专题6 全等三角形重要模型的捕捉、构造及解题思路 专项练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形六大核心模型，通过“捕捉-构造”双维度训练，系统提炼旋转、截长补短等辅助线技巧，形成从模型识别到综合应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三等角|1典例+5变式|一线三垂直特例迁移，构造等角证全等|从特殊垂直模型到一般等角构造，强化几何直观| |手拉手|1典例+4变式|共顶点等腰三角形旋转，SAS证全等|以顶角相等为核心，构建旋转全等推理能力| |半角模型|1典例+2变式|旋转或截长补短转化倍分角|通过角变换培养模型观念，提升问题转化能力| |婆罗摩笈多|1典例+2变式|垂直条件下K字模型构造|结合垂直与中点，深化空间观念与推理意识|

专题6 全等三角形重要模型的捕捉、构造及解题思路 第一部分 全等三角形中的重要模型 类型一 一线三等角模型的捕捉 类型二 一线三等角模型的构造 类型三 手拉手模型的捕捉 类型四 手拉手模型的构造 类型五 半角模型的识别与解题思路 类型六 婆罗摩笈多模型的识别与解题思路 第二部分 典例+变式训练 类型一 一线三等角模型的捕捉 【典例1】【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝2，则EF的长度为 　 　． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC和AC上一点，AD＝DE，AB＝9，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE＝∠B＝∠C，CD＝3BD，则CE的值为 　 ． 3．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：BE＝CF； ②如图2，若∠α+∠BCA＝180°，探索三条线段EF、BE、AF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 类型二 一线三等角模型的构造 4．【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 (2)如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 (3)如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 【变式训练】 1．在直角坐标系中，点，是以OP为直角边的等腰直角三角形，那么点的坐标为__________． 2．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：； (2)如图，若，，求点的坐标（用含的式子表示）． (3)如图，点，、两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 5．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 类型三 手拉手模型的捕捉 【典例3】综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，已知AB⊥AC于点A，AD⊥AE于点A，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）∠B的度数为 　 　． 3．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 4．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 类型四 手拉手模型的构造 【典例4】探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝　 度； （3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E． （1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE； （2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系， 2．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 模型五 半角模型的识别与解题思路 【典例5】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【变式训练】 1．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 模型六 婆罗摩笈多模型的识别与解题思路 【典例6】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【变式训练】 1．如图，在锐角△ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列5个结论：①BE＝DC；②BE⊥DC；③AE＝EG；④∠DAG＝∠ABC；⑤S△ABC＝S△ADE．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC、BE，点P为DC的中点． （1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　 ，位置关系是 　 　； （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由； （3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝6，BC＝10，请直接写出线段AP长的取值范围． 第三部分 专题提优训练 1．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情景：如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，且，交于点． 实践探究： (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，请在图②补全图形，并直接写出，，之间的数量关系为； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，当点在边上，点在下方时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请证明． 3．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 4．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 5．【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 6．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 7．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）求证：DG＝AE； （3）猜想线段AF、BC的数量关系是 　 ，请说明理由． 9．如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 全等三角形重要模型的捕捉、构造及解题思路 第一部分 全等三角形中的重要模型 类型一 一线三等角模型的捕捉 类型二 一线三等角模型的构造 类型三 手拉手模型的捕捉 类型四 手拉手模型的构造 类型五 半角模型的识别与解题思路 类型六 婆罗摩笈多模型的识别与解题思路 第二部分 典例+变式训练 类型一 一线三等角模型的捕捉 【典例1】【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 【详解】（1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）略 （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝2，则EF的长度为 　2　． 【思路引领】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝2，进一步可得EF的长． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AF＝BE，AE＝CF， ∵BE＝4，CF＝2， ∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝2， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC和AC上一点，AD＝DE，AB＝9，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE＝∠B＝∠C，CD＝3BD，则CE的值为 　3　． 【思路引领】证明△ABD≌△DCE（AAS），得CD＝AB＝9，BD＝CE，再求出BD＝3，即可得出结论． 【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD＝9， ∴BD＝3， ∴CE＝BD＝3， 故答案为：3． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：BE＝CF； ②如图2，若∠α+∠BCA＝180°，探索三条线段EF、BE、AF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 【思路引领】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF即可； ②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可； （2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS得到△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可． 【解答】（1）①证明：∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠BEC＝∠AFC＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF； ②解：EF＝BE﹣AF． 证明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α+∠ACB＝180°， ∴∠CBE＝180°﹣∠BCE﹣∠α， ∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣∠α﹣∠BCE， ∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF； （2）解：EF＝BE+AF． 理由：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC＝∠ACF， 在△BEC和△CFA中， ， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∴AF＝CE，BE＝CF， ∵EF＝CE+CF， ∴EF＝BE+AF． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 类型二 一线三等角模型的构造 4．【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 (2)如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 (3)如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）证明，即可得解； （2）作于点，证明，得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）分三种情况：为直角边，，作直角边，，为斜边，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①当为直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当为斜边，时，如图，作高线，过作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，得， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或或． 【变式训练】 1．在直角坐标系中，点，是以OP为直角边的等腰直角三角形，那么点的坐标为__________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．分①当，②当，利用全等三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质求解即可． 【详解】解：①当，且点在第二象限时，过点P，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图， ∵，点， ∴， ∴， ∴，， ∴点N的坐标为； 若点在第四象限时，同理； ②当，且点在第二象限时，作轴于点D，作轴于点F，交直线于点E， ∵，点P的坐标为， 同理可证， ∴，， ∴，， ∴点N的坐标为； 当点在第四象限时，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 2．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：； (2)如图，若，，求点的坐标（用含的式子表示）． (3)如图，点，、两点均在轴上，且．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠AOC=90°， ∴， ∴； (2) (3)的长度不发生变化， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形综合、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等证明即可； （2）过点作轴于点，证明，得出，，求出，结合点在第三象限，即可得解； （3）过点作交轴于点，证明，得出，，再由三角形面积公式求出，证明得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴； （3）解：的长度不发生变化， 如图，过点作交轴于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点，． ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度始终是． 5．综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； (3) 证明：如图所示，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过点E作交的延长线于点H，证明，得到，，再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 模型三 手拉手模型的捕捉 【典例3】综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 【变式训练】 1．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得到，即可判断②；由②可得，即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， 即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共个． 2．如图，已知AB⊥AC于点A，AD⊥AE于点A，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）∠B的度数为 　45°　． 【思路引领】（1）根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等； （2）根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠D＝∠E； （2）解：∵AB⊥AC，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°． 故答案为：45°． 【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAE＝∠CAD是解题的关键，也是本题的难点． 3．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）①证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵， ； 5 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）①由，可得，BD，结合，可得，最后根据，可得结论；②在上截取，连接，先证明，可得，再证明，从而得到，那么有． 【详解】（1） 略 （2）① 略 如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 4．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 模型四 手拉手模型的构造 【典例4】探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝　180　度； （3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 【思路引领】（1）利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝60°，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明∠AEC＝120°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ADB＝∠AEC＝120°，进而得到答案； （3）在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，证明△ABH≌△ACE，得到∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，证明△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AE＝EH，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：（1）CE∥AB， 理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE＝60°， ∴AB∥CE； （2）∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∵∠AED＝60°，∠DEC＝60°， ∴∠AEC＝120°， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠ADB+∠ADE＝180°， 故答案为：180； （3）结论：BE＝AE+EC， 理由如下：如图3，在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝60°， ∵∠BEC＝60°， ∴∠BAO＝∠OEC＝60°， ∵∠AOB＝∠EOC， ∴∠ABH＝∠ACE， 在△ABH和△ACE中， ， ∴△ABH≌△ACE（SAS）， ∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE， ∴∠HAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AE＝EH， ∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC． 【总结提升】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键． 【变式训练】 1．△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E． （1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE； （2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系， 【思路引领】（1）首先在AC上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CA＝CD+CE； （2）首先在AC延长线上截取CM＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM＝EC，则可证得CA＝CE﹣CD． 【解答】证明：（1）在AC上截取CM＝CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°， ∴∠AMD＝120°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠MDC， ∴∠ADM＝∠EDC， ∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E， ∴∠ACE＝60°， ∴∠DCE＝120°＝∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ， ∴△ADM≌△EDC（ASA）， ∴AM＝EC， ∴CA＝CM+AM＝CD+CE； （2）CA＝CE﹣CD． 证明：在AC的延长线上截取CM＝CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCM＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°， ∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠ECD＝∠AMD， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠CDM， ∴∠ADM＝∠EDC， 在△ADM和△EDC中， ， ∴△ADM≌△EDC（ASA）， ∴AM＝EC， ∴CA＝AM﹣CM＝CE﹣CD． 【总结提升】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 模型五 半角模型的识别与解题思路 【典例5】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 【变式训练】 1．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 模型六 婆罗摩笈多模型的识别与解题思路 【典例6】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 【变式训练】 1．如图，在锐角△ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列5个结论：①BE＝DC；②BE⊥DC；③AE＝EG；④∠DAG＝∠ABC；⑤S△ABC＝S△ADE．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路引领】①由已知条件可证明△ADC≌△ABE，可得到CD＝BE； ②设BE和AC交于点R，可知∠AEB＝∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠ENC＝90°； ③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M，根据余角的性质得到∠H＝∠AFB，求得∠HDA＝∠BAF，证得△AHD≌△ABF，根据全等三角形的性质得到DH＝AF，同理EM＝AF，等量代换得到DH＝EM，根据全等三角形的性质的得到DG＝EG，当∠DAE＝90°时，AE＝EG，即可判断③； ④根据全等三角形的性质即可得到结论； ⑤根据S△ABC＝S△ABF+S△ACF，△AHD≌△ABF，△AEM≌△ACF，可得S△ADE＝S△ADG+S△EGM+S△AEM＝S△ADH+S△AEM，进而可得结论． 【解答】解：①∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠EAB， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE；故①正确； 设BE交AC于点R，CD，BE交于N如图1， 由①可知∠AEB＝∠ACD，且∠ARE＝∠NRC， ∴∠AER+∠ARE＝∠NCR+∠NRC， ∴∠ENC＝∠EAR＝90°， ∴BE⊥DC；故②正确； ③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M， ∵AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∴∠H＝∠AFB， ∵∠BAD＝90°， ∴∠HDA＝∠BAF， 在△AHD与△ABF中， ， ∴△AHD≌△ABF（AAS）， ∴DH＝AF， 同理△AEM≌△ACF（AAS）， ∴EM＝AF， ∴DH＝EM， 在△DHG与△EMG中， ， ∴△DHG≌△EMG（AAS）， ∴DG＝EG， ∴AG是△ADE的中线， 当∠DAE＝90°时，AE＝EG，故③错误； ④∵△AHD≌△ABF， ∴∠DAG＝∠ABC，故④正确； ⑤∵S△ABC＝S△ABF+S△ACF，△AHD≌△ABF，△AEM≌△ACF， ∴S△ADE＝S△ADG+S△EGM+S△AEM＝S△ADH+S△AEM， ∴S△ABC＝S△ADE.故⑤正确． 综上所述：①②④⑤，共4个． 故选：B． 【总结提升】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC、BE，点P为DC的中点． （1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　　，位置关系是 　AP⊥BE　； （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由； （3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝6，BC＝10，请直接写出线段AP长的取值范围． 【思路引领】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O． ∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE， ∵∠DAC＝90°，DP＝PC， ∴PA＝CD＝PC＝PD， ∴PA＝BE．∠C＝∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE， 故答案为：，AP⊥BE； （2）成立．，AP⊥BE． 理由如下： 延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O， ∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ， ∴△APD≌△JPC（SAS）， ∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP， ∴AD∥CJ， ∴∠DAC+∠ACJ＝180°， ∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ACJ， ∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ， ∴△EAB≌△JCA（SAS）， ∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE， ∵PA＝AJ， ∴PA＝BE， ∵∠CAJ+∠BAO＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE． （3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝6，BC＝10， ∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝5， 由（2）可知CJ＝AD＝3，∵AC＝5， ∴5≤AJ≤5， ∴2≤AJ≤8， ∵AJ＝2AP， ∴≤PA≤4． 【总结提升】本题考查几何变换的综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第三部分 专题提优训练 1．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 2．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情景：如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，且，交于点． 实践探究： (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，请在图②补全图形，并直接写出，，之间的数量关系为； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，当点在边上，点在下方时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)证明：如图，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； (2)，； (3)解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出，，即可得出结论； （3）同（1）的方法得出，，即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略． 3．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 5．【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 6．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 7．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为或． 【分析】（1）由“”可证可得，，据此计算即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求得，，据此求解即可； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：存在点Q，使得是等腰直角三角形， 如图，当点Q在第二象限内时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，当点Q在第三象限内时，过点作轴于，过点作交的延长线于， 同理， ∵， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 8．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）求证：DG＝AE； （3）猜想线段AF、BC的数量关系是 　BC＝2AF　，请说明理由． 【思路引领】（1）由平行线的性质可得出结论； （2）证明△ADG≌△BAC（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝AC；AG＝BC，则可得出结论； （3）证明△AEF≌△GDF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝GF＝AG＝BC，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DAB＝90°，AE∥BC， ∴∠CAE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠B＝∠BAE， ∴∠DAC＝90°﹣∠BAC＝∠BAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）证明：∵AG⊥DG， ∴∠AGD＝∠ACB＝90°， 在△ADG和△BAC中， ， ∴△ADG≌△BAC（AAS）， ∴DG＝AC，AG＝BC， ∵AC＝AE， ∴DG＝AE； （3）解：BC＝2AF． 理由： 在△AEF和△GDF中， ， ∴△AEF≌△GDF（AAS）， ∴AF＝GF＝AG＝BC， ∴BC＝2AF． 故答案为：BC＝2AF． 【总结提升】本题是三角形综合题，考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，证明△ADG≌△BAC是解题的关键． 9．如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)结论．                         证明：如图，延长到点G，使，连接．      在和中， ， ，                                   ， ，                                             又， ，                                   ． (2) 【分析】（1）如图，延长到点G，使，连接，证出，根据全等三角形的性质得出，再证明得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在上截取，使，连接，利用（1）的思路解答即可． 【详解】（1）解：结论．证明略． （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $