第5讲 全等三角形辅助线 课后练习 （学生版+教师版）2026-2027学年人教版八年级数学上册

【课后练】基础-全等三角形辅助线-解析版 一、单选题 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，    ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 二、填空题 2．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 【答案】③⑤⑥ 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误； 延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确,④错误；因为，所以，可判断⑤正确；由，且，得，可判断⑥正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等， 故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴ 故③正确，⑤正确，④错误； ∵， ∴， 故⑥正确， 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 三、解答题 3．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵D是边的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 4．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 5．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，理由见解析． 【分析】因为是的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段，使，证明， ，这样就把、与线段转化到了中，利用两边之和大于第三边可证． 【详解】答：； 证明：延长到，使，连结、 ∵是的中点， ∴ 又∵ 在和中 ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC+CD． 【答案】见解析 【分析】连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H，由题意易得∠DAF＝∠EAF，FH＝FD，进而可证△FHE≌△FCE，然后根据三角形全等的性质及线段的等量关系可求证． 【详解】证明：连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H， ∵AF平分∠DAE，∠D＝90°，FH⊥AE， ∴∠DAF＝∠EAF，FH＝FD， 又∵DF＝FC＝FH，FE为公共边， ∴△FHE≌△FCE（HL）． ∴HE＝CE． ∵AE＝AH+HE，AH＝AD＝CD，HE＝CE， ∴AE＝EC+CD． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质得到三角形的全等，然后根据全等三角形的性质及线段的等量关系即可求解． 7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC， （1）若BD⊥CD，∠C=60°，BC=10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°． 【答案】（1）AD=5；（2）证明见解析； 【分析】(1)由“在直角三角形中， 30°所对的直角边是斜边的一半”可得，CD=BC=5，再由AD=DC，可求出AD的长. （2）先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD, 根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C． 由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°． 【详解】（1）∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∵∠C=60°， ∴∠DBC=30°， 又BC=10， ∴CD=BC=5， 即AD=DC=5. （2）证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示, ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴AD=ED,∠A=∠BED． ∵AD=CD， ∴ED=CD， ∴∠DEC=∠C． ∵∠BED+∠DEC=180°， ∴∠A+∠C=180°． 【点睛】本题主要考查含有30°角的直角三角形的边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握含有30°角的直角三角形的边的关系以及全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. 8．如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，然后进行计算即可； （2）作交的延长线于M，证明，可得，根据平行线的性质求出，可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，作交的延长线于M． ∵， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-全等三角形辅助线-解析版 一、单选题 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，    ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 二、填空题 2．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 【答案】③⑤⑥ 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误； 延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确,④错误；因为，所以，可判断⑤正确；由，且，得，可判断⑥正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等， 故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴ 故③正确，⑤正确，④错误； ∵， ∴， 故⑥正确， 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 三、解答题 3．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵D是边的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 4．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形中的倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 5．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，理由见解析． 【分析】因为是的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段，使，证明， ，这样就把、与线段转化到了中，利用两边之和大于第三边可证． 【详解】答：； 证明：延长到，使，连结、 ∵是的中点， ∴ 又∵ 在和中 ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC+CD． 【答案】见解析 【分析】连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H，由题意易得∠DAF＝∠EAF，FH＝FD，进而可证△FHE≌△FCE，然后根据三角形全等的性质及线段的等量关系可求证． 【详解】证明：连接FE，过点F作FH⊥AE交AE于点H， ∵AF平分∠DAE，∠D＝90°，FH⊥AE， ∴∠DAF＝∠EAF，FH＝FD， 又∵DF＝FC＝FH，FE为公共边， ∴△FHE≌△FCE（HL）． ∴HE＝CE． ∵AE＝AH+HE，AH＝AD＝CD，HE＝CE， ∴AE＝EC+CD． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据正方形的性质得到三角形的全等，然后根据全等三角形的性质及线段的等量关系即可求解． 7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC， （1）若BD⊥CD，∠C=60°，BC=10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°． 【答案】（1）AD=5；（2）证明见解析； 【分析】(1)由“在直角三角形中， 30°所对的直角边是斜边的一半”可得，CD=BC=5，再由AD=DC，可求出AD的长. （2）先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD, 根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C． 由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°． 【详解】（1）∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∵∠C=60°， ∴∠DBC=30°， 又BC=10， ∴CD=BC=5， 即AD=DC=5. （2）证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示, ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴AD=ED,∠A=∠BED． ∵AD=CD， ∴ED=CD， ∴∠DEC=∠C． ∵∠BED+∠DEC=180°， ∴∠A+∠C=180°． 【点睛】本题主要考查含有30°角的直角三角形的边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握含有30°角的直角三角形的边的关系以及全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. 8．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 9．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 10．如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，然后进行计算即可； （2）作交的延长线于M，证明，可得，根据平行线的性质求出，可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，作交的延长线于M． ∵， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-全等三角形辅助线-学生版 一、单选题 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 二、填空题 2．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 三、解答题 3．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 4．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 5．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 6．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC+CD． 7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC， （1）若BD⊥CD，∠C=60°，BC=10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°． 8．如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-全等三角形辅助线-学生版 一、单选题 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 二、填空题 2．如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号） 三、解答题 3．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 4．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 5．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 6．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC+CD． 7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC， （1）若BD⊥CD，∠C=60°，BC=10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°． 8．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 9．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 10．如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $