八年级数学上学期9月学情自测（新教材苏科版第1～2章，高效培优）

**基本信息** 八年级数学9月学情自测卷，以实数、三角形等核心知识为载体，通过几何作图（如作到两公路距离相等的市场位置）、动态几何探究（如等腰三角形旋转中线段关系）等设计，考查抽象能力、推理能力与几何直观，适配学段学情，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、三角形三线性质|基础概念辨析，如假命题识别| |填空题|8/32|平方根计算、折叠问题|结合生活情境，如“画图仪”角度计算| |解答题|8/78|几何作图、全等推理、动态几何|综合应用，如工厂配件结构中全等证明，体现模型意识与创新思维|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B C D C B B C 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.百 12.90 13.2 14.-8 15.18 16.41.4 17.418.①②③ 三、解答题（本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. (8分) 【详解】(1)解： V(-4)+11-V21+-8+(-1)2 =4+√2-1-2-1 =2,(2分) (2)解：原式=-3+4-1=0.(4分) (3)解：-1+W5-2-27+3 =-1+2-V5+3+3 =7-5 (6分) (4)(2x--16=9 :(2x-2=25 2x-1=5或2x-1=-5, .x=3或x=-2.(8分) 20.(8分) 【解析】(1)由思意得：8，h=5-2 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴a+b-5+10=8+(N5-2-V5+10=16 ”16的平方根是4，a+b-5+1 的平方根是“：(4分) (2)解： 3<V11<415<12+1<16 .12+V1 的整数部分是15，小数部分是12+-15=而-3 x是整数，且0<y<1,x=15,y=而-3 x-y+=15-(-3到+而=15-而+3+而=18.8分》 21.(10分) 【详解】(1)解：如图，点F或点F'即为所求.(5分) E (2)解：如图所示，点P即为所求， B 图② :P在AB的垂直平分线上，.PA+PC=PB+PC=BC.(10分) 22.(10分) 【详解】解：：∠ADE=∠B+∠BED,∴，∠ADE>∠B; (1)证明：由折叠知，BF=CF,在△ACF中，AF+FC>AC,,AF+BF>AC,.AB>AC:(4 分) 2/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由折叠知，∠MAE=∠EAC,∠ADE=∠C, :DE=DB,.∠B=∠BED,ME∥AC,.∠MEA=∠EAC,:∠MAE=∠EAC,.∠MAE=∠MEA :∠BEA=110°，.∠B+∠BAE=180°-∠BEA=180°-110°=70°， ÷∠BED+∠MEA=∠B+∠BAM=70°， ,∠DEM=∠BEA-(∠BED+∠MEA)=110°-70°=40° (10分) 23.（10分) x2+2.8x+1.96=2 【详解】(1)解： 解方程得x≈0.014 保留到0.01)，即V5≈1.414 故答案为：1.414；(3分) (2解：2.2=4.84,2.32=529.22<5<2.3 设5-22+： 画出示意图，由面积公式，可得+44x+4,84=5 2.2 2.2x 3 2.2 4.84 2.2x 国为值很小，所以”更小，降去”，解方程得006 保留到0.001)，即52.236 5-1≈0.618 ∴黄金分割数2 (7分) (3)解：如图，即为所求.(10分) 图③ 图④ 24.(10分) 【详解】(1)解：：AD是△ABC的中线，BD=CD 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC=DB ∠ADC=∠EDB 在 和 中， △ADC△EDB AD=ED ，÷aMDC≌ABDB(SMS)(3分) 2)AE=2AD,理由如下：由(1) △ABD2MCD(SAS).:∠M=∠BAD, ∠E=∠BAD,.∠M=∠E,:AC平分∠DAE,,∠MAC=EAC, ∠M=∠E ∠MAC=∠E.AC 和 中， △ACM'△ACE AC =AC ·A4CM≌ACE(AAS）' AE=AM :DM=AD,∴.AE=AM=2AD;(6分) (3)EF=2AD,理由如下：：AD为△ABC的中线，BD=CD, BD-CD ∠ADB=∠HDC 在 和 中， △ABD△HCD AD-HD ·AABD≌AHCD(AAS)' AB=CH,∠CHD=∠BAD=90°，又AB=AE,∴AE=CH, ,∠FAC=∠CHD=90°，.∠FAE=∠ACH=90-∠CAH, AE=CH 交 和 △AEF△CHA A,AABF≌CHA(SA.S)63A 中，AF=CA :DH=AD,∴.EF=AH=2AD.(10分) 25.(11分) 【详解】模型证明：证明：如图，作CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,则∠CDA=∠CEB=90°， D B E :OC是∠AOB的角平分线，∴.CD=CE, 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠0AC=∠CBN,六aC1D≌，CBE(S）,:CM=CB:(4分 模型运用：如图，在BC上截取点F,使得CD=CF,连接EF,，(5分) ,CE平分∠BCE,∠ECF=∠ECD, :CE=CE,CD=CF,CEDCEF(SAS）,∠CFE=∠D,(6分) :AB∥CD,.∠A+∠D=180°，，∠BFE+∠CFE=180°，∴.∠BFE=∠A, :BE平分<ABC,:∠ABE=∠FBE,:BE=BE,÷aMBE2,FBE(AAS,AB=BF,G7分 :BF+CF=BC,·.AB+CD=BC;故答案为：AB+CD=BC;(8分) 解决问题：由题意可得：CE=60米，CF=30米，BC=80米，CD=60米， .BE=BC-CE=80-60=20米，DF=CD-CF=60-30=30米， 如图，延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG, :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，.∠B=∠ADG, AB=AD.DG-BEABEADG(SAS) ∴.DG=BE=20米，∠BAE=∠DAG,AE=AG, :∠EAF=∠BMD,∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=∠DAG+∠EAF+∠DMF=∠EAF+∠GMF, :∠EAF=(∠EAF+∠GMF),∴∠EAF=∠GAF,·aMEF≌*AGF(SAS)), :.EF=GF=GD+DF=20+30=50米，即此时甲、乙两人的距离为50米.故答案为：50.(11分) 26.(11分) 【答案】(1)∠ACP=∠DBC,理由如下： :∠ACB=90°，CP⊥BD,.∠ACP+∠PCB=∠DBC+∠PCB=90°，.∠ACP=∠DBC；(2分) (2)证明：过点A作AH⊥CD交CD于点H,如图， H B 516 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 “AC=4P,∴CH=HP=CP, 2 [∠AHC=∠CDB=90° ∠ACP=∠DBC 秘 中 △ACH ACBDAC=BC 六aAC7≌CBD(AAs)'CH=D则CP-2BD (6分) (3)解：过点A作AM1CP交CP的延长线于点M,如图， M F D E B 同理可证△ACM≌aCBD,则AM=CD,CM=BD, DE 2 设CD=2x,DE=CD,DB=CD=2x,BE3,BE=3x’ .AM=DE=CD=2x,CM=BD=DE+BE=5x, 3 9 15 15 “△cDg的面积为2，∴△CBB的面积为4，ACDB的面积为4，则。4CM的面积为4， ∠AFM=∠EFD ∠AMF=∠EDF=90° 在 和 中 △AFM△EFD AM-ED AFM3EFD(AAS)六M=FD 则m-Dw-CM-cD)x-2x)= 5.-CDDR=x2xx22 2 2,即r2s3 4 2 22 28.S.p= 8 15921 则S.4e=S.c-S,=488、（1分) 616 八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．等腰三角形的中线就是角平分线 D．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 4.（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）按括号内的要求，用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（ ） A．（精确到） B．20242000（精确到千位） C．（精确到万位） D．（精确到千分位） 6．（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 8．（2026·江苏扬州·二模）下列整数中与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．正确的结论有（ ）个 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 12．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时 ． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 14．（25-26八年级上·江苏·校考期末）已知：，则_________． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 16．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形中，对角线交于点，，点在边上，且，连接交于点F．下列结论：①：②：③；④．其中结论正确的序号有 ： 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·江苏·校考期中）计算与解方程： (1)；(2)； （3）．（4）． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； (2)若，其中x是整数，且，求的值． 21．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 22.（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 23．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 24．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】(2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】(3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 26．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)请找出图中与相等的角，并说明理由；(2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ A、 可化为分数，是有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，符合题意；C、 ，是整数，是有理数，不符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意. 故选：B 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．等腰三角形的中线就是角平分线 D．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【详解】A．三个角都相等的三角形是等边三角形，符合等边三角形的判定定理，为真命题． B．角平分线上的点到角的两边距离相等，符合角平分线的基本性质，为真命题． C．等腰三角形的中线是否为角平分线需具体分析．等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一，但若中线为腰上的中线，则不一定为角平分线．题干未明确“中线”的位置，表述不严谨，存在反例，故为假命题． D．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，符合垂直平分线的判定定理，为真命题．故选：C． 3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 【答案】D 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意；故选：D． 4.（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意．故选：D． 5.（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）按括号内的要求，用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（ ） A．（精确到） B．20242000（精确到千位） C．（精确到万位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【详解】解：A. （精确到），原式正确，不符合题意； B. （精确到千位），原式错误，符合题意 C. （精确到万位），原式正确，不符合题意； D. （精确到千分位），原式正确，不符合题意；故选：B. 6．（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意．故选：C． 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【详解】解：如图所示，∴设,， ∴，整理得，，解得，或（负值舍去）， ∴，∴， 8．（2026·江苏扬州·二模）下列整数中与最接近的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，，且，∴，即， 又∵，∴，∴更接近整数．故选：B ． 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ，∴，∵，，∴， 在和中 ，，∴，∴，， ∵是的垂直平分线，∴， 在和中 ，，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选：． 10．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．正确的结论有（ ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，，       ∵，∴， ∴，∴，∴，，故①正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等，∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合；∴；∴当时， ∵是等腰直角三角形；∴；∴，故②正确； ∵；∴，∴，④正确； 综上所述，其中正确的结论是①②④．故答案为：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【详解】解：因为万，所以近似数“万”精确到百位． 12．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，为等边三角形， ，， ，,，，故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得，则一个平方根为， ∴，∴，8的立方根为2，故答案为：2． 14．（25-26八年级上·江苏·校考期末）已知：，则_________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 解得，所以，． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图所示：，， ，，，，， 在和中，，， ，的面积为：．故答案为：． 16．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则 【答案】41.4 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．∵，∴． 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分，∴ ，∵两点之间线段最短，∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，，∴，， ∴，即：，解得，∴，故答案为：4． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形中，对角线交于点，，点在边上，且，连接交于点F．下列结论：①：②：③；④．其中结论正确的序号有 ： 【答案】①②③ 【详解】解：①∵，∴是等边三角形，∴， 在和中，，∴，∴，故结论①正确； ②延长到M，使，连接，如图所示： ∵， ∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，由①可知：， ∴，∴，∴，故结论②正确； ③∵，∴，由②可知：， ∴，故结论③正确； ④根据已知条件无法找出与之间的数量关系，故结论④不正确， 综上所述：结论正确的序号有①②③．故答案为：①②③． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级上·江苏·校考期中）计算与解方程： (1)；(2)； （3）．（4）． 【答案】(1)(2)0（3） （4）或 【详解】（1）解： ． （2）解：原式． （3）解： （4）∵， ∴， ∴或， ∴或． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)(2)18 【解析】（1）由题意得：a=8 ，， ， 16的平方根是，,的平方根是； （2）解：，， 的整数部分是15，小数部分是， 是整数，且，，， ． 21．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）使用直尺和圆规作图，需保留作图痕迹，不写作法． (1)如图①，高速公路和在我市交于点，若要修一个大型农贸市场，使到，的距离相等，且到，两小镇距离也相等．请作出市场的位置． (2)如图②，已知（），在上取一点，使． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，点或点即为所求． （2）解：如图所示，点即为所求， ∵在的垂直平分线上，∴． 22.（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由），∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见解析；（1）见解析；（2） 【详解】解：∵，∴； （1）证明：由折叠知，，在中，，∴，∴； （2）解：由折叠知，，， ∵，∴，∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 23．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)1.414(2)见解析，(3)见解析 【详解】（1）解：．解方程得（保留到0.001），即． 故答案为：1.414； （2）解：∵，∴， 设，画出示意图，由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去，解方程得（保留到0.001），即． ∴黄金分割数． （3）解：如图，即为所求 24．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】(2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】(3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵是的中线，∴， 在和中，，∴； (2)，理由如下：由（1）知，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； (3)，理由如下：∵为的中线，∴， 在和中，，， ∴，，又∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． 25．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴；（4分） 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接，（5分） ∵平分，∴， ∵，，∴，∴，（6分） ∵，∴，∵，∴，（7分） ∵平分，∴，∵，∴，∴，（8分） ∵，∴；故答案为：；（9分） 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴， ∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． 26．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)请找出图中与相等的角，并说明理由；(2)如图2，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)，理由如下： ∵，，∴，∴； (2)证明：过点作交于点，如图， ∵，∴， 在和中∴，∴，则； （3）解：过点作交的延长线于点，如图， 同理可证，则，， 设，∵，∴，∵，∴， ∴，， ∵的面积为，∴的面积为，的面积为，则的面积为， 在和中∴，∴， 则， ∵，即， ∴，∴， 则． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $