第4章 《一元一次方程》 单元自测卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4章《一元一次方程》单元自测卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是（　　） A． B．1 C． D．6 6．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 7．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则“△”处应填的整式为（    ） A． B． C． D． 8．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 10．一个商人把一件连衣裙标价为640元，经工商人员核价，降至60元出售，仍可获利，若按原标价出售，则一条裙子可获利_______元． 11．关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 12．如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 13．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是_______天． 14．已知在数轴上有一点，将点向右移动3个单位得到点，点向右移动5个单位得到点，点分别表示有理数．若三个数的乘积为正数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值是___________． 15．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 16．若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ___． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 19．（6分）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 20．（6分）定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 21．（6分）为迎接东亚运动会我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲、乙两队合作一天，可完成总工作量的． (1)甲队一天可完成总工作量的_____； (2)乙队单独完成这项工程需要多少天? (3)已知每天需付甲队工程款与每天需付乙队工程款之比为．若该工程由甲队先做20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲乙两队的工程款共计360万元，求每天需付甲乙工程款各多少万元？ 22．（8分）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（温馨提示：仔细看图，玻璃桶高，桶内液面原来高度为） (1)放入一个小球水面升高___________，放入一个大球水面升高___________； (2)如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 23．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 24．（8分）为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 25．（10分）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． 26．（10分）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，为原点，表示的数是为线段的中点，表示的数是12，D表示的数是18，将点向右移动4个单位长度得点．如图2，我们将数轴在点、点、点和点处均可折一次，可折后处于水平位置．线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点从点出发以相同速度沿着“弯折数轴”向左运动，当点运动到点后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置保持初始速度不变．当点运动到点时，两个点同时停止运动．设运动时间为秒．问： (1)点从点运动到点用时__________秒； (2)在运动过程中，当为何值时点与点在点处相遇？并求出点在数轴上对应的数； (3)在点从点O运动到点C的过程中，是否存在某一时刻，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离？若存在，请求出所有的值，并把求的过程写出来；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．A 一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程． 依次判断各选项： 选项：，满足三个条件，是一元一次方程； 选项：，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件； 选项：，含有和两个未知数，不满足条件； 选项：，未知数的最高次数为，不满足条件； 故选． 2．D 解：对于A，∵，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，∴应为，故A错误． 对于B，∵，等式两边同时加得，只有时才有，故B错误． 对于C，∵，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，故C错误． 对于D，∵，，等式两边同乘可得，故D正确． 3．A 解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 4．D 解：∵， ∴， 解得：． 5．A 解：将代入原方程，得 解得， 故选：A． 6．A 解：解方程，得． 验证甲的说法：当时，， 代入左边，右边， 左边=右边，故甲的说法正确； 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且为正整数， ∴，解得， ∴的可能取值为1，2，3． 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数； 当时，，不是正整数； 当时，，不是正整数； ∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确． 综上，甲、乙都正确， 故选：A． 7．B 解：如图： 由得：， 由得：； 故选：B． 8．B 解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 二、填空题 9． 解：∵ 为一元一次方程， ∴且， ∴， 将，代入，得：， 解得：. 10．590 解：设该连衣裙的成本为元， 根据题意，得， 解得， 则按原标价出售可获利为（元）． 11．3 解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 12．6 解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 13．9 解：设计划生产的天数为x天． 根据题意，得， 去括号得， 移项得， 合并得， 解得． 故答案为：9． 14．或 解：根据题意可得，，三个数的和， 当时，，解得， 此时，，，乘积，符合题意； 当时，，解得， 此时，，，乘积，符合题意； 当时，，解得， 此时，，，乘积，不符合题意； 故的值为或． 故答案为：或． 15．或 解：①如图1， 当在上时， 的面积等于， ， ； ②当在上时，如图2， 的面积等于， ， ， ； ③当在上时，如图3， ， ，而，，不符合题意，舍去； 故答案为：或6． 16．2 解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 三、解答题 17．（1）解： ； （2）解： ． 18．解：， ， 解得， 与方程的解相同， 也是方程的解， ， ， 解得． 19．（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得       解得：， 则， 答：购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个。 （2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ， 根据题意，得， 解得，     答：“乐融融”玩偶打折前卖出30个． 20．（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 21．（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， 答：乙队单独完成这项工程需要90天． （3）解：设甲、乙两队合作了天， 根据题意得：，解得． 设每天需付甲乙工程款分别为万元、万元， 根据题意得： ， 解得， ∴，， 答：每天需付甲队工程款6万元；每天需付乙队工程款4万元． 22．（1）解：设一个小球使水面升高，由图得：， 解得：． 设一个大球使水面升高，由图得， 解得：． 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球m个，则小球个，由题意得： ， 解得：． 答：应放入大球5个，小球5个． 23．（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． 24．（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 25．（1）解：由图形可得：，， 两个完全相同的长方形、， ， 长方形的面积是； 故答案为：12； （2）设点P在数轴上表示的数是x， 则，， 因为， 所以， 解得， 答：点P在数轴上表示的数是； （3）①整个运动过程中，S的最大值是， 当点B与F重合时，，解得：， 当点A与E重合时，，解得：， ， 整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是秒； ②由题意知移动t秒后， 情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 综上所述，当S是长方形面积一半时，或．分 26．（1）解：点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，点为原点，点表示的数是为线段的中点，点表示的数是12， ∴ ， ∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动, 动点下坡时候的速度是初始速度的2倍， ∴下坡时候的速度是每秒2个单位长度 则（秒）； ∴点从点运动到点用时15秒． （2）解：依题意，点B表示的数是6， ∵表示的数是12，D表示的数是18，将点向右移动4个单位长度得点． ∴，， ∵动点下坡时候的速度是初始速度的2倍， ∴下坡时候的速度是每秒2个单位长度， 点运动从点E到点B处的时间是（秒）， 由（1）得点从点运动到点用时15秒． 当点停止不动时，已经从点掉头，且在线段上停止，与点的距离为， 故他们相遇的点P在线段上， 则， ∴，， ∴， ∴， 解得； 此时相遇点 P对应的数是 ； （3）解：存在秒或秒，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离，过程如下： 依题意，点到点B的运动时间是（秒），点到点的运动时间是（秒）， 当点在上时，点在时， 即， 如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； 点运动从点E到点B处的时间是（秒）， 当点在上时，点在时，且点还没到点， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴无解； 当从点掉头，且没停止运动，如图所示： 此时， ∴， ∵ ∴ ∴（秒） 综上：秒或秒，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离． 学科网（北京）股份有限公司 $