30.3 正多边形与圆(1) 课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正多边形与圆的关系，涵盖正多边形概念、相关要素（中心、半径等）及计算。课堂导入从一般多边形是否有外接圆和内切圆的问题切入，衔接三角形旧知，引导探究正多边形特殊性，搭建学习支架。 其亮点是结合延安宝塔塔基、司南等实例培养数学眼光，通过内接正五边形证明、正六边形推理发展数学思维，用公式符号强化数学语言。小结系统梳理知识，助学生构建体系，教师可高效教学，学生提升应用与探究能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 (1) 人教版九年级上册 问题1：我们知道，三角形有外接圆和内切圆. 多边形是否有外接圆和内切圆呢？ 对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切. 问题2：对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 课堂导入 思考：什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 注意：两个条件缺一不可. 如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形. 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（如图）. 你还能举出一些这样的例子吗？ 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 正多边形和圆的关系非常密切. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形. 这个圆就是这个正多边形的外接圆； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形. 这个圆就是这个正多边形的内切圆. 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把  分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE. 3 同理 . 又 五边形 ABCDE 的顶点都在  上 ∴ 五边形 ABCDE 是 的内接正五边形，是正五边形 ABCDE 的外接圆. 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心， 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图 ）. 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 边心距 O · 弦心距 边心距 弦心距 区别 边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离. 弦心距是圆心到圆中某一条弦的距离. 联系 边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到正多边形的边 (即外接圆的弦) 的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 辨析 边心距与弦心距的区别与联系 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 跟踪训练 如图所示，△AOB 是正三角形，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ，直径 FC // AB，AO，BO 的延长线交  于点 D，E. 求证：六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 证明：∵ △AOB 是正三角形， ∴ ，OB = OA， ∴ 点 B 在  上. ∵ FC // AB，∴ ∠FOA=∠OAB=60°，∠BOC=∠OBA=60°， ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°， ∴ ， ∴ 六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 知识点1 正多边形及其有关概念 新知讲解 思考：正 n 边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正 n 边形的一个内角的度数是 一个外角的度数是 一个中心角的度数是 ， 正多边形中心角与外角相等. · 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 教材延伸 正多边形的对称性 1. 正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心； 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正 n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为  . · 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 先求出一个三角形的面积. 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 解：如图，连接 OA，OB，作 ，垂足为 P. ∵ 八边形 ABCDEFGH 是半径为 6 m 的正八边形， ∴ OA=OB=6 m ， 45°. 又 △APO 为直角三角形， ∴ ∠OAP=∠AOB. ∴ AP=OP. 在 Rt△APO 中，由勾股定理，得 . ∴ APOA m. 因此，塔基的面积 S8OB×AP101.8 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 解：如图所示，过点A作 AD⊥BC 于点D，过点B作 BE⊥AC 于点E，AD，BE 交于点O，连接CO. 由题意得 BD=CD=2，AE=EC=2， 即 AD 垂直平分 BC，BE 垂直平分 AC， ∴ CO=BO，AO=CO，即 AO=CO=BO， ∴ O为等边三角形ABC的中心. ∴ ∠BOC=2∠BAC，， ∴ △ABC 的中心角 ∠BOC. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB. 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 设 OD=x，则 BO=2x. 在 Rt  中，根据勾股定理,得 ， ∴ 等边三角形  的边心距为 ，半径为 . ∴ 边长为 a 的正三角形的面积是 . 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 特殊正多边形的有关结论 1.正六边形的边长等于其外接圆的半径； 2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍； 3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 跟踪训练 2 司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A~H代表八个方位. 如图，BH与 DG交于点P，则点P位于点D的（ ） D A.南偏西75°方向 B.北偏东75°方向 C.南偏西67.5°方向 D.北偏东67.5°方向 新知讲解 知识点2 正多边形的有关计算 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 解：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 理由：设多边形的边数为 n，则 n 个顶点把圆分成 n 等份，这个 n 边形的每个内角对着 (n-2) 条弧，所以每个内角相等，即这个 n 边形是正 n 边形. 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 如：圆内接矩形. 随堂练习 2. 分别求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 解：如图所示，△ABC 是半径为  的  的内接正三角形， 连接 ，连接  并延长交  于点 ， 则 ，. 在 Rt△OBD 中，OD 所以边长 BC=2BDR 边心距 OD 随堂练习 解：如图所示，正方形  是半径为  的  的内接正方形， 过点  作  于点 ，连接 ，则  必过点 . 在 Rt△BCD 中， 所以边长 边心距 OE 2. 分别求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 随堂练习 3. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）. 解：如图，连接 OB,OC. 因为六边形 ABCDEF 是正六边形， 所以它的中心角等于60°，  是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此，亭子地基的周长 l=6×4=24(m). 作 ，垂足为 . 在  中，OC=4 m 利用勾股定理，可得边心距 r 亭子地基的面积 S 随堂练习 正多边形与圆 正多边形与圆的关系 正多边形的有关概念 正多边形的性质 正多边形的外接圆和内切圆 各边相等，各角相等. 所有的正多边形都是轴对称图形 若有偶数条边，还是中心对称图形 正n边形的有关计算 中心 半径 中心角 边心距 内角 中心角、外角 半径（）、边长（）、边心距（）之间的关系 周长 面积 课堂小结 $