精品解析：西藏拉萨市第三高级中学2025届高三上学期月考数学试题

2024-2025学年第一学期拉萨市第三高级中学 高三数学月考试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得，所以. 故选：C. 2. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C 3. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，即可求出，再由两角和的正切公式展开计算可得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，则，解得. 故选：B 4. 圆台上、下底面半径分别为，作平行于底面的平面将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设截面半径为，上，下圆台的高分别为，，上，下圆台的体积分别为，则，而，利用圆台体积公式建立方程，化简求解即可得到答案． 【详解】设截面半径为x，上、下圆台的高分别为，，上，下圆台的体积分别为， 则，又， 则， 于是，则， 得，故. 故选：B． 5. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值. 【详解】由函数图象平移的规则可知： 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的， 因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称，得： ， 即， 故选：D. 6. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，， ， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且， 当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 7. 若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得， 所以该圆锥的高为. 故选：A 8. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设可求得点的纵坐标为，写出直线的方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，最后由抛物线的定义表达式可求出焦点弦的长. 【详解】 如图，，则,在中，， 故， 即点的纵坐标为，代入中，解得， 则， 因，则直线的斜率为， 于是，代入，整理得：， 解得或，即. 故. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在区间内单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 有极大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇函数定义及其导函数的性质进行判断即可. 【详解】由函数的定义域为知，为非奇非偶函数，因此A错误； 又，令，则， 当时，， 因此在区间和单调递增； 当时，，因此在区间在区间内单调递减； 故在处，取得极大值，因此BCD正确. 故选：BCD. 10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表： 学校 人数 平均运动时间 方差 甲校 2000 10 3 乙校 3000 8 2 记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式求解. 【详解】依题意，总平均时间为， 方差为. 故选：BC 11. 为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的离心率为 C. 若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】在中由正弦定理结合条件可得出的值，由面积公式可判断面积的最值，设与椭圆方程联立得出韦达定理，利用等面积法结合韦达定理可判断选项C，作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，设，，利用椭圆的第二定义可判断选项D. 【详解】如图，在中， 由正弦定理，， 则，即， 所以，由 所以，则， 则最大值为，故A正确，B错误； 由题意可得，的斜率不为0，设，联立方程 得， 恒成立，，， 设与的内切圆半径分别为，， 因为， ，所以，即， ，，， 所以， 即，，所以，C正确； 作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影， 设，，， 所以，， 则， 得，同理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是_______ 【答案】112 【解析】 【分析】由二项式系数和等于求得的值，再利用展开式的通项公式计算即可. 【详解】依题意得：解得 则 由，解得 从而. 故答案为： 13. 已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由累加法算数列通项公式，再由递推公式求结果. 【详解】因为，对任意正整数，，，成等差数列，公差为， 所以 当时，可得， 当时， 所以当时， 故答案为： 14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果. 【详解】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”， 则， 则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为， 且各局游戏是相互独立的， 则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为. 故答案为： 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，点在边上，，且，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小. （2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得， 即， 则，而，于是， 即，又，即有，则， 所以. 【小问2详解】 依题意，，则，而， 于是，， 解得，又，解得， 由余弦定理得，解得， 所以. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数的极大值为，求证：． 【答案】（1） （2） 由得 函数的导数为：． 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以函数的极大值为：． 要证明，即证明， 设，且. 则导数为：， 所以当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以， 即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得该点的斜率，代入直线的点斜式方程即可； （2）根据导数判断函数的单调性，即可确定极大值，再将不等式转化为函数，通过导数证明即可. 小问1详解】 当时，，且， 即函数的导数：， 所以函数在点的斜率， 又， 所以函数在点的切线方程为：，即． 【小问2详解】 略 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可； （2）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 小问1详解】 根据频率分布直方图得： ． 【小问2详解】 由题意知，即， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据内切圆的性质得到，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程； （2）根据条件设，，，，，，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到，，结合弦长公式得到，从而证明，进而可得相似于，由四点共圆的知识即可得到答案. 【小问1详解】 因为点、，的内切圆与直线相切于点， 所以， 因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支， 设点的轨迹C的方程为，焦距为， 所以，， 所以，，， 所以点的轨迹方程C为 小问2详解】 由题意，直线的斜率互为相反数，记， 则，，，，， 设，则直线，. 联立直线和双曲线方程， 整理得. 该方程有两个不等实根，， 则 根据韦达定理可得，， 同理可得，. 又因为，. ，. 则， 同理可得 即 进而可得相似于， 即，， 也即A，B，Q，P四点共圆，可得 从而得. 因此 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合问题.关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦达定理的转化得到，进而得到相似于，由A，B，Q，P四点共圆，可得从而进而得到答案.本题考查学生的数据运算与分析能力、数形结合能力、转化与化归能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期拉萨市第三高级中学 高三数学月考试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 圆台上、下底面半径分别为，作平行于底面的平面将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（ ）. A. B. C. D. 5. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在区间内单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 有极大值 10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表： 学校 人数 平均运动时间 方差 甲校 2000 10 3 乙校 3000 8 2 记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 11. 为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的离心率为 C. 若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是_______ 13. 已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则______． 14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________. 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，点在边上，，且，求． 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设函数的极大值为，求证：． 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 19. 在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $