27.3实际问题与反比例函数（2大知识点+9大题型+分层训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理从实际情境（如行程、面积、物理压强与电学）中提取信息建立反比例函数模型的思路与“审设求写解”步骤，搭建从函数概念到实际应用的学习支架，连接函数与方程、不等式的综合转化。 该资料亮点在于跨学科建模与分层训练，通过物理做功、电流等实例培养数学眼光（抽象能力），结合图像解决综合题发展数学思维（推理能力），如节能小车耗电量问题强化模型意识。课中辅助教师引导建模，课后分层训练助学生查漏补缺，提升应用意识。

27.3实际问题与反比例函数 学习目标导航 1、跨学科建模：能从物理（如压强、电学）或实际生活情境中提取信息，建立反比例函数模型解决实际问题。 2、综合与转化：能将函数、方程、不等式进行相互转化，综合运用图象与性质解决较复杂的综合题。 3、反思与检验：在解决实际问题后，能自觉结合现实背景检验自变量取值范围及结果的合理性，培养严谨的应用意识。 洞悉◆教材核心知识 知识点01 实际问题与反比例函数 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点02 实际问题与反比例函数 类型 关系 公式 路程问题 当路程一定时，时间与速度成反比例 （是常数） 面积问题 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数） 三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （是常数） 物理应用问题 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数） 压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数） 电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数） 核心题型◆归纳 题型01 行程类反比例应用 题型02 工程类反比例应用 题型03 面积定值类几何实际问题 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 题型05 利用反比例解析式求实际最值 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 题型08 跨学科问题 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 行程类反比例应用 例1问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 题型02 工程类反比例应用 例2一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 题型03 面积定值类几何实际问题 例3．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 例4．广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 题型05 利用反比例解析式求实际最值 例5．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 例6．某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 【答案】 5 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，弄清题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 根据长方体体积公式，容积等于底面积乘以深度，由此可得底面积关于深度的函数解析式；当给定长和宽时，先计算底面积，再利用体积公式求深度。 【详解】解：由长方体体积公式，体积 ，其中 ， 所以 ，解得 ． 当蓄水池的长为 ，宽为 时，底面积 ． 由 ，代入 ，， 得 ，解得 ． 故答案为：，． 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 例7．某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 【答案】D 【分析】根据函数图象得出，即可判断A，B，C选项，将代入解析式，进而判断D选项，即可求解． 【详解】解：由图2可得 ∴电功率关于电阻的函数解析式为（），电功率是电阻的反比例函数 当电阻从增大到时，电风扇的电功率从减小到 若电风扇转速在中等档位时的电阻为， ，即此时电功率的大小为 综上所述，只有D选项正确． 题型08 跨学科问题 例8．某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 例9．近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元， 答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． ABC分层训练 1．已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解反比例函数的图象是解答关键． 根据矩形的面积公式求出，利用矩形的长和宽都是正数来确定反比例函数图象． 【详解】解：矩形的面积为5， 它的长与宽之间的关系：， ， 它是反比例函数，则和不符合题意． 因为矩形的长和宽都是正数， 所以反比例函数的图象只能在第一象限，故符合题意． 故选：D． 2．已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，明确经过两个电阻的电压相同是解题的关键．由题意得，经过两个电阻的电压相同，进而求解． 【详解】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故，即． 故选：D． 3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最少，丁瓶糖水中含糖固体质量最多，甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丙两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象下面，点丁在反比例函数图象上面， ∴乙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丁瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多， 故选: D． 5．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 6．老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】考查了根据实际问题列反比例函数关系式，清楚路程、速度、时间三者之间的关系对解答本题很重要．根据速度×时间=路程，可以求出甲地到乙地的路程；再根据行驶速度=路程÷时间，得到y与x的函数解析式． 【详解】解：由已知得：甲地到乙地的路程（千米），则 汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（）的函数关系式为：， 故答案为：． 7．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 8．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可． 【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数， ∴设 由图像可得： ∴ ∴ 当时， 故答案为： 9．为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 10．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值． 【详解】根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=， 由于点（0.2，500）在此函数解析式上， ∴k=0.2×500=100， ∴y=． 故选B． 11．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误， 再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B． 【详解】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小， ∴A，B错误， 设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50， ∴y=， 把y=2代入上式得：x=25， ∴C错误， 把x=50代入上式得：y=1， ∴D正确， 故选D. 12．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强与它的体积的乘积是一个常数，即（为常数，），下列图象能正确反映与之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 根据题意有：（为常数，），故与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义都大于，由此即可得． 【详解】解：∵（为常数，） ∴， 故选：C． 13．用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（ ） A．为定值，与成反比例 B．为定值，与成反比例 C．为定值，与成正比例 D．为定值，与成正比例 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【详解】解：当为定值时，2与的乘积是定值，所以 2与成反比例． 故选：B． 14．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）之间满足函数解析式ρ＝ （k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（　　） A．9 B．－9 C．4 D．－4 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】试题解析：由图象可知，函数经过点 反比例函数为： 解得： 故选A. 15．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象． 【详解】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20， ∴xy=10， ∴y是x的反比例函数， ∵2≤x≤10， ∴答案为A． 故选：A． 【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 16．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为：4 17．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 【答案】− 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 18．某中学要在校园内划出一块面积为100 m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边长分别为x m和y m，那么y关于x的函数解析式为____． 【答案】y＝(x＞0) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式． 【详解】解：由题意，得y关于x的函数解析式是y＝(x＞0)． 故答案为y＝(x＞0). 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 19．朱先生利用分期付款的形式购买了一套住房，他购买的住房的价格为24万元，交了首付之后每年付款y万元，x年结清余款，y与x的函数关系如图所示，请根据图象所提供的信息，回答下列问题： （1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； （2）朱先生若用10年结清余款，则每年应付多少钱？ （3）如果朱先生打算每年付款不超过7000元，那么他至少需要几年才能结清余款？ 【答案】（1）（x＞0），10万元；（2）1.4万元；（3）20． 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】【分析】（1）根据题意可知y与x的积是定值，由此可以确定是反比例函数关系，设解析式为y=，根据图象中的数据利用待定系数法求得k后即可得出解析式，用24-k即可求得首付款； （2）把x=10代入（1）中的解析式即可求得； （3）由题意可得关于x的不等式，解不等式即可得. 【详解】（1）设y＝，把（2，7）代入，得k＝14，所以y＝（x＞0）， 　24－14＝10（万元），所以首付款的数目为10万元； （2）当x＝10时，y＝==1.4， 所以朱先生每年应付1.4万元； （3）7000元＝0.7万元，当y≤0.7时，x≥＝20， 即朱先生至少需要20年才能结清余款． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用题目所给的定值求出它们的关系式． 20．电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为，该度数可以换算为人的质量m． 注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求出关于m的函数解析式． (2)当伏时， 欧． (3)若电压表量程为伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1) (2)130 (3)千克 【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到图象经过点，用待定系数法求解即可； （2）根据题意以及已知数据求出即可； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为伏即可得到答案． 【详解】（1）解：由图①可知：函数的图象经过点， ， 解得， 即R关于m的函数解析式是； （2）解：伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）解：， 随m的增大而减小， 当取得最大值时，取得最小值， 电压表量程为伏， 当时，取得最小值10， 当R取得最小值10时，m取得最大值， 即该电子体重秤可称的最大质量是千克． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章《反比例函数》2026—2027年人教版九年级数学上册暑假单元自测卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数， 故选：B． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象 【分析】根据图象过点，求出值，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴双曲线过一、三象限； 故选B． 【点睛】本题考查判断反比例函数图象所经过的象限．解题的关键是求出值，熟练掌握反比例函数的性质． 3．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 4．若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 6．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】将代入中得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：反比例函数过点， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 7．已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的性质分别判断各选项即可解答． 【详解】解：反比例函数，点，都在其图象上， A、，图像分布在第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、，当时，y随x的增大而增大，正确，故本选项不符合题意； C、，则图像经过点，正确，故本选项不符合题意； D、点，都在其图象上但不一定在同一象限，若，则错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 9．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用函数图象法进行求解即可． 【详解】解： 由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即此时， ∴若，则的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的上方时自变量的取值范围是解题的关键． 10．反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当 ∴比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故A，B选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，一次函数经过一、二、四象限，故C选项错误，D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 二、填空题 11．若点在反比例函数的图象上，则______n．（填“＞”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴比例函数的图象位于第一、三象限内，且在每一象限内y随x的增大而减少， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 12．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___． 【答案】1 【知识点】分式化简求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，分式化简求值．熟练掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．把分别代入与，得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把分别代入与，得 ，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 13．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)． 斜边轴交轴于点， 点的纵坐标相等． ． ． ， ． ． ． 则经过顶点的反比例函数解析式为． 故答案为： ． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，掌握一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算得到是解题的关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算可得，由此勾股定理可得，根据三角形面积的计算可得，代入一次函数即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ∴令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴在一次函数中， 解得，， 故答案为： ． 三、解答题 15．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． （2）解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长时米 16．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； （2）将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 17．如图，红十字会的图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A． (1)求该反比例函数的解析式． (2)该反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗? 并说明理由． 【答案】(1)该反比例函数的解析式为 (2)解：反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B， 理由：由题意可得，点B的坐标是， 把代入，得， ∴反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据题意得出点A的坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据题意得出点B的坐标，把代入，求得函数值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知红十字图形的每个正方形的边长为1，且， ∴， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为； （2）略 18．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为． 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，因而，因而可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ∴， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍）， 点的横坐标为， 点的横坐标是， 点的坐标是． 19．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省 【知识点】求自变量的取值范围、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（）根据矩形的面积可得与之间的函数表达式，再根据墙长可得自变量的取值范围； （）根据与的函数表达式及的取值范围且，都为整数，可得可取值为，对应的取值为，进而根据得到有两种情况：，或，，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，， 与之间的函数表达式为， ∵墙长为， ∴自变量的取值范围为； （2）解：由（）知，，且，都为整数， 可取值为，对应的取值为， ∵， ∴有两种情况：，或，， 当，时，需要材料：； 当，时，需要材料：； ， ∴当，时，围建矩形小花园所需材料最省． 20．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式 是解题的关键． （1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可； （2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为， ∴， 即 ， ∵点的横坐标为， ， ， ， 设， ， 解得， ∵点在双曲线上， 把点代入得 ，； （2）解： ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， 解得 或 (不符合题意，舍去)， ∴点的坐标为． 21．如图，在直角坐标系中，Rt的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，点B(3，2)，反比例函数y＝ (k＞0)的图象经过BC边的中点D． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若与成中心对称，且的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上，①求OF的长；②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②见解析． 【知识点】实际问题与反比例函数、全等三角形综合问题、正方形性质理解 【分析】（1）先求出点D坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）①先判断出△ABC≌△EFG，得出GF=BC=2，GE=AC=1，进而得出E（1，3），即可得出结论； ②先判断出△AOF≌△FGE（SAS），得出∠GFE=∠FAO，进而得出∠AFE=90°，同理得出∠BAF=90°，进而判断出EF∥AB，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B（3，2），BC边的中点D， ∴点D（3，1）， ∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D（3，1）， ∴k=3×1=3， ∴反比例函数表达式为y＝； （2）①∵点B（3，2）， ∴BC=2， ∵△ABC与△EFG成中心对称， ∴△ABC≌△EFG（中心对称的性质）， ∴GF=BC=2，GE=AC=1， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴E（1，3），即OG=3， ∴OF=OG-GF=1； ②如图，连接AF、BE， ∵AC=1，OC=3， ∴OA=GF=2， 在△AOF和△FGE中， ∴△AOF≌△FGE（SAS）， ∴∠GFE=∠FAO， ∵∠FAO+∠OFA=90°， ∴∠GFE+∠OFA=90°， ∴∠AFE=90°， ∵∠EFG=∠FAO=∠ABC， ∵∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠FAO=90°， ∴∠BAF=90°， ∴∠AFE+∠BAF=180°， ∴EF∥AB， ∵EF=AB， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∴AF=EF， ∴四边形ABEF为菱形， ∵AF⊥EF， ∴四边形ABEF为正方形． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，判断出△AOF≌△FGE是解题的关键． 22．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】（1）y=8x+20；（2）t=50；（3）饮水机内的温度约为76℃ 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值； （3）利用已知由x=7代入求出饮水机内的温度即可． 【详解】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：y=8x+20； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=， 依据题意，得：100=， 即m=1000， 故y=， 当y=20时，20=， 解得：t=50； （3）∵57-50=7≤10， ∴当x=7时，y=8×7+20=76， 答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃． 【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． 23． 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．    x … 1 2 3 … y … 3 4 … 表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或． 【知识点】实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； 任务2：把分别代入，得， 解得， 由图象，得； 任务3： （1）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章《反比例函数》2026—2027年人教版九年级数学上册暑假单元自测卷（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限 3．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 7．已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 9．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 10．反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 11．若点在反比例函数的图象上，则______n．（填“＞”“<”或“=”） 12．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___． 13．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为______． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为__________． 三、解答题 15．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 16．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 17．如图，红十字会的图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A． (1)求该反比例函数的解析式． (2)该反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗? 并说明理由． 18．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 19．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 20．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且． (1)求的值； (2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标． 21．如图，在直角坐标系中，Rt的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，点B(3，2)，反比例函数y＝ (k＞0)的图象经过BC边的中点D． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若与成中心对称，且的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上，①求OF的长；②连接AF，BE，证明：四边形ABEF是正方形． 22．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 23． 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．    x … 1 2 3 … y … 3 4 … 表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十七章《反比例函数》2026—2027年人教版九年级数学上册暑假单元自测卷（原卷版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A D C B D 1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．B 10．D 11． 12．1 13． 14． 15．(1) (2) 16．(1) (2) 17．(1)该反比例函数的解析式为 (2)解：反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B， 理由：由题意可得，点B的坐标是， 把代入，得， ∴反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B． 18．点的坐标为． 19．(1)，自变量的取值范围为 (2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省 20．(1)， (2) 21．（1）见解析；（2）①1；②见解析． 22．（1）y=8x+20；（2）t=50；（3）饮水机内的温度约为76℃ 23．任务1：；；任务2：；任务3：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3实际问题与反比例函数 学习目标导航 1、跨学科建模：能从物理（如压强、电学）或实际生活情境中提取信息，建立反比例函数模型解决实际问题。 2、综合与转化：能将函数、方程、不等式进行相互转化，综合运用图象与性质解决较复杂的综合题。 3、反思与检验：在解决实际问题后，能自觉结合现实背景检验自变量取值范围及结果的合理性，培养严谨的应用意识。 洞悉◆教材核心知识 知识点01 实际问题与反比例函数 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点02 实际问题与反比例函数 类型 关系 公式 路程问题 当路程一定时，时间与速度成反比例 （是常数） 面积问题 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数） 三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例． （是常数） 物理应用问题 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数） 压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数） 电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数） 核心题型◆归纳 题型01 行程类反比例应用 题型02 工程类反比例应用 题型03 面积定值类几何实际问题 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 题型05 利用反比例解析式求实际最值 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 题型08 跨学科问题 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 行程类反比例应用 例1问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 题型02 工程类反比例应用 例2一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 题型03 面积定值类几何实际问题 例3．当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 题型04 商品销售单价-销量反比例模型 例4．广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 题型05 利用反比例解析式求实际最值 例5．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 题型06 根据实际情境列反比例函数解析式 例6．某自来水公司计划新建一个容积为的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（单位：）关于其深度h（单位：m）的函数解析式为__________________．若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的深度为_________m． 题型07 结合图像读取信息解决实际问题 例7．某款电风扇的电阻可以调节，其范围为，已知电压为，图1是该电风扇的电路图，图2是该电风扇的功率与电阻之间的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．电功率是电阻的一次函数 B．电功率关于电阻的函数解析式为（） C．当电阻从增大到时，电风扇的电功率从增大到 D．若电风扇转速在中等档位时的电阻为，则此时电功率的大小为 题型08 跨学科问题 例8．某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 题型09 分段函数+反比例综合实际应用题 例9．近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ ABC分层训练 1．已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（   ） A．1 B．2 C．4 D． 3．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 4．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 6．老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 7．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 8．收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为_______kHz． 9．为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 10．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 11．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 12．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强与它的体积的乘积是一个常数，即（为常数，），下列图象能正确反映与之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 13．用电器的输出功率与通过的电流、用电器的电阻之间的关系是，下面说法正确的是（ ） A．为定值，与成反比例 B．为定值，与成反比例 C．为定值，与成正比例 D．为定值，与成正比例 14．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）之间满足函数解析式ρ＝ （k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（　　） A．9 B．－9 C．4 D．－4 15．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 16．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 17．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 18．某中学要在校园内划出一块面积为100 m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边长分别为x m和y m，那么y关于x的函数解析式为____． 19．朱先生利用分期付款的形式购买了一套住房，他购买的住房的价格为24万元，交了首付之后每年付款y万元，x年结清余款，y与x的函数关系如图所示，请根据图象所提供的信息，回答下列问题： （1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； （2）朱先生若用10年结清余款，则每年应付多少钱？ （3）如果朱先生打算每年付款不超过7000元，那么他至少需要几年才能结清余款？ 20．电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压显示的度数为，该度数可以换算为人的质量m． 注：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求出关于m的函数解析式． (2)当伏时， 欧． (3)若电压表量程为伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $