第1～3章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第1-3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版八上第1章 三角形； 第2章 实数的初步认识；第3章 勾股定理 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 2．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 6．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（2026·四川内江·二模）若与互为相反数，则________． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 11．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，，为的角平分线，，于点，若，则的长为______． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 13．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为_____． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分，交于D，过点D作交于．若，，则的长为______． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为______． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是______． 18．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题6分）（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． （1）实数m的值是__________； （2）求的值． 20.（本题6分）（25-26七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． （1）求a，b的值； （2）求的算术平方根． 21.（本题6分）（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，则 ． 22.（本题6分）（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． （1）求证：； （2）若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 23.（本题6分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 24.（本题8分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知在中，，点在边上，连接． （1）如图1，如果点在线段的垂直平分线上，求证：； （2）如图2，已知，过点作，交边于点是以为腰的等腰三角形，求的长． 25.（本题8分）（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） （2）若，且，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 26.（本题10分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 27.（本题10分）（2026·江苏盐城·模拟预测）已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． （1）如图，当点在边上时． 求证：； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； （2）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $第1-3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟满分：120分 范围：苏科版八上第1章三角形；第2章实数的初步认识；第3章勾股定理 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(24-25八年级上·广东茂名阶段检测)下列说法错误的是() A,-4是16的平方根 B.0的平方根是0 C.25的平方根是5 D.25=5 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解. 解：A、（4=16,所以-4是16的平方根，说法正确，不符合题意： B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意： 25 所以25的平方根是±；，说法错误，符合题意： D、25的算术平方根是5，所以V25=5,说法正确，不符合题意： 故选：C 2.(26-27七年级上江苏南京·开学考试)若一个等腰三角形的周长是36cm,且其 中一边的长为8cm,则这个等腰三角形的腰长是() A.8cm B.14cm C.8cm或14cm D.无法确定 【答案】B 【分析】未明确8cm的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系 解：当8cm为腰长时，底边长为36-2×8=20， 8+8<20,不能构成三角形， 此情况不成立： 36-8=14, 当8cm为底边长时，腰长为2 8+14>14,能构成三角形， .腰长为l4cm 3.(25-26八年级上江苏宿迁阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在 AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E,△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则 BC的长为() B 0 E A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 连接BE,证出Rt△BDE≌Rt△BCE得出CE=DE,设BC=BD=x,CE=y,得出 AD+AE=12-2x-y,AD+AE=6-y,即可解得. 解：连接BE, D E 设BC=BD=x,CE=y, :DE⊥AB,∠C=90° ∴∠C=∠BDE=90°， BC=BD,BEBE :RtoBDERtABCE(HL), :.CE=DE=y, :△ABC的周长为12， .AD+AE=12-2x-y, △ADE的周长为6， :.AD+AE=6-y, 12-2x-y=6-y, 解得：x=3, .BC=3 故选：A 4.(25-26八年级上河北石家庄期中)如图，AD是△ABC的边BC上的中线， AB=7,AD=5,则AC的取值范围为() A.3<AC<17 B3<AC<15 C.1<AC<6 D.2<AC<12 【答案】A 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系.注意：倍长中线是常 见的辅助线之一.延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD≌aECD,得 CE=AB,再根据三角形的三边关系即可求解。 解：延长AD至E,使DE=AD,连接CE, B D E 在△ABD与△ECD中， DB=CD ∠ADB=∠EDC, AD=DE .△ABD≌△ECD(SAS) ∴.CE=AB 在△ACE中，AE-EC<AC<AE+CE, 即5+5-7<AC<5+5+7, 3<AC<17. 故选：A 5.(24-25八年级上广东深圳阶段检测)实数a,b,c在数轴上对应的点的位置 如图所示，则化简c2+la+-V(a-c}得() b a A.-2a-b-2c B.-2a-b C.b D.-2a+b 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到 b<c<0<ald<M,则a+b<0,a-c>0,据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加 减计算法则求解即可. 解：由数轴可知b<c<0<ala<b, ∴.a+b<0,a-c>0」 ..Ve+a+b-M(a-c) =-c-a-b-(a-c) =-c-a-b-a+c =-2a-b, 故选：B. 6.(25-26八年级下河南开封·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB ,垂足为D,∠A=30°，点E是边AC的中点，AB=8,则DE的长为() B E A.4V5 B.4 C.25 D.25 【答案】C 【分析】根据含0度角的直角三角形的性质求出BC,再用勾股定理求出AC,最后根据直角 三角形斜边中线的性质求解， 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8, BC-4B-4. AC=VAB2-BC2=V82-42=43, ~CD⊥AB,点E是边AC的中点， DE-4C=25 7.(25-26七年级下·陕西西安·期末)如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道 闸机的截面图，点A,C,F,D在同一直线上，∠CAB=∠FDE=9O°，∠ABC=∠DEF ,AB=DE.若AD=6CF=120cm,则AC的长为() CF 闸 机 机 A.40cm B.50cm C.60cm D.100cm 【答案】B 【分析】先求出AC+DF=I00cm,再证出△ABC≌aDEF,则AC=DF,由此即可得. 解：，6CF=120cm, ∴.CF=20cm, :AD=120cm, ..AC+DF=AD-CF=100cm, 在△ABC和△DEF中， [∠CAB=∠FDE=90° AB=DE ∠ABC=∠DEF :.△ABC≌△DEF(ASA), ..AC=DF, ∴.AC+AC=100cm, 解得AC=50cm】 8.(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高， BD=4CD=4,以AB为腰在AB的左侧作等腰Rt△ABE,∠ABE=90°，连接EC,则 △EBC的面积为() B D A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】B 【分析】过点E作EF⊥BC,交CD的延长线于点F,根据一线三垂直模型证得△BEF≌△ABD ,得到EF=BD,套用三角形面积公式即可求解。 解：如图所示，过点E作EF⊥BC,交CD的延长线于点F, B D LEFB=90°， 又，∠ABE=90°， ∴.∠FEB+∠EBF=∠EBF+∠ABD=90°， ∴.∠FEB=∠ABD, ,AD为BC边上的高，Rt△ABE是等腰三角形， ∴.∠ADB=90°，BE=AB, ∠FEB=∠ABD 在 和 中， ∠EFB=∠ADB=90° △BEF△ABD BE=AB △BEF≌△ABD(AAS), .EF =BD, .BD=4CD=4. ..EF =4,CD=1,BC=BD+CD=5. S.mc=IBC.EF=1x5x4-10 2 2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.(2026四川内江·二模)若2a-3弘+5与V3a-2b-1互为相反数，则a+b= 【答案】6 【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是 熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0.根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程 组，即可得到答案。 解：：2a-3b+5与V3a-2b-1互为相反数， .2a-3b+5+V3a-2b-1=0, .2a-3b+5≥0,3a-2b-1≥0， 「2a-3b+5=0 .13a-2b-1=0 13 a= 5 解得： 9 b 17 13.17 ∴.a+b= =6 55 故答案为：6. 10.(25-26八年级下·江苏苏州开学考试)用四舍五入法对159897000000取近似 值（用科学记数法表示），精确到千万位 【答案】1.5990×10 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数 法表示即可 解：原数为159897000000，确定千万位上的数字为9，其下一位百万位上的数字为7， 7>5, ∴向千万位进1，千万位9+1=10，需继续向亿位进1， ∴.近似值为159900000000， 用科学记数法表示为1.5990×10 11,(2026八年级上江苏无锡·专题练习)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD为 △ABC的角平分线，BD=CD,AE⊥BD于点E,若DE=2,则BE的长为 D E 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含3O°的直角三角形的性质.根据等腰三角形的性质 得出∠DBC=∠DCB,结合角平分线得出∠ABD=∠DBC=∠DCB,求出∠ABD=30°， ∠DAE=30°，从而得出BD=2AD=4DE,即可求解. 解：，BD=CD .∠DBC=∠DCB, ,BD为△ABC的角平分线， ∴.∠DBC=∠ABD .∠ABD=∠DBC=∠DCB, ,∠BAC=90°， ∴.∠ABD=30°，∠ADE=60° ∴.AD=2DE=4, :AE⊥BD, .∠DAE=30°， ∴.BD=2AD=4DE=8, .BE=8-2=6 故答案为：6. 12.(25-26八年级上贵州铜仁期中)已知a是10的整数部分，b是21的整数 部分，则a-b= 【答案】-1 【分析】本题考查无理数的整数部分估算，掌握相关知识是解决问题的关键，通过比较无理数 与相邻整数的平方，确定其整数部分，再计算a-b的值. 解：32<10<42， .3<10<4, ∴.V10的整数部分a=3: 42<21<52, .4<V21<5, .√21的整数部分b=4: ,a-b=3-4=-1. 故答案为：-1. 13.(26-27八年级上江苏南京·阶段检测)如图，AD是△ABC的角平分线，过点B 作BE⊥AD交AD的延长线于点E,延长AC、BE交于点F,点G在BC上，连接EG ,若AB=6:AC-4,BG=CP,则EG的长为 B 【答案】1 【分析】通过证明△ABE≌△AFE,得到AF=AB=6,求出CF的长，再代入已知关系式即可 求解. 解：：AD是△ABC的角平分线， .∠BAE=∠FAE, BE⊥AD, ∴.∠AEB=∠AEF=90° ∴在△ABE和△AFE中， ∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF :AABE≌AAFE(ASA), .AF=AB=6. :.CF=AF-AC=6-4=2, .EG-TCF. 2 1 ∴EG=5×2=1 14.(24-25八年级上江苏盐城期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分 ∠CAB,交BC于D,过点D作DE⊥AB交AB于E,若AB=AC+CD,CD=1,则BD 的长为 【答案】2 【分析】根据角平分线性质求出CD=DE,证明Rt△ACD≌Rt△AED(HL),得AC=AE,然 后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题. 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线上 的点到角两边的距离相等， 解：'AD平分∠CAB,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.DE=CD=1,∠DEA=∠DCA=90°， 在RtAACD和Rt△AED中， (AD=AD CD=DE' :.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), .AC=AE. .AB=AC+CD,AB=AE+BE, :BE=DE =1, BD=V2BE=√2， 故答案为：√2. 15.(25-26八年级上江苏泰州阶段检测)如图，一长方体容器，长、宽均为3， 高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体 容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD= D 图1 图2 【答案】5 【分析】根据倾斜前和倾斜后水的体积不变求出AD长，然后在Rt△CDE中根据勾股定理求解 即可 解：如图所示： E D B 设DE=x,则AD=7-x, 根据题意得： 20-+7)x3x3=3x3x5, 解得：x=4, ∴.DE=4, ∠E=90°， 由勾股定理得：CD=VDE2+CE2=V42+32=5. 16.(24-25八年级上江苏宿迁·期末)如图，在△ABC中，角平分线B0和C0相交 于点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=2a,则aOEF的周长为一 B 【答案】2a 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到 ∠OBE=∠OBA,由平行线的性质推出∠EOB=∠OBA,得到∠OBE=∠EOB,推出BE=OE, 同理：OF=FC,于是得到aOEF的周长=BC=2a. 解：：OB平分∠ABC, .∠OBE=∠OBA, OE∥AB, .∠EOB=∠OBA, ∴.LOBE=∠EOB, ∴.BE=OE, 同理：OF=FC. ∴.△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=2a. 故答案为：2a」 17.(24-25八年级上江苏盐城阶段检测)《九章算术》提供了许多勾股数如 (3,4,5),(5,12,13)等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”·经研究，若m是大 于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则m与这两个数组成勾股数；若m 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到 两个整数，则m与这两个数组成勾股数.根据上面的规律，由12生成的勾股数 的“弦数”是 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出A的值是解题关键.直接根据题 意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案. 解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为A, -36, 36-1=35’36+1=37 故A=37. 故答案为：37. 18.(25-26八年级上浙江金华期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60° ,点D是斜边AB上一点，连结CD,以CD为边向右构造等边△CDE,连结AE,若 BC=2,则AE的最小值为 【答案】V3 【分析】取AB的中点F,连结CF、FE,FE交AC于点H,根据题意可知△BCF是等边三 角形，再利用勾股定理求出AC的长度，然后可利用边角边证明△FCE=△BCD,得到 ∠AFE=∠B,根据同位角相等，两直线平行，得出FE∥BC,进一步可得到AH=V3,最后 根据直角三角形斜边大于直角边即可求解， 解：如下图所示：取AB的中点F,连结CF、FE,FE交AC于点H, :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°， :.FC-AF-BF-14B. 2 “.△BCF是等边三角形， ∴.∠BCF=∠BFC=60°，FC=BC=2 AB=4. .AC=VAB2-BC2=V4-22=2V3, :△CDE是等边三角形， .EC=DC,∠DCE=60° ∴.∠FCE=∠BCD=60°-∠DCF, 在△FCE和△BCD中， FC=BC=2 ∠FCE=∠BCD EC=DC .△FCE=aBCD(SAS), ∴.∠EFC=∠B=60°， .∠AFE=180°-∠EFC-∠BFC=60° ∠AFE=∠B, .FE∥BC, .∠AHF=90°， FC=AF,FE⊥AC, :AHl-CH-]AC= AE≥AH, AE≥5， ·AE的最小值为V3, 故答案为：V3. 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定 和性质，勾股定理等，构造正确的辅助线是解题的关键. 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本题6分)(25-26七年级下江西宜春·期末)如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴 向左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数V5,设点A表示的数为m -3-2-10123 (1)实数m的值是 (2)求m+2)+m+的值. 【答案】(1)5-2；(2)4+V5 【分析】(1)直接用点B表示数减去2个单位长度即可： (2)将m的值代入计算即可. (1)解：：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数V5, 实数m的值是V5-2: (2)解：当m=V5-2时， (m+2)2+m+1=(N5-2+2)2+W5-2+1=5+V5-1=4+V5 20.(本题6分)(25-26七年级下辽宁大连·期末)已知一个正数x的两个平方根分 别是2a+1和2-3a,a+2b-3的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求2a+b-6的算术平方根. 【答案】(1)a,b值分别为3,4：(2)2a+b-6的算术平方根为2 【分析】(1)根据一个正数的两个平方根互为相反数可得2a+1+2-3a=0,求出a=3,再根 据立方根的定义得a+2b-3=2求出b: (2)根据算术平方根的定义解答即可. (1)解：：一个正数的两个平方根是2a+1和2-3a, .2a+1+2-3a=0. 解得a=3: a+2b-3的立方根是2， .a+2b-3=23, 解得b=4, 答：a,b值分别为3,4 (2)解：，a=3,b=4 ∴.√2a+b-6=√2×3+4-6=2， 答：20+b-6 的算术平方根为2， 21.(本题6分)(24-25八年级上江苏盐城期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D,∠DCB的平分线CE交AB于点E. (I)求证：AC=AE: (2)若∠A=60°，AD=4,则BE=- D E B 【答案】(1)证明：∠ACB=90°，CD1AB, ∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°， .∠ACD=∠B CE平分∠BCD, .∠BCE=∠DCE, ·.∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE 即∠AEC=∠ACE, ..AC=AE (2)8 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三 角形性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， (1)依据∠ACB=90°，CD⊥AB,即可得到∠ACD=∠B,再根据CE平分∠BCD,可得 ∠BCE=∠DCE,进而得出∠AEC=∠ACE,根据等腰三角形的性质即可得到结论. (2)根据含30°的直角三角形的性质可求得AC,AB长，根据已知条件可证明△ACE为等边三 角形，则可求AE长，则BE可求 解：(1)略 (2)解：：∠ACB=90°，∠A=60°， ∴.∠ACD=30°，∠B=30° RtAACD中，AC=2AD=8, ∴.RtAABC中，AB=2AC=16 AC=AE,∠A=60°， ∴.△ACE为等边三角形， ∴.AE=AC=8 .BE=AB-AE=16-8=8 22.(本题6分)(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在△ABD中，AC⊥BD于 C,∠CAD=45°，点E为AC上一点，连接BE、DE,DE=AB,DE的延长线交AB于 F (1)求证：DF⊥AB: (2)若BC=a,AC=b,AB=c,请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即 求证：a2+b2=c2 E B C 【答案】(1)证明：：AC⊥BD,∠CAD=45°， ∴.∠ACD=90°，∠CAD=∠CDA=45°， :.AC=DC, 在Rt△ABC和Rt△DEC中， (AB=DE AC=DC· :.Rt△ABC≌RtADEC(HL), .∠BAC=∠EDC, ,∠AEF=∠DEC .∠AFE=∠DCE=90° .DF⊥AB (2)证明：：RtAABC≌Rt△DEC, ..CE=BC=a, 根据图形可知S影=Ssc+S。ACD=SMBn一S.AB, 即0+b= 2 2cDF-1 DF-EF)E .a2+b2=c2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明， 掌握相关知识点是解题的关键， (I)根据题意，可知△ACD为等腰直角三角形，则AC=DC证RtAABCS≌RtADEC(HL),得 ∠BAC=∠EDC,再根据∠AEF=∠DEC,得到∠AFE=∠DCE=90°，即可求证： (2)根据S彬=SBc+S,4n=SMm-SAB,将a、bc代入，即可求证. 解：(1)略 (2)略 23.(本题6分)(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)【问题情境】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,连接AC,点G在BC边上，连 接DG并延长，交AB的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,已知 ∠DAC+∠CGF=90°，AE=AC, 【问题探究】 （1)请说明△ABC≌△AFE: 【问题解决】 (2)若2AB=AC,AD=2,求CG的长 B 【答案】(I)证明：因为AD∥BC,所以∠DAC=∠ACG, 因为∠DAC+∠CGF=90°，所以∠ACG+∠CGF=90°， 即∠CFG=∠AFE=90°，所以∠ABC=∠AFE, 在△ABC和△AFE中， I∠ABC=∠AFE ∠BAC=∠FAE. AC=AE 所以△ABC≌△AFE(AAS) (2)CG=2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， (1)根据角角边判定三角形全等即可： (2)根据三角形全等的性质得到AF=CF,再根据角边角证出△DAF≌△GCF(ASA),得到 AD=CG即可求出. 解：(1)略 (2)由(1)知：△ABC≌aAFE,∠DAF=∠FCG. 所以AB=AF, 又因为2AB=AC,AE=AC, 所以AC=2AF=AF+FC,所以AF=CF, 在△DAF和△GCF中， ∠DFA=∠GFC AF=CF ∠DAF=∠GCF 所以△DAF≌△GCF(ASA), 所以4D=CG=2 24.(本题8分)(25-26八年级上江苏无锡·阶段检测)已知在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，点P在边AC上，连接BP. (I)如图1，如果点P在线段AB的垂直平分线上，求证：AP=PC: (2)如图2，已知AB=6,BC=8,过点P作PD⊥BP,交边BC于点D,6ABP是以BP 为腰的等腰三角形，求PD的长. B 图1 图2 备用图 【答案】(1)证明：点P在线段AB的垂直平分线上， .AP=BP, .∠A=∠ABP, ∠ABC=90°， ∴.∠ABP+∠CBP=∠A+∠C=90° .∠CBP=∠C, .PC=BP, ..AP=PC: 157 (2)4或4 【分析】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角 形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及勾股定 理是解题的关键，属于中考常考题型. I)由线段垂直平分线的性质得AP=BP,则∠A=∠ABP,再证∠CBP=∠C,得PC=BP, 即可得出结论： (2)分两种情况，a、BP=AP时，b、BP=AB=6时，由直角三角形的性质和股定理分 别求出PD的长即可. 解：(1)略. (2)解：AB=6,BC=8,∠ABC=90°， .AC=AB2+BC2 =10. 分两种情况： a、如图3，BP=AP时， 图3 由(1)可知，BP=AP=PC=)AC=5】 过点P作PM⊥BC于点M, 则BM=CM=号BC=4, .PM=√BP2-BM2=3, 设DM=x,则BD=4+x, 在Rt△BPD和RtAPDM中，由勾股定理得：PD2=BD2-BP2=PM2+DM2, 即(4+x}2-52=32+x2, 9 解得：x= 4 DM. &m-w+Dr- b、如图4，BP=AB=6时，则有∠A=∠BPA, D 图4 ∠ABC=90°， ∠A+C=90°， PD⊥BP, .∠BPD=90° ∠BPA+∠DPC=90°， ∠C=LCPD, .PD=CD, 设PD=CD=m,则BD=8-m, 在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP2+PD2=BD2, 即62+m2=(8-m)2, 7 解得：m=4: :PD=4 7 157 综上所述，PD的长等于4或4 25.(本题8分 (25-26七年级下江苏南通阶段检测)如图1，将一个长为4a,宽 为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方 形. (1)图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示） (2)若2a+b=7,且b=3,求图2中的空白正方形的面积. (3)观察图2，用等式表示出(2a-b),ab和(2a+b)的数量关系。 b 2a 2a 2a b b 2a b b 图1 图2 【答案】(1)2a-；(2)25:(3)(2a+b)}-8ab=(2a-b)月 【分析】(I)用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可得到图2空白部分的面积，进而即 可求出空白部分的边长： (2)用拼成的正方形面积减去长方形面积，即可表示出图2空白部分的面积，再将2a+b=7 ,且ab=3代入式子求解，即可解题： (3)由(1)的求解过程可表示出(2a-b),ab和(2a+b的数量关系. (1)解：图2的空白部分的面积是(2a+b)-(2a+2a)(b+b) =4a2+4ab+b2-8ab =4a2-4ab+b2 =(2a-bj}2, 则图2空白部分的边长是V(2a-b)}=2a-b: (2)解：图2中的空白正方形的面积为：(2a+b)-(2a+2a(b+b)=(2a+b)2-8ab, 2a+b=7,且ab=3, :(2a+b}-8ab=72-8×3=49-24=25, (2a+b)}-8ab=(2a-b)2 (3)解：由(1)可知， 26.(本题10分)(24-25八年级下·辽宁铁岭阶段检测)【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18,点D,E分别在边AB, AC上，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合.EC=5,求BC的长： 【深入探究】 (2)如图2.将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC交 AD于点E.若AB=4,BC=8,求AE的长. B 图1 图2 【答案】(1)12：(2)3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理. (1)先求出AE=13,由折叠性质得：BE=AE=13,在Rt△BCE中，由勾股定理即可求出 BC的长： (2)根据长方形性质得CD=AB=4,AD=BC=8,∠A=∠C=90°，由折叠性质得 C"D=CD=4,∠C'=∠C=90°，由此依据AAS判定△CDE和△ABE全等得C'E=AE,设 AE=a,则CE=AE=a,DE=AD-AE=8-a,然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出a=3 ,继而可得AE的长 解：(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=18, EC=5, .AE=AC-EC=13. 由折叠性质得：BE=AE=13, 在RtABCE中，由勾股定理得：BC=VBE2-EC2=VI32-52=12: (2):四边形ABCD是长方形，AB=4,BC=8, .CD=AB=4,AD=BC=8,∠A=∠C=90°， 由折叠性质得：CD=CD=4,∠C'=∠C=90°， .CD=AB=4,∠C'=∠A=90°， 在△CDE和AABE中， 「∠C'=∠A ∠C'ED=∠AEB CD=AB .△C"DE≌aABE(AAS), .C'E=AE, 设AE=a,则C"E=AE=a,DE=AD-AE=8-a, 在Rt△C"DE中，由勾股定理得：C"E2+C'D2=DE2, a2+42=(8-a2, 解得：a=3, :E=3 27.(本题10分)(2026：江苏盐城模拟预测)已知△ABC为等边三角形，点D为直线 BC上一动点（点D不与点B,点C重合）·以AD为边作等边三角形ADE,连接 CE (1)如图1，当点D在边BC上时. ①求证：△ABD≌△ACE; ②直接写出线段BC,DC与CE三者之间的数量关系： (不需证明)： (2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出 BC,DC,CE三者之间存在的数量关系，并写出证明过程. B D 图1 图2 【答案】(1)①，△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中： AB=AC ∠BAD=LCAE, AD=AE ·.AABD≌△ACE(SAS) ②BC=DC+CE. (2)数量关系：CE=BC+DC,证明如下： 在BC延长线上取点D,作等边△ADE,连接CE. E B :△ABC、△ADE为等边三角形， ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60, .∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中： AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE, 又：BD=BC+DC, ∴.CE=BC+DC 【分析】(I)①根据等边三角形的边相等、内角为60°的性质，因为△ABC和△ADE都是等边 三角形，所以可得到AB=AC、AD=AE,且∠BAC=∠DAE=6O°，通过等式变形得到夹角 ∠BAD=∠CAE,用SAS判定定理证明三角形全等.②利用①中全等三角形对应边相等的结 论，结合BC=BD+DC的线段和关系，推导三条线段的数量关系： (2)先按要求画出点D在BC延长线上的图形，同理先证明△ABD≌△ACE，再根据此时 BD=BC+DC的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系. 解：(1)①略. ②数量关系：BC=DC+CE.理由： :△ABD≌AACE(SAS). .BD=CE, BC=BD+DC. .∴.BC=DC+CE (2)略.