精品解析：云南省玉溪第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

玉溪一中2029届高一年级上学期第一次月考 数学学科试卷 命题人：2029届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式为全称量词命题，改写即可. 【详解】命题“，”的否定是“，” 故选：B. 3. 设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可． 【详解】易知阴影部分为集合， 由，可得 故选:． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】充分性成立：若满足，显然一定满足，因此前者可以推出后者. 必要性不成立：若满足，比如取，此时不满足，因此后者无法推出前者. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式化简为，由知不等式的解集为，进而根据解集中恰有2个整数列不等式，求解即可. 【详解】由，得， 当时，，则不等式的解集为， 由解集中恰有2个整数，得整数解为和0， 因此，解得. 故选：A. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由可得矩形的高，进而可得矩形的面积，再结合面积的范围可得边的范围. 【详解】如图，过作于，交于，则. 因为，所以，因此，即， 得，，所以矩形花园的面积， 又因为矩形的面积不小于，所以， 即，，解得. 因此的取值范围为． 8. 若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得“，成立”是真命题，根据实数是否等于零分类讨论即可. 【详解】由题意，得“，成立”是真命题. 当时，原不等式化为“”， 显然成立； 当时，由，解得. 综上所述，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质与作差比较法逐一比较即得. 【详解】对于A，因，由和，可得，故A正确； 对于B，因，则，由不等式的可乘性，，即，又因，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，因，由可得，故D错误. 10. 不等式的解集是，对于系数a，b，c下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：因为不等式的解集是，所以，故选项A正确，选项B错误； C选项：因为不等式的解集是，所以和是方程的两个根，由根与系数的关系得，，解得，则，故选项C正确； D选项：因为，所以，故选项D正确. 11. 已知、均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算集合的元素，进而可得集合的子集个数. 【详解】因为，且， 所以当时，；当时，；当时，. 因此， 所以集合的所有子集的个数为. 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由题可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式则，解得或，即或， 所以或，． （2）由（1）及，得或． 16. （1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【答案】（1）证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，又因为，所以． 方法二： ， 因为，所以，，，， 所以，所以，所以， 因此． （2）证明：充分性：因为， 所以方程的判别式，且，， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，， 则有，解得． 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【解析】 【详解】略. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】（1）；3 （2）两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【解析】 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【小问1详解】 由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 【小问2详解】 方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值; （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，为关于的方程的两根且， 所以，解得； 【小问2详解】 不等式， 即，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式即， 若，即，此时不等式即，解得，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】（1） 因为，所以是的“下位序列”. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差法比较大小即可； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的“下位序列”，所以， 又均为正数， ，即， ，即， 所以. 【小问3详解】 由题，可得，又均为整数， 所以， ， ，对集合内的每一个正整数都成立， 所以， 所以正整数的最小值为4049. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2029届高一年级上学期第一次月考 数学学科试卷 命题人：2029届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 不等式的解集是，对于系数a，b，c下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知、均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 16. （1）已知，求证：； （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值; （2）求关于的不等式的解集． 19. 对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列“． （1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列“吗？请简单说明理由； （2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系，并说理； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $