精品解析：江苏南京市江宁区南京东山外国语学校2026-2027学年八年级上学期巩固练习三数学试题

八年级上数学巩固练习（三） 一．选择题（共6小题） 1. 下列关于平方根、算术平方根和立方根的说法正确的是（ ） A. 任何实数都有且只有1个立方根 B. 任意一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C. 只有正数有算术平方根 D. 正数的平方根大于其立方根 【答案】A 【解析】 【分析】结合立方根、平方根、算术平方根的性质验证各选项． 【详解】解：A、任意实数都有且只有1个立方根， 原说法正确，符合题意； B、负数没有算术平方根和平方根；0的算术平方根与平方根都只有1个；正数有2个平方根，1个算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、0的算术平方根是0，即0也有算术平方根，原说法错误，不符合题意； D、正数的平方根有2个，其中负平方根小于其立方根， 原说法错误，不符合题意． 2. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，结合两个三角形全等，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个三角形全等， ∴， ∴， 故选：D． 3. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 4. 如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵是的一条角平分线， ∴∠ABD=∠EBD， A.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意； B.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； C.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 5. 如图，已知点D为内一点，平分，，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=6，BC=4，即可推出BD的长度． 【详解】解：延长BD与AC交于点E， ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=6，BC=4， ∴CE=4， ∴AE=AC-EC=6-4=2， ∴BE=2， ∴BD=1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 6. 如图，中，，，D是斜边的中点，E是直角边上一动点，连接交于F，过F作交的延长线于点G，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，故①正确；由余角的性质可得，由三角形内角和定理可得，故②正确；先证，可得，再证，可得，故③正确；当点F与点D重合时，点E与点C重合，点G与点A重合，则，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图，过点F作于Q，于P， ∵D是的中点，， ∴平分，， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 当点F与点D重合时，点E与点C重合，点G与点A重合， 则，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 7. 的平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 8. 如图，△ABD≌△ABC，∠C=100，∠ABD=30，那么∠DAB=_____. 【答案】50 【解析】 【详解】【分析】要求∠DAB的度数，只要求出∠DAB+∠D，利用全等三角形的对应角相等，求出∠D的大小利用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】∵△ABC≌△ABD，∠C=100°，∠ABD=30°， ∴∠D=∠C=100°， 又∵∠ABD=30°， ∴∠DAB=180°-∠D-∠ABD=180°-100°-30°=50°， 故答案为50. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键. 9. 如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，，，即可得到答案. 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是根据题意找到三角形全等的条件． 10. 如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F．若，则线段的长度为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明，再根据全等三角形的性质可得，即可算出的长． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 11. 如图，在中，，，，垂足为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，，再由含角的直角三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形内角和的知识，解题的关键是分类讨论垂直平分线的位置，根据等边三角形的性质，三角形的内角和，进行解答，即可． 【详解】解：∵等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为， ∴当是的垂直平分线（图），， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 当是的垂直平分线（图），， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； 故答案为：或． 13. 如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是___________． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明， 得到，；求出 的度数，证明，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， 平分，  ， 在和中 ， ， ，  ，；  ， ； ，  ， ∴． 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，，为的中点，与相交于点．若，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，，从而可得，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 【答案】1 【解析】 【分析】取AC的中点G，根据等边三角形的性质可得CD=CG，根据旋转的性质可得CE=CF，再求出∠DCE=∠GCF，然后利用“边角边”证明△DCE和△GCF全等，推出∠FGC＝∠EDC＝90°，得到点F在直线BG上运动，作DH⊥BG， DF的最小值即为DH． 【详解】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠GCF， 在△CDE和△CGF中， ， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 作DH⊥BG， DF的最小值即为DH， ∵BD2，， ∴DH＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上． （1）画出的边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为________； （4）以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3）5 （4）3 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定，三角形高，中线的概念，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过B作于D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式即可得到答案． （4）根据全等三角形的判定和网格的特点作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 如图，以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有3个． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】 证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 19. 如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 【答案】 证明：如图，连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DC， ∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC ∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°， ∴Rt△BDG≌Rt△CDH， ∴BG=CH． 【解析】 【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC；依据角平分线的性质可得DG=DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 20. 证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 已知：　　； 求证：　　； 证明过程： 【答案】 已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 求证：BC=AB， 证明： 延长BC到D，使CD=BC，连接AD， ∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BD， ∴AD=AB， ∵∠ACB=90°，∠C=30°， ∴∠B=60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴BD=AB， ∵BC=CD=BD， ∴BC=AB. 【解析】 【分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 21. 如图，在中，点在边上，，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】（1）证明， 在与中， （2）证明：如图， 即过点的直线垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等，进而推导线段垂直平分线的条件． （1）证明，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB． （1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明； （2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解： ，理由如下：如下图1，连接CM， AB＝AC， D是BC中点， AD垂直平分线段CD，即 ， BM=CM， ME＝MB， BM=CM=ME， ，， ， ； （2） 解： ，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG， AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°， ， AG=AM， 是等边三角形， AG=AM=MG，， ， 在和中， ， ， EG=AE+AG，AG=AM， AB=AM+AE． 【解析】 【分析】（1）连接CM，由AB＝AC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD， ，从而有BM=CM=ME，于是得，，即可得； （2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明 ，即可证明AB=AM+AE， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键． 23. 如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． （1）求证：； （2）如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）； 证明：如图， ∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先证明，再证明，可利用定理判定，进而得到； （2）方法与（1）类似，证明，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 尺规作图 （1）在边上找一点，使的周长等于 （2）在边上找一点，使得 【答案】（1）如图，点即为所求， （2）如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求． 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ∴的周长等于； 【小问2详解】 解：作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】 （1）解：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， 即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°， ∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠MDC， ∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC， ∴CA=CM+AM=CD+CE； 即CD+CE=CA. （3）∠EAF= 【解析】 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上数学巩固练习（三） 一．选择题（共6小题） 1. 下列关于平方根、算术平方根和立方根的说法正确的是（ ） A. 任何实数都有且只有1个立方根 B. 任意一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C. 只有正数有算术平方根 D. 正数的平方根大于其立方根 2. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点D为内一点，平分，，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 2.5 6. 如图，中，，，D是斜边的中点，E是直角边上一动点，连接交于F，过F作交的延长线于点G，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（共10小题） 7. 的平方根是________ 8. 如图，△ABD≌△ABC，∠C=100，∠ABD=30，那么∠DAB=_____. 9. 如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是 _____． 10. 如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F．若，则线段的长度为________． 11. 如图，在中，，，，垂足为，若，则_____． 12. 等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为______． 13. 如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是___________． 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 15. 如图，，为的中点，与相交于点．若，则的度数是___________． 16. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 三．解答题（共9小题） 17. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上． （1）画出的边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为________； （4）以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 19. 如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证：BG=CH． 20. 证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 已知：　　； 求证：　　； 证明过程： 21. 如图，在中，点在边上，，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB． （1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明； （2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明． 23. 如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． （1）求证：； （2）如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 24. 尺规作图 （1）在边上找一点，使的周长等于 （2）在边上找一点，使得 25. 【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $