，反推原数的最大值和最小值，分为 \\“四舍”和“五入”\\ 两种情况。 （1）单个数的极值 “四舍” 得到近似数：原数大于近似数，尾数被舍去。 最大值：近似数的下一位数字取 4，后面数位都取最大数字 9。 例：保留一位小数是，四舍得到的原数最大是。 “五入” 得到近似数：原数小于近似数，尾数进 1 得到近似数。 最小值：近似数的最后一位减 1，下一位数字取 5，后面数位都取最小数字 0。 例：保留一位小数是，五入得到的原数最小是。 特殊情况：连续进位：如保留两位小数是，五入时需要连续进位，最小值是。 （2）积的极值 已知两个因数的近似数： 求积的最大值：两个因数分别取各自的最大值，再相乘； 求积的最小值：两个因数分别取各自的最小值，再相乘。 （3）商的极值 已知商的近似数和除数： 被除数最大值 = 商的最大值 × 除数 被除数最小值 = 商的最小值 × 除数 已知被除数和商的近似数： 除数最大值 = 被除数 ÷ 商的最小值 除数最小值 = 被除数 ÷ 商的最大值 4. 解题通用步骤 ① 求近似数：积先算全再四舍五入；商除到多一位再四舍五入。 ② 求单个数极值：区分 “四舍”“五入”，分别写出最大值和最小值。 ③ 求积 / 商极值：先确定每个相关量的最值，再对应进行乘除运算。 例题讲解 【典型例题 1】积与商的近似数基础 计算下面各题，按要求取近似数。 （1） （保留两位小数） （2） （保留一位小数） 【分析】（1）先算出准确的积，再看千分位数字，按四舍五入保留两位小数；（2）商要保留一位小数，需要除到第二位小数，再判断进位。 【详解】 （1）先计算准确积： 保留两位小数，看第三位数字：，向前一位进 1 （2）计算除法： 正好是一位小数，结果即为 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 1】 计算： （1） （保留两位小数） （2） （保留一位小数） 【分析】（1）先算准确积，再看第三位小数四舍五入；（2）除到第二位小数，再取近似值。 【详解】 （1） 保留两位小数，看第三位：，直接舍去 （2） 保留一位小数，看第二位：，向前一位进 1 【答案】（1）；（2） 【典型例题 2】单个数的极值（三位小数） 一个三位小数，用四舍五入法保留两位小数约是，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】分两种情况讨论： 四舍得到：原数比大，千分位上的数字被舍去，最大为 4，因此最大数是； 五入得到：原数比小，千分位进 1 后得到，千分位最小为 5，进 1 后百分位变成 0，说明原来百分位是 9，十分位是 2，因此最小数是。 【详解】 最大值：“四舍” 时千分位最大为 4，这个三位小数是； 最小值：“五入” 时千分位最小为 5，百分位原为 9、十分位原为 2，这个三位小数是。 答：这个三位小数最大是 6.304，最小是 6.295。 【答案】最大；最小 【跟踪训练 2】 一个四位小数，保留三位小数约是，这个四位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍得到，原数最大，万分位是 4；五入得到，原数最小，万分位是 5，且需要连续进位。 【详解】 最大：“四舍” 时万分位最大为 4，这个数是； 最小：“五入” 时万分位最小为 5，千分位原为 9、百分位原为 9、十分位原为 4，这个数是。 答：这个四位小数最大是 8.5004，最小是 8.4995。 【答案】最大；最小 【典型例题 3】积的极值应用 两个一位小数，四舍五入到个位都是 7，这两个小数相乘的积最大是多少？最小是多少？ 【分析】先确定每个一位小数的取值范围： 四舍到个位是 7，最大值是； 五入到个位是 7，最小值是。 积最大时两个因数都取最大值，积最小时两个因数都取最小值。 【详解】 一位小数近似数为 7 的取值范围：原数 最大值：；最小值： 积最大： 积最小： 答：积最大是 54.76，最小是 42.25。 【答案】最大；最小 【跟踪训练 3】 两个两位小数，保留一位小数都是，这两个小数相乘的积最大是多少？最小是多少？ 【分析】先确定两位小数的最值：最大，最小，再分别相乘。 【详解】 两位小数保留一位小数是 4.8： 最大值：；最小值： 积最大： 积最小： 答：积最大是 23.4256，最小是 22.5625。 【答案】最大；最小 【典型例题 4】商的极值应用 已知商保留两位小数约是，除数是，被除数最大是多少？最小是多少？ 【分析】先确定商的最大值和最小值： 商的最大值（四舍）： 商的最小值（五入）： 被除数 = 商 × 除数，因此被除数最大对应商最大，被除数最小对应商最小。 【详解】 商的最大值： 被除数最大： 商的最小值： 被除数最小： 答：被除数最大是 5.8572，最小是 5.841。 【答案】最大；最小 【跟踪训练 4】 已知被除数是 15，商保留一位小数约是，除数最大是多少？最小是多少？（结果保留三位小数） 【分析】除数 = 被除数 ÷ 商。除数最大时，商最小；除数最小时，商最大。 商保留一位小数是 4.3，商最大是，最小是。 【详解】 商的最大值： 除数最小： 商的最小值： 除数最大： 答：除数最大约是 3.529，最小约是 3.456。 【答案】最大约；最小约 巩固练习 1. 计算，保留两位小数是多少？ 【分析】先算出准确积，再看千分位四舍五入。 【详解】 保留两位小数，看第三位：，向前一位进 1 答：保留两位小数是 6.65。 【答案】 2. 计算，保留一位小数是多少？ 【分析】除到第二位小数，再四舍五入。 【详解】 保留一位小数，看第二位：，向前一位进 1 答：保留一位小数是 7.0。 【答案】 3. 一个两位小数，四舍五入保留一位小数约是，这个两位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍得到最大值，五入得到最小值。 【详解】 最大：“四舍” 时百分位最大为 4，这个数是； 最小：“五入” 时百分位最小为 5，十分位原为 7，这个数是。 答：最大是 5.84，最小是 5.75。 【答案】最大；最小 4. 一个三位小数，保留整数约是 10，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】保留整数看十分位。四舍时十分位最大 4，后面都是 9；五入时十分位最小 5，后面都是 0，整数部分是 9。 【详解】 最大：（十分位 4 舍去） 最小：（十分位 5 进 1，） 答：最大是 10.499，最小是 9.500。 【答案】最大；最小 5. 两个一位小数，四舍五入到个位都是 9，它们的积最大是多少？最小是多少？ 【分析】一位小数近似数为 9，最大，最小，分别相乘。 【详解】 最大值：；最小值： 积最大： 积最小： 答：积最大是 88.36，最小是 72.25。 【答案】最大；最小 6. 已知商保留一位小数约是，除数是，被除数最大是多少？ 【分析】商的最大值是，被除数最大 = 最大商 × 除数。 【详解】 商的最大值： 被除数最大： 答：被除数最大是 21.84。 【答案】 7. 计算，保留一位小数是多少？ 【分析】先算积，再看百分位四舍五入。 【详解】 保留一位小数，看第二位：，舍去 答：保留一位小数是 1.0。 【答案】 8. 一个三位小数，保留两位小数约是，这个三位小数的取值范围是什么？ 【分析】最小是（五入），最大小于（四舍的极限）。 【详解】 “五入” 得到 9.00，原数最小为； “四舍” 得到 9.00，原数小于。 答：这个三位小数的取值范围是大于等于 8.995，小于 9.005。 【答案】 9. 两个两位小数，保留整数都是 5，它们的积最大是多少？ 【分析】两位小数保留整数是 5，最大是，两个都取最大值相乘。 【详解】 两位小数保留整数是 5，最大值是 积最大： 答：积最大是 30.1401。 【答案】 10. 已知被除数是 20，商保留两位小数约是，除数最小是多少？（结果保留三位小数） 【分析】除数最小对应商最大，商最大是，除数 = 被除数 ÷ 商。 【详解】 商的最大值： 除数最小： 答：除数最小约是 3.701。 【答案】约 11. 计算，保留两位小数是多少？ 【分析】除到第三位小数，再四舍五入。 【详解】 保留两位小数，看第三位：，舍去 答：保留两位小数是 27.69。 【答案】 12. 一个两位小数，四舍五入到整数约是 8，这个两位小数的最大值与最小值相差多少？ 【分析】先求最大和最小值，再相减。 【详解】 最大值： 最小值： 相差： 答：最大值与最小值相差 0.99。 【答案】 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）计算：，保留两位小数。 【分析】先算准确积，再四舍五入保留两位。 【详解】 保留两位小数是 3.74 答：保留两位小数是 3.74。 【答案】 2.（希望杯六年级题）计算：，保留一位小数。 【分析】除到第二位小数，再四舍五入。 【详解】 保留一位小数，看第二位：，进 1 答：保留一位小数是 2.1。 【答案】 3.（小升初衔接题）一个三位小数，保留两位小数约是，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍最大，五入最小。 【详解】 最大：（千分位 4 舍去） 最小：（千分位 5 进 1，连续进位） 答：最大是 4.504，最小是 4.495。 【答案】最大；最小 4.（华杯赛初赛）两个一位小数，四舍五入到个位都是 4，它们的积最大是多少？最小是多少？ 【分析】一位小数近似数 4，最大，最小，分别相乘。 【详解】 最大值：；最小值： 积最大： 积最小： 答：积最大是 19.36，最小是 12.25。 【答案】最大；最小 5.（苏教版培优题）已知商保留两位小数约是，除数是，被除数最大是多少？最小是多少？ 【分析】商最大，最小，分别乘除数。 【详解】 商的最大值： 被除数最大： 商的最小值： 被除数最小： 答：被除数最大是 6.8496，最小是 6.828。 【答案】最大；最小 6.（重点中学分班考）一个四位小数，保留三位小数约是，这个四位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】四舍最大，五入最小，连续进位。 【详解】 最大：（万分位 4 舍去） 最小：（万分位 5 进 1，连续进位） 答：最大是 7.0004，最小是 6.9995。 【答案】最大；最小 7.（走美杯真题）计算，保留一位小数是多少？ 【分析】先算积，再四舍五入保留一位。 【详解】 保留一位小数是 1.1 答：保留一位小数是 1.1。 【答案】 8.（六年级期末真题）两个两位小数，保留一位小数都是，它们的积最小是多少？ 【分析】两位小数保留一位小数是 3.0，最小是，两个都取最小值相乘。 【详解】 两位小数保留一位小数是 3.0，最小值是 积最小： 答：积最小是 8.7025。 【答案】 9.（希望杯模拟题）已知被除数是 30，商保留一位小数约是，除数最大是多少？（结果保留两位小数） 【分析】除数最大对应商最小，商最小是，除数。 【详解】 商的最小值： 除数最大： 答：除数最大约是 4.03。 【答案】约 10.（小升初真题）一个两位小数，四舍五入后约是，这个两位小数的最大值与最小值的和是多少？ 【分析】先求最大和最小，再相加。 【详解】 最大值： 最小值： 和： 答：最大值与最小值的和是 11.99。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）计算：，保留两位小数是多少？ 【分析】除到第三位小数，再四舍五入。 【详解】 保留两位小数，看第三位：，进 1 答：保留两位小数是 7.16。 【答案】 12.（思维训练题）有一个三位小数，保留一位小数后得到的近似数和保留两位小数后得到的近似数数值相等，都是。这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 【分析】保留一位小数是 5.4，原数范围是原数； 保留两位小数是 5.40（与 5.4 数值相等），原数范围是原数。 两个范围的交集就是这个三位小数的取值范围。 【详解】 保留一位小数是 5.4：原数 保留两位小数是 5.40：原数 取交集：原数 所以这个三位小数最大是，最小是。 答：最大是 5.404，最小是 5.395。 【答案】最大；最小 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $