第16讲 分式方程的应用 课后练习（学生版+教师版）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦分式方程应用，以基础理解与综合应用分层，通过单一到多情境问题设计，强化模型意识与应用能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|分式方程建模基础（行程、工程、频率等单一情境）|选择填空为主，直接套用公式，培养模型意识| |综合应用层|多情境综合应用（成本利润、工程与费用结合等）|解答题为主，多步骤分析等量关系，体现推理能力与应用意识|

【课后练】拔高-分式方程的应用-学生版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（   ） A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B．高铁列车的平均速度为100千米/时 C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 二、填空题 4．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 5．小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出200条，将每条鱼做出记号放入水中，它们充分混入鱼群后，又捞出200条，若带有记号的鱼有5条，其鱼池中估计有鱼 条． 6．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 三、解答题 7．解分式方程： (1)； (2)． 8．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 9．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 10．综合与实践 问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米． 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3：燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)每年行驶里程为多少千米时，两种车的年费用一样？（年费用年行驶费用年其它费用） 11．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 12．列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 13．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 14．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 15．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 16．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 17．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 18．已知关于x的方程． (1)若方程有增根，则x的值为（   ） A．        B．0        C．1        D．2 (2)若方程无解，求a的值． 19．已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 20．解方程： (1)； (2) 21．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 22．为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 23．两江育才中学举办校园创造节，学生社团为丰富活动内容、展示实践成果，准备了一批手工文创产品用于现场交流售卖（收益将用于公益捐赠）．社团花费650元，制作并筹备了手工彩绘书签和创意布艺笔袋共计50件．据悉，手工彩绘书签的成本价为10元/件，创意布艺笔袋的成本价为15元/件． (1)求手工彩绘书签、创意布艺笔袋各筹备了多少件？ (2)创造节当天，该社团上午售出手工彩绘书签和创意布艺笔袋共25件，总销售额达到390元．其中，手工彩绘书签的销售额为120元，已知每件手工彩绘书签的售价是每件创意布艺笔袋售价的，求一件手工彩绘书签和一件创意布艺笔袋的售价分别是多少元？ 24．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 25．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 26．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 27．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 28．已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 29．某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 30．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-分式方程的应用-教师版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程．实际施工效率比原计划提高了，即实际每天施工长度为米．原计划施工天数为天，实际施工天数为天，实际比原计划提前15天完成，因此实际天数等于原计划天数减15天，由此列出方程．即可作答． 【详解】解：∵计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，且设原计划每天改造管网x米 ∴， 故选：B 2．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 3．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 【答案】1000 【分析】本题考查了利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到 ，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得 ， 解得， 所以估计鱼塘中有鱼条． 故答案为：． 4．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元，根据“若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍”可列出分式方程，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元， 依题意，得：． 故选：B． 5．青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【答案】（合理即可） 【分析】本题考查了列分式方程，施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装；据此即可求解； 【详解】解：施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装； 由题意得：， 故答案为： 6．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；由题意知原来有人，根据等量关系：每个同学比原来多摊了3元车费，列出分式方程即可． 【详解】解：设实际参加游览的同学共有x人， 根据题意得：． 故选：A． 7．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 (2)13500 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． 【详解】（1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 8．下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（   ） A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B．高铁列车的平均速度为100千米/时 C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是理解路程、速度、时间的关系，并通过方程求解，小明的方程中未知数是普通列车的速度，小红的方程中未知数是高铁的时间；通过求解方程可得普通列车时间为14小时，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：小明的方程为，根据时间路程速度，可得表示乘普通列车从甲地到乙地的时间，表示乘高铁从甲地到乙地的时间，故表示普通列车速度，故A错误； 解方程可得，故高铁列车的平均速度为千米/时；故B错误； 小红的方程为，其中表示乘高铁列车从甲地到乙地的速度，表示乘普通列车从甲地到乙地的速度，故小红假设的未知数是搭乘高铁列车从甲地到乙地的时间，故C错误； 解可得：， ∴，即普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时，故D正确； 故选：D． 9．为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽．已知该道路拓宽后汽车平均提速，汽车行驶与拓宽前汽车行驶所用时间相同，求道路拓宽后汽车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设道路拓宽后汽车的平均速度为，则拓宽前速度为．根据时间相等列出方程求解即可． 【详解】解：设道路拓宽后汽车的平均速度为，则拓宽前汽车的平均速度为， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴道路拓宽后汽车的平均速度为． 10．雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地．甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶．若乙的车速是每小时千米，甲的车速是乙的倍，结果甲比乙早到15分钟．根据题意可以列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键． 设乙车速为千米／小时，则甲车速为千米／小时，根据甲比乙早到15分钟列出方程即可． 【详解】解：由题意得，即 故选：D． 11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 12．“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查的知识点是分式方程的应用(行程问题)，通过设未知数，根据时间关系建立方程求解，涉及到路程、速度、时间的关系(时间路程速度)，属于行程问题中的同地不同时出发且同时到达的情况． 【详解】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 13．倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【答案】(1)台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2)； (3)购买型台，型台． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； （2）解：依题意得：， 整理得：； （3）解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立， 解得：， 答：购买型台，型台． 14．太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系：原计划时间减去实际时间等于提前天数． 根据工作时间工作总量工作效率，结合实际提前10天完成任务，列出关于x的分式方程． 【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天修路公里． 则原计划完成时间天， 实际完成时间天， ∵提前10天完成， ∴． 故选：C． 15．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 16．为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】(1)甲队每天施工千米，乙队每天施工千米 (2)千米 【分析】本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． （2）解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 17．施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米．根据提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 18．为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 【答案】 【分析】先分别求出原来每天的用水量和现在每天的用水量，然后通过作差得出现在每天比原来少用水的量，涉及分式的运算． 【详解】解：①计算原来每天的用水量 ： 原来天用水吨，所以原来每天的用水量为吨． ②计算现在每天的用水量： 现在这些水可多用天，总天数为天，因此现在每天的用水量为吨． ③求现在每天比原来少用的水量： 差值为原来每日用水量减去现在每日用水量：． 化简：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题关键是根据题意分别表示出原来和现在每天的用水量，再进行分式的减法运算． 19．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2)该超市最多购进B型文具袋个； 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； 【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 20．某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元． (1)求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？ (2)该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了元，猫粮的进价每袋降低了元．若用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，求的值． 【答案】(1)每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出分式方程和二元一次方程组，是解题的关键： （1）设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是元和元，根据购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元，列出方程组进行求解即可； （2）根据用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，列出分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是元和元， 由题意，得：， 解得； 答：每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元； （2）解：由题意，得， 解得； 经检验，是原方程的解， 故． 21．2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元 (2)A种商品至少购进10件 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键． （1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价． （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量． 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； （2）解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 22．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】(1)每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 (2)a的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； （2）解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 23．列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 【答案】(1) 制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根 (2) 每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系正确列出分式方程． （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式即可得出塑料管的单价，小球的单价． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根， 由题意，得， 解得， 则， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原方程的解， 则（元）， 答：每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个． 24．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)16万元，14万元 (2)20万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元，根据题意列出方程，解方程即可． （2）设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． （2）解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 25．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 26．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 27．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 28．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 29．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 30．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【答案】A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B款套装的单价是元，根据“用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元． 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元． 31．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据调和数的定义，由题意，；即可求解； 【详解】解：由题意，； 解得：； 经检验， 是原方程的根，且满足； 故答案为： 32．新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该车间有名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 33．小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出200条，将每条鱼做出记号放入水中，它们充分混入鱼群后，又捞出200条，若带有记号的鱼有5条，其鱼池中估计有鱼 条． 【答案】8000 【分析】本题考查了用样本估计总体，分式方程的应用，设鱼池中估计有鱼条，根据题意列出方程求解即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设鱼池中估计有鱼条，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：8000． 34．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 【答案】(1)甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒 (2)甲软件优化前解一个方程用12秒，优化后用秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒， 根据题意，得 解得， 所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒； （2）解：设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒， 在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为 根据题意，得， 所以 即 解得 检验：是原分式方程的解， 所以优化前用12秒，优化后用秒． 35．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 36．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 【答案】50万片 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原来一台机器日产口罩x万片，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原来一台机器日产口罩x万片， 根据题意，得 解得 经检验：原分式方程的解． 答：原来一台机器日产口罩50万片． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-分式方程的应用-学生版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 4．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 6．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 8．下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（   ） A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B．高铁列车的平均速度为100千米/时 C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 9．为方便城市交通顺畅，某条道路被规划拓宽．已知该道路拓宽后汽车平均提速，汽车行驶与拓宽前汽车行驶所用时间相同，求道路拓宽后汽车的平均速度． 10．雪峰山苏宝顶海拔1934米，素有“湖南的青藏高原”之美名，是湖南省知名的避暑、旅游、登山、科考胜地．甲乙两人分别驾车同时从山脚出发驶往30千米外的苏宝顶．若乙的车速是每小时千米，甲的车速是乙的倍，结果甲比乙早到15分钟．根据题意可以列出的方程是（   ） A． B． C． D． 11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 12．“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 13．倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 14．太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 15．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 16．为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 17．施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 18．为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 19．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 20．某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元． (1)求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？ (2)该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了元，猫粮的进价每袋降低了元．若用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，求的值． 21．2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 22．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 23．列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 24．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 25．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 26．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 27．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 28．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 29．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 30．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 31．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 32．新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 33．小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出200条，将每条鱼做出记号放入水中，它们充分混入鱼群后，又捞出200条，若带有记号的鱼有5条，其鱼池中估计有鱼 条． 34．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 35．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 36．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-分式方程的应用-教师版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系：原计划时间减去实际时间等于提前天数． 根据工作时间工作总量工作效率，结合实际提前10天完成任务，列出关于x的分式方程． 【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天修路公里． 则原计划完成时间天， 实际完成时间天， ∵提前10天完成， ∴． 故选：C． 2．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 3．下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（   ） A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B．高铁列车的平均速度为100千米/时 C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是理解路程、速度、时间的关系，并通过方程求解，小明的方程中未知数是普通列车的速度，小红的方程中未知数是高铁的时间；通过求解方程可得普通列车时间为14小时，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：小明的方程为，根据时间路程速度，可得表示乘普通列车从甲地到乙地的时间，表示乘高铁从甲地到乙地的时间，故表示普通列车速度，故A错误； 解方程可得，故高铁列车的平均速度为千米/时；故B错误； 小红的方程为，其中表示乘高铁列车从甲地到乙地的速度，表示乘普通列车从甲地到乙地的速度，故小红假设的未知数是搭乘高铁列车从甲地到乙地的时间，故C错误； 解可得：， ∴，即普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时，故D正确； 故选：D． 二、填空题 4．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数， 且． 由得， ； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 5．小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出200条，将每条鱼做出记号放入水中，它们充分混入鱼群后，又捞出200条，若带有记号的鱼有5条，其鱼池中估计有鱼 条． 【答案】8000 【分析】本题考查了用样本估计总体，分式方程的应用，设鱼池中估计有鱼条，根据题意列出方程求解即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设鱼池中估计有鱼条，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：8000． 6．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，根据分式方程的解为非负数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．先求解分式方程，得到解用 表示，根据解为非负数且分母不为零，得到 且 ；再解不等式组，第一个不等式解为 ，第二个不等式解为 ，根据解集为 ，得到 ；综合可得整数 为，，，． 【详解】解：分式方程 可化为 ，即 ， 两边乘 （），得 ， 解得 ， 又解为非负数，故 ，即 ， 且 ，故 ，即 ． 在不等式组中， 第一个不等式去分母得，，化简得 ； 第二个不等式解得 ，， 解集为 ， ． 综上，整数 满足 且 ，即 ． 故答案为：，，，． 三、解答题 7．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为分式方程的增根即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为分式方程的增根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 8．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 (2)13500 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． 【详解】（1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 9．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】(1)每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 (2)a的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； （2）解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 10．综合与实践 问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米． 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3：燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)每年行驶里程为多少千米时，两种车的年费用一样？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次方程． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可； （3）根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得：， 答：每年行驶里程为时，两种车的年费用一样． 11．学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 12．列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 【答案】(1) 制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根 (2) 每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系正确列出分式方程． （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式即可得出塑料管的单价，小球的单价． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根， 由题意，得， 解得， 则， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原方程的解， 则（元）， 答：每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个． 13．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 14．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 15．科技兴趣小组分别编制了甲、乙两款人工智能软件． (1)用甲软件解5个同等难度方程的时间与用乙软件解2个同等难度方程的时间之和为90秒，用甲软件解3个同等难度方程的时间与用乙软件解4个同等难度方程的时间之和为96秒．求甲、乙两款软件解一个同等难度方程所用的时间各是多少秒？ (2)科技小组对甲款软轨件进行了算法优化，优化后的软件解同一个方程所用时间为优化前的，用时96秒时，优化后的软件所解方程的个数比优化前的软件多2个，求甲软件优化前与优化后解一个同等难度方程所用的时间分别是多少秒？ 【答案】(1)甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒 (2)甲软件优化前解一个方程用12秒，优化后用秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲软件解一个方程所用时间为x秒，乙软件解一个方程所用时间为y秒， 根据题意，得 解得， 所以甲软件解一个方程用12秒，乙软件用15秒； （2）解：设甲软件优化前解一个方程所用时间为t秒，则优化后所用时间为秒， 在96秒内，优化前软件解方程个数为，优化后为 根据题意，得， 所以 即 解得 检验：是原分式方程的解， 所以优化前用12秒，优化后用秒． 16．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 17．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？ 【答案】50万片 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原来一台机器日产口罩x万片，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原来一台机器日产口罩x万片， 根据题意，得 解得 经检验：原分式方程的解． 答：原来一台机器日产口罩50万片． 18．已知关于x的方程． (1)若方程有增根，则x的值为（   ） A．        B．0        C．1        D．2 (2)若方程无解，求a的值． 【答案】(1)AC (2)或或 【分析】． 本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）根据原分式方程有增根得出，计算即可得解； （2）将分式方程化为整式方程可得，再根据分式方程无解分情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有增根， ∴， ∴或， 故选：AC； （2）解：去分母可得：， 整理可得， ∵方程无解， ∴当整理后的整式方程无解是，解得， 当方程有增根时，此时或，即或， 解得：或， 综上所述，或或． 19．已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 20．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2） 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 21．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)16万元，14万元 (2)20万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元，根据题意列出方程，解方程即可． （2）设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． （2）解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 22．为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】(1)甲队每天施工千米，乙队每天施工千米 (2)千米 【分析】本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． （2）解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 23．两江育才中学举办校园创造节，学生社团为丰富活动内容、展示实践成果，准备了一批手工文创产品用于现场交流售卖（收益将用于公益捐赠）．社团花费650元，制作并筹备了手工彩绘书签和创意布艺笔袋共计50件．据悉，手工彩绘书签的成本价为10元/件，创意布艺笔袋的成本价为15元/件． (1)求手工彩绘书签、创意布艺笔袋各筹备了多少件？ (2)创造节当天，该社团上午售出手工彩绘书签和创意布艺笔袋共25件，总销售额达到390元．其中，手工彩绘书签的销售额为120元，已知每件手工彩绘书签的售价是每件创意布艺笔袋售价的，求一件手工彩绘书签和一件创意布艺笔袋的售价分别是多少元？ 【答案】(1)手工彩绘书签20件，创意布艺笔袋30件 (2)一件手工彩绘书签售价12元，一件创意布艺笔袋售价18元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）设筹备了手工彩绘书签件，创意布艺笔袋件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设一件创意布艺笔袋售价为元，则一件手工彩绘书签售价为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】（1）解：设筹备了手工彩绘书签件，创意布艺笔袋件， 由题意可得：，解得：， 故筹备了手工彩绘书签20件，创意布艺笔袋30件； （2）解：设一件创意布艺笔袋售价为元，则一件手工彩绘书签售价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意； ， 一件手工彩绘书签售价12元，一件创意布艺笔袋售价18元． 24．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 25．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 26．已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 27．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 28．已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 29．某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)60天 (2)414000元 【分析】本题主要考查了列分式方程解决工程问题，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据施工方案列出方程求解即可； （2）结合（1）中的甲、乙施工天数，求出合作施工天数，然后求解即可． 【详解】（1）解：设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 所以，这项工程的规定时间是60天； （2）解：所需天数为：（天）， ∴施工费用为：（元）， 所以，该工程施工费用是414000元． 30．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $