第5讲 一元二次方程综合 课后练习 （学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

【课时练】-一元二次方程综合-基础-教师版 一、单选题 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程 ，得 ，，， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根． 二、填空题 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． 5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【分析】当时，方程有两个相等的实数根，据此列方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 6．已知实数、满足，（），则的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得,可看作方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，， ，可看作方程的两个实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，，， ． 三、解答题 7．解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图． 解： 所以或 所以， (1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由． (2)选择正确的方法解方程：． 【答案】(1)不是方程的解，理由见解析 (2)， 【分析】（1）把代入方程验证即可； （2）整理后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； （2）解：， ， ， ， ，． 8．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：∵， 整理得：， ∴， ∴， ∴，. 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课时练】-一元二次方程综合-拔高-学生版 一、单选题 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 3．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 三、解答题 4．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 5．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 6．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 7．阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 8．【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是4． (1)【类比运用】当时，求代数式的最小值． (2)【拓展应用】已知实数，满足，求代数式的最小值． 9．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课时练】-一元二次方程综合-基础-学生版 一、单选题 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 二、填空题 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 6．已知实数、满足，（），则的值为______． 三、解答题 7．解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图． 解： 所以或 所以， (1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由． (2)选择正确的方法解方程：． 8．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课时练】-一元二次方程综合-拔高-教师版 一、单选题 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 二、填空题 3．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 三、解答题 4．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 5．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 6．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 7．阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 8．【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是4． (1)【类比运用】当时，求代数式的最小值． (2)【拓展应用】已知实数，满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用配方法可得，再仿照题意求解即可； （2）根据题意可得，则可推出，根据求出x的取值范围，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，取得最小值，最小值为4； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴代数式的最小值为． 9．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $