精品解析：西藏自治区西藏昌都市第一高级中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测（9月）数学试题

昌都市一高2027届高三上第一次质量检测（9月） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式化简集合，再根据集合并集的定义计算. 【详解】因为，且， 所以. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标关系即可. 【详解】因为，所以，解得. 4. 直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则. 5. 若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的高为，母线为，表示出其侧面积和底面积为，由条件建立方程，解出，，从而可求其体积. 【详解】设圆锥的高为，母线为，则侧面积为，底面积为 由侧面积是底面积的3倍，得，， 解得，， 故该圆锥的体积为． 故选：D 6. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论. 【详解】由，可得， 利用半角公式可得，充分性不成立， 当时，， 可得，则必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： B 8. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ; 又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.由余弦定理得，所以，A正确； B.因为，且，所以，B错误： C.由正弦定理得，C正确; D.，D正确． 10. 已知等比数列的公比为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 数列为递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由，等比数列通项公式得，求出；BCD选项，由，求通项，求出，进而求解，再求单调性. 【详解】由等比数列通项公式得， 又因为，所以，故A正确； 再由，则，所以，故B正确； ，故C错误， 又，则数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 13. 若函数有两个极值点，则实数取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件可知有两个不同的实数根，然后利用一元二次函数的判别式即可求解. 【详解】由题意可知，， ∵有两个极值点， ∴有两个不同的实数根， 故，即或. 从而实数取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，不能推断喜爱马拉松与性别有关； （2）的分布列为： 0 1 2 期望为（或）. 【解析】 【分析】（1）根据临界值表可得相应的判断； （2）根据超几何分布可求分布列及数学期望. 【小问1详解】 零假设为：喜爱马拉松与性别无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关. 【小问2详解】 由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男性，2个女性， 故的可能取值有， ，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 解：设等差数列公差为，， . 【小问2详解】 解：， . 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】（1）底面，平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,， ,1,，,0,，,1,， 设平面的一个法向量为,,， 则，取，则，， 平面的一个法向量为,1,， 设直线与平面所成的角为， 则， 18. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再结合通径长公式得，最后根据即可求得，得答案； （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为点为椭圆的右焦点，所以， 因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，， 所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍）， 所以，即曲线的方程为； 【小问2详解】 解：（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，代入韦达定理整理得， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以 因为， 所以，即，解得， 不妨设，则，． 所以的面积. 19. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可解决； （2）函数在定义域内不存在极值点，说明其在定义域内恒单调，即其导数在定义域内恒非负或恒非正，结合含参二次函数的图象即可解决； （3）由（2）可知，的极小值就是，于是有，得到与的关系，运用“隐零点问题”的常规解法即可解决. 【小问1详解】 当时，， ，所以，即切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， ， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意； （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3，所以恒成立， 所以，即. 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，设， 则，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌都市一高2027届高三上第一次质量检测（9月） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（ ） A. 27 B. 54 C. 81 D. 243 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的公比为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 数列为递减数列 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 13. 若函数有两个极值点，则实数取值范围是______ 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 18. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 19. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $