湖北武汉市黄陂区第七高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0,5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直经0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷今题范围：人教A版必修第二哥（药80%）千遮择性必修第一研第一章第1~2节（约20%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.(2-5i)2= A.-21-20i B.29-20i C.-21+20i D.29+20i 2.已知向量a=(3,一4)，b=(8,m,且a⊥b,则m= A.-6 B一号 c号 D.6 3.在三棱锥0-ABC中，点M在棱BC上，且CM=2MB,点N是棱OA的中点，记Oi=a,O店=b.心=e, 则M衣= A-+b+号0 B20-0号c c2-号0 D.-2a+号b+gc 4.已知正三棱台的上，下底面边长分别是23cm和63cm,侧棱长是5cm,则该正三棱台的体积为 A.135,/3cm B.1173cm C45√/3m D.393 cm 5.已知a为单位向量，b=(1,一2)a十b=2,则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 A(信号) a停，-25) c() n(,25) 6.设a,9是再个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且mCa,则m/且n/g是“。/g的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高二数学第1页（共4页）】 WH 在平行图边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠DAB=吾，点E满足正-号A,点F是DE的中点，则 .C正= A号 R-号 c号 n 8已知一组样本数据共有8个数，其平均数为5，方差为16，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的 样本数据，且新的样本数据的平均数为6，则新的样本数据的方差最小值为 A16.2 B.16.4 C.16.6 D.16.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 A若空间向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c B若空间向量a,b,c满足a=b,b=e,则a=e C若空间四个点P,A,B,C调足P心=是Pi+P丽，则A,BC三点共线 D.若{a,b,c)是空间的一个基底，则(a十b,b十e,c十a也是空间的一个基底 10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球， 记“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球”为事件B,则 APA)-号 RP)-号 CA与B互斥 D.A与B相互独立 IL.如图，已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动 (含边界)，则 A.正方体ABCD-A:B,CD1的外接球的表面积为12x B存在点P,使得DP⊥AB C若DP⊥B,D,则P点运动轨迹的长度为② D.若A,P⊥BD,则直线AP与直线BD,所成角的余弦值的最大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,小陈同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：17,12,14,13,14,15,11,16,15,18， 则这组数据的第70百分位数为 13,在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，若SA=AD,则直线SB与平面 SCD所成的角的大小为 在△ABC中，3mC=4mB,∠A=60,M为△ABC的外心，若A=AA+rAC,rER,则 【高二数学第2页（共4页）】 WH 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共2000人参加本次测试（测试成绩均在 [50,100]内)，将所得数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示 的频率分布直方图 0.032 0.008 006070090100锁 (I)求口的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： (②)在某项体能测试中，甲，乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是号和，求至少有一人的体 能测试成绩为满分的概率。 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a.b,c,且asin B=3 acos Acos C-十3 ccos'A. (1)求A: (2)若a=√/13，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长 17.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是矩形，AD=2AB,点E,F分别是棱AD,BC 的中点 (1)求证：BD∥平面ABF: (2)求证：平面ABE⊥平面AAF 【高二数学第3页（共4页）】 WH 18.(本小题满分17分) 如图，在平行六面体ABCD-A,BCD中，AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90°，∠BA4=∠DAA,=60: (1)求证：BD LAC； 0 (2)求AC的长： (3)求AC,与AD所成角的余弦值 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，BC-9,点E满足BC=3EC (1)若∠AEB=,AB=3√I0,求证：△ABC是直角三角形； (2)已知点D满足E元=3BD (1)若AB=AC,∠EAC=晋，求AD的值： (I)若∠BAD=∠CAE,求△ABC面积的最大值 【高二数学第4页（共4）】 WH高二数学参考答案、提示及评分细则 1.A(2-5i)2=4-20i+(5i)2=4-25-20i=-21-20i.故选A. 2.D因为a⊥b,所以a·b=0,即24-4m=0,解得m=6.故选D. 3.C由题意知Md=O-Oi=2Oi-(oi+Bi)=,Oi-Oi-}C=Oi-Oi-3(O元-Oi)=Oi- 号0成-3元-2a-子63故选C 4.D设该正三棱台的高为h,则h=/52一 /63_23 =3,所以该正三棱台的体积V= [×(2)×+ ×(65)×+√×(25)×号××(65)×] ×3=39√3，即该正三棱台的体积为39√3cm3.故选D. 5.C由题意可知la=1,|b|=5,|a+b|=2,所以|a+b|=W1+2a·b+5=2,解得a·b=-1,则向量a在向量b 上的授影向量为品。6，所以向量a在向量b上的般影向量的坐标为（一号号），放选C 6.B当m∥g且n∥3且m∥n时，若a与β相交，则得到m与两平面交线平行，故a∥3不一定成立，即充分性不成立：当 m,nCa且a∥B时，则m∥B且n∥B,必要性成立.所以“m∥B且n∥3”是“aB”的必要不充分条件.故选B. ?.B由题意知A.立=之(+市·(C+庞)=（号A成+A市）·(-号A市-A市)=A萨-A店· -号A亦=-号×3-号×3X2X号-×2=-号.放选R 8.D设增加的数为x,y,原来的8个数分别为a1,a2,…,a8,则a十a2十…十a8=5×8=40,a十a2+…十a8十x十y=6× 10=60,所以x十y=20,又因为日名〔a-5):=16,即含(a,-5)°=128，新的样本数据的方差为含(a-6十 (x-6)+(y-6)9]=0含a,-5-22a-5)+8+(一6+(y-62]=0+y-32,两为√2号 ≥告=10，当且仅当x=)y=10时等号成立，所以2十y-32≥168，所以新的样本数据方差的最小值为16.8.故 选D. 9.BCD当b=0时，a与c不一定平行，故A错误：若a=b,b=c,则a=c,故B正确：因为P心-Pi+4P克，所以P元 -号Pi=4P市-号P元，所以A心=4C市，则A,B,C三点共线，故C正确：若{a,b,c)是空间的一个基底，则a,b,c不 共面，可知{a十b,b十c,c十a》也不共面，所以{a十b,b十c,c十a}也是空间的一个基底，故D正确.故选BCD. 10.AB将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5，则样本空间为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)， (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4)},事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},B={(1,2),(2,1),(3,1), （3,2.4,1).4,2).5,1D.(5,2)1,所以PA)=号，PB)=号放A,B正确：A与B能够同时发生，放C错误： 又AB={(1,2),(2,1),所以P(AB)=≠P(A)P(B),故D错误.故选AB. 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 WH 1,ABD对于A选项：正方体ABCD-ABCD,的外接球的半径R=B于AD于AA=5,表面积S=4R= 2 12x,故正确； B 图1 图2 对于B选项：当P与B重合时，因为AD⊥平面ABB1A,ABC平面ABB1A,所以AD⊥AB,又AB⊥AB1, AD∩AB=A,AD,ABC平面ABD,所以AB⊥平面ABD,又DBC平面ABD1,所以AB⊥DB,故正确： 对于C选项：如图1，连接AD,AC,BD,CD,BD,四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD,又DD⊥平面ABCD, ACC平面ABCD,∴AC⊥DD,BD∩DD=D,BD,DDC平面BDDB,.AC⊥平面BDDB,B1DC平面 BDDB1,.AC⊥BD,同理可证AD⊥B,D,又AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD,.BD⊥平面ACD,平面 ACD,∩平面ABCD=AC,故点P在正方体底面ABCD内的运动轨迹是线段AC,又正方体ABCD-A,BCD,的棱长 为2，AC=2√2，故错误： 对于D选项：如图2所示，在正方体ABCD-A,BCD外补一相同正方体AHEB-A1FGB1,连接AE,AE,EP,则 ∠EAP就是所求角或其补角.设AP=x,x∈[0,2√2]，则EP=√8+x,AP=√/4+x,AE=√2，所以 COsEAP-AEAP-EP12()8 8 2AE·AP 2W12·√4+x 22,+元，当1=0时，0s∠EAP有最大值， 最大值为停，所以正确，放选ABD 12.15.5将这组数据从小到大排列为：11,12,13,14,14,15,15,16,17,18，又10×70%=7，所以这组数据的第70百分位 数为56-15.5 13. 如图所示：将四棱锥S-ABCD放人正方体内.不妨设AB=a,连接BC,BC相交于M,易 知BC⊥BC,BC⊥CD,故BC⊥平面CDSB,故∠BSM为直线SB与平面SCD所成的角，B, R△BSM伸，BS-Ea,BM=号a,放∠BSM=吾 1号 因为3sinC=4sinB,所以3AB=4AC,又AM=入AB+AC,所以AM·Ai=入AB+μ· 衣.成.所以号×A-A亦+骨.即-A+骨又Ai.C-A市·AC+A衣，放号-号+解得 A是号立-骨 15.解：(1)由题意知0.008×10+0.016×10十0.020X10+aX10+0.032×10=1,…2分 解得=0.024, …4分 估计这次体能测试成绩的平均数元=0.008×10×95+0.020×10×85+0.032×10×75+0.024×10×65+0.016×10 X55=73,即这次体能测试成绩的平均数为73.… …7分 (2)记“至少有一人的体能测试成绩为满分”为事件A,所以P(A)=(1-合)X(1-是)=子， 所以P(A)=1一P(不)=1一弓=青，即至少有一人的体能测试成绩为满分的概率为号。 13分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 WH 16.解：(1)因为asin B=√3 acos Acos C.+√3ccos2A,由正弦定理得sin Asin B=√5 sin AcosAcos C+√3 sin Ccos2A √3cosA(sin Acos C+sin Ccos A)=5 cos Asin(A十C)=√3 cos Asin B,…4分 又B∈(0，x),所以sinB≠0，所以simA=√5cosA,所以tanA=√5， …6分 又A∈(0，元)，所以A=牙 …7分 (2)△ABC的面积S=2sinA=bc×=35,所以c=12,… …9分 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,即13=b+c2-bc,所以62+c2=13十bc=13十12=25，…11分 所以b+c=√(b+c)7=√+c2+2bc=√25+24=7，. 13分 所以△ABC的周长为a十b+c=√13+7.… …15分 17.证明：(1)如图，连接AB,交AB于点G,连接EG 在直四棱柱ABCD-AB,CD中，四边形ABBA是矩形，因为对角线AB与AB,交 于点G,所以G为AB1的中点，…2分 B 、 又点E是棱AD的中点，所以GE∥B1D,…4分 G、 又GEC平面ABE,BD平面ABE,所以BD∥平面ABE.…7分 (2)连接EF. 底面ABCD是矩形， 所以AD∥BC,AD=BC,AB⊥AD, 因为点E,F分别是棱AD,BC的中点，AD=2AB,所以AE∥BF,AE=AB=BF,AB⊥AE,所以四边形AEFB是正方 形，AF⊥BE ……10分 在直四棱柱ABCD-A,BCD中，AA⊥平面ABCD, 又BEC平面ABCD,所以AA⊥BE.… 12分 因为AF⊥BE,AA1⊥BE,AF∩AA=A,AF,AAC平面AAF, 所以BE⊥平面AAF.… 14分 又BEC平面ABE,所以平面ABE⊥平面AAF 15分 18.(1)证明：由题意知Bi=AD-A店，AC=AC+CC=A花+AD+AA,… …1分 因为AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°， 则AD.Ai=0,AD.AA=Ai.AA=2X3Xcos60°=3， 所以BD.AC=(AD-AB)·(AB+AD+AA)=AD.AB+AD+AD.AA-AB-AD.AB-AB.AA=0+ 4+3-4-0-3=0, 所以BDLAC,即BDLAC.… …5分 (2)解：由1)知AC=AB+AD+AA, 所以AC2=(AB+AD+AA,)2=AB+AD+AA2+2AB·AD+2AB·AA+2AD·AA =4+4+9+0+2×3+2×3=29, 所以AC=|AC1=29. 10分 (3)解：因为AD=AD-AA, 所以|A,D1=√AD=√(AD-AA)2=VAD-2AD·AA+AA=√2-2X3+3=7.…12分 又AC·AD=(AB+AD+AA)·(AD-AA) -AB.AD+AD:+AA.AD-AB.AA-AD.AA-AA.AA =0+4+3-3-3-32=-8,… …14分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 WH 所以cos(AC,A1D= AC·AD -8 8/203 1ACI·IA,D29X√7 203 16分 所以AC与AD所成角的余弦值为8②0 203 17分 19.(1)证明：因为BC=9,点E满足BC=3E心，所以BE=6,EC=3, 在△ABE中，由余弦定理得AB=EA2+EB-2EA·EBcos∠AEB, 即90=EA2+36+6V2EA,解得EA=3√2， 在△ACE中，由余弦定理得AC=EA2+EC-2EA·EC·cos∠AEC=9, 又AB=30,BC=9,所以AB=AC+BC,所以C=交，故△ABC是直角三角形.…4分 (2)解：(1)因为点D满足E武=3B元，所以BD=1,DE=5,EC=3, 又AB=AC,∠EAC-若，设B=0.0<0<受，则C=0,∠BAE=-2a. 6 在△ABC中，由正弦定理得EC AC 3=6, si∠EACsin2∠AEc,即sin∠AEC sin交 在△AE中，由正弦定理得n识n盟即m BE 6 sim(爱-20)】 又AB=AC,∠AC=-∠ADB所以mn2B即 AB 6 ）…6分 sin(-20) 解得sin(5-20）=1,又0<0<受，所以-20=受，解得0=若，…7分 所以AE=EC=3,∠AEC-x, 在△AED中，由余弦定理得AD-EA+ED-2EA·EDcos∠AED-32+-2X3X5cos号-19， 即AD=/19.… …9分 (i)由∠BAD=∠CAE,BD=1,DE=5,EC=3, 所以SD=」 ·AB·DA·sin∠BAD 1 AB·DA_1 SAAEC ·AC·AE·sin∠BAD 1 AC·AE3’ SAABE- ·AB·AE·sin(∠BAD+∠DAE) 2 S△ACD 直·AC·AD·n(∠BAD+∠DAE)AC·A令=是， 1 2 两式相乘得：·0：部股-日×导子所以提名 ……12分 I2x十x>9, 设AB=x,则AC=2x,由 解得3<x<9, 2.x-x<9, 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB=AC,BCAB-4x士81-E-2+27, 2AC·BC 36x 12x 则m∠ACB=1-os∠AcB=1-(法2)=二2-2， 144x2 58m=(（分AC.BC…sin∠ACB)=是(-+90r-27)=0(2-45)2+729,.15分 由3<x<9,得9<x2<81,当x2=45时，△ABC面积的最大值为27.…17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 WH