精品解析：江苏泰州市靖江市实验学校2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测卷

2026-2027靖江市实验八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第一次月考） （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（18分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 3. 某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项． 【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等， ∴该点到 三个顶点的距离相等， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴该点是 三条边的垂直平分线的交点． 4. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得到，在中可求得，则可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 5. 如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理. 根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，根据三角形的面积公式即可得出. 【详解】解：A.∵是的角平分线，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； B.∵分别是的高， ∴， 由选项A得，， 又∵， ∴， ∴， 该选项正确，不符合题意； C.根据给出条件，不能得出，该选项错误，符合题意； D. 由选项A得，，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】若，点运动路程为，点运动路程为，据此可判断①；求出此时点P和点Q的路程，根据二者的运动时间相同建立方程求解即可判断②；可证明，则可推出，进而得到，据此可判断③；若与全等，则或，据此建立方程组求解即可判断④． 【详解】解：若，点运动路程为，点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的2倍，故①的说法正确； 若两点同时到达点，点运动路程为6，点运动路程为， ， ，故②的说法正确； 若，如图， 此时，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴， ， ∴， ， ， 与不垂直，故③的说法不正确； 如图， 由题意得：， 若与全等，则或， 或． 或． 或，故④的说法正确． 综上，正确说法有：①②④． 二、填空题（30分） 7. 如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，结合塔吊的上部是三角形结构，则应用了三角形的稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，且塔吊的上部是三角形结构， ∴这是应用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 8. 如图，在中，，，D是的中点，则______°． 【答案】36 【解析】 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角求得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 10. 如图，已知，E为的中点，若，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据，可得，再由E为的中点，可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11. 村里计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是_____米． 【答案】30 【解析】 【分析】如解析图，设，根据得到，代入数值计算h的值即可得到答案． 【详解】解：如图， 的周长是，点是水井的位置，于点于点于点，且， 设， ， ， ， ． ． 即这口水井到土地边沿的距离是30米． 12. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【解析】 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 13. 如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点P作于点D，求出，则可求出的长，由三线合一定理求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 14. 中，的垂直平分线分别交于D、E，若，则_________． 【答案】65或115##115或65 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可． 【详解】解：如图1， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ， 则， 解得，， ∴； 如图2中， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ， 则， 解得，， ∴， 故答案为：65或115． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，，则_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线与线段的倍数关系求面积．根据点为中点，可得， ，再由，，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点为中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12 16. 如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点F，连接，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：如图，设的中点为点F，连接，则， ∵， ∴， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，为， ∴长的最小值为． 三、解答题（102分） 17. 计算、解不等式 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，． （1）用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) （2）若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 【答案】（1）如图，点P即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点P，得； （2）由角平分线判定定理得．由等边对等角，得，于是，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． （1）在图①中，作的角平分线； （2）在图②中，作的角平分线； （3）在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周长. 【答案】7或8． 【解析】 【详解】分析： 由已知条件|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，可得2a-3b+5=0且2a+3b-13=0，由此即可解得a和b的值，再分a为等腰三角形底和b为等腰三角形的底两种情况分别计算出等腰三角形的周长即可. 详解： ∵|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0， ∴2a-3b+5=0①，且2a+3b-13=0②， 由①+②可得：4a-8=0，解得：a=2， 将a=2代入②得：4+3b-13=0，解得：b=3， （1）当a为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2，3，3，此时能围成三角形，其周长为8； （2）当b为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2，2，3，此时能围成三角形，其周长为7． 故此等腰三角形的周长为7或8． 点睛：（1）两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0；（2）求得a、b的值后要分a为等腰三角形的底边和b为等腰三角形的底边两种情况讨论. 21. 如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得到，即可得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2） 证明：由（1）得， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ． 【解析】 【分析】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）由（1）可知，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 24. 如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，若，，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：过点A作，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）过点A作，交于点H，由题意易得，则有，然后可证，进而根据线段和差关系及全等三角形的性质可进行求证； （3）由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得，，最后问题可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 25. 【情境建模】 （1）已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）12 【解析】 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 26. 已知，是等边边上的点． （1）如图1，过点作，且交于点，求证：； （2）如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； （3）如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； （2）①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； （3）结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027靖江市实验八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第一次月考） （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（18分） 1. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处 4. 如图，，若，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（30分） 7. 如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 8. 如图，在中，，，D是的中点，则______°． 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 10. 如图，已知，E为的中点，若，则___________． 11. 村里计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是_____米． 12. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 13. 如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 14. 中，的垂直平分线分别交于D、E，若，则_________． 15. 如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，，则_________． 16. 如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 三、解答题（102分） 17. 计算、解不等式 （1） （2） 18. 如图，在中，． （1）用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) （2）若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． （1）在图①中，作的角平分线； （2）在图②中，作的角平分线； （3）在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 20. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周长. 21. 如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 22. 如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： （1）； （2）． 23. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，若，，则的长为 ． 25. 【情境建模】 （1）已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 26. 已知，是等边边上的点． （1）如图1，过点作，且交于点，求证：； （2）如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； （3）如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $