第3章 圆的基本性质【单元培优自测卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章 圆的基本性质【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 2．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 3．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且，以点为圆心，适当长为半径作弧，交边，于点，；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 7．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 9．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 10．某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．如图，在中，是直径，连接，若，于点，，则的长是_____________． 12．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 13．如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 14．若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是___________． 15．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加______平方米． 16．如图，点，，，，，是的六等分点，连接，，点为弦的中点，点为上一点．已知的直径为，则的周长最小值为__________． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）如图，在中，为半径上一点．过作弦，交于，两点．连接并延长，交于点，连接交于点．已知． （1）求证：； （2）探究线段，长度之间的数量关系，并证明． 18．（8分）如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边，．某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边上，点P在圆弧上，且测得．记圆心为点 （1）求圆心O到竹竿的距离的长． （2）求门洞的半径． 19．（8分）如图，为的直径，弧弧，E为弧上一点，延长至点A，使，连接． （1）求证：； （2）延长交于点B，连接，若，，求的长． 20．（10分）如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点． （1）求证：； （2）当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：． 21．（10分）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移． （1）如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长． （2）如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长． 22．（12分）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点是上的一动点（不与点，点重合），连接． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②设，的弧长为，求关于的函数关系式． 23．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点在弧上，连接、，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $第3章圆的基本性质【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选 项，不选、多选、错选，均不给分) 1.下列说法中正确的是() ①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦 A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概 念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键. 解：，直径是经过圆心的弦， .①正确，符合题意： ,等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， .②错误，不符合题意： ,相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， .③错误，不符合题意； ,平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， .④错误，不符合题意： 故选：A, 2.如图，⊙0的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°，则 ∠BOC的度数是() B A.100° B.120° C.130° D.140° 【答案】D 【分析】首先作OM⊥AC于M,作ON⊥BD于N,利用“等弦对等弦心距”得出 OM=ON,进而判定OP平分∠APB并求出∠APB的度数，随后在四边形OMPN 中利用内角和算出∠MON,最后通过证明RIAOMCS≌RIAONB实现角度转化，从而求得 ∠BOC的度数 解：如图，作OM⊥AC于M,作ON⊥BD于N, M B AC=BD ∴.OM=ON ∴.OP平分∠APB .∴.∠APB=2∠OPB=40° ∴.∠MON=360°-∠OMP-∠ONP-∠APB ∴.∠M0N=360°-90°-90°-40° ∴.∠MON=140° '在Rt△OMC与Rt△ONB中 OM=ON OC=OB ∴.Rt△OMC≌RtAONB(HL) ∴.∠MOC=∠NOB ∴.∠NOB+∠CON=∠MOC+∠CON ∴.∠BOC=∠MON=140° 3.如图，在⊙0中，弦AB‖CD,AB=12,CD=16,且AB与CD位于圆心O的同 侧.若AB与CD之间的距离为2，则⊙0的半径为() D A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可. 解：过点O作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连接OC,OA, ABIICD,OE⊥CD, .OE⊥AB, CB=0=84F=48=6, 设OE=x,则OF=x+2, 在RtAOCE中，OC2=x2+82, 在Rt△OAF中，OAP=(x+2)}'+62, 0A=0C, x2+82=(x+2)2+6, 解得：x=6, .0C=V6+82=10, 即⊙0的半径为10. 4.如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=52°，①以点B 为圆心，适当长为半径作弧，交边BA,BC于点D,E;②分别以D,E为圆心， 大于2DE长为半径作弧，两弧交于点P:⑧作射线BP,则∠ABP=（) A.19° B.22° C.24° D.26° 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，可推出∠ABC=38°，最后根据所画射线为∠ABC 的角平分线可求得答案， 解：：AB为半圆O的直径， .∠ACB=90°， ∠CAB=52°， .∠ABC=38°， 根据作图步骤可得：BP平分∠ABC, :∠ABP=)∠ABC=)×38°=19. 2 5.如图，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=54°，则∠AB0的度数是() B A.54° B.27 C.36° D.108° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB,根据等腰三角形的性质求出∠ABO即可. 解：，∠ACB=54°， ∴.∠AOB=2∠ACB=108°， ..OA=OB, ÷∠AB0=180°-，∠40B=36°. 2 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4,则这个三角形的外接圆的直径是 () B. 4v3 8v3 A.8 3 D.4 3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形30°角的性质以及勾股定理.根据 30°所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可， 解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， B .∠B=30°， :AC=)4B, 2 根据勾股定理得：BC2+AC2=AB2, 即+=， 解得：AB=8v3 二这个三角形的外接圆的直径是8 3 故选：C 7.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,连接OA,OC,若∠ADC=122°，则∠AOC 的度数是() B A.106° B.116 C.122 D.136 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度 数 解：四边形ABCD内接于⊙O, .∠B+∠ADC=180°， ∠ADC=122°， ∠B=180°-122°=58°， :∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角， .∠AOC=2∠B=2×58°=116°」 8.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若 ∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为() D B A.5 B.10 C.12 D.20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接AO,BO,根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心 角的定义即可求解. 解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO,BO, B .∠AOB=2∠ADB=36°， 360? 这个正多边形的边数为367=10， 故选：B 【点拨】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理. 9.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，O为对角线BD上一动点，以O为圆 心，2为半径画弧交正方形边AD于点E,交CD于点F,交BD于点M,若 ∠EOF=150°，则EMF的长为() A. 5π π 3 B.3 7π5π C.3或3 D. 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可. 150π×25π 解：如图：当弧EMF是劣弧时，则弧长为180 3； E M 360-150)π×27π 当弧EM是优弧时，如图，则弧长为 180 3 D M B 7π5π ∴弧EMF的长为3或3· 10.某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形 ABCDEF的性质进行研究.如图所示，测得AB=1,则四边形GCHF的面积是 () y G B E 2V5 A. B.5 C.23 D.35 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质等，由六边形 ABCDEF是正六边形，可得AB=BC=AF=L,∠ABC=∠BAF=120°，即得 BAC)80°-乙ABC)30°，得到G4E=99,即得到4G)FG,再利用勾股定理可得 FG-23 ，再根据四边形GCH是菱形即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键。 解：：六边形ABCDEF是正六边形， ∴.AB=BC=AF=1,∠ABC=∠BAF=(6-2)x180°÷6=120° ∴∠B1C=2180°-∠ABC)=2（180-120）=30°， ∴.∠GAF=120°-30°=90°， 同理可得，∠AFB=30°， :4G=)Fc, AG2+AF2=FG2, rP- 解得FG=2 同理可得，CG=CH=FH=2 3, ∴四边形GCHF是菱形， 四边形uE的面积为C三3一x123 3 故选： A 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11,如图，在⊙0中，AE是直径，连接BE,若AB=8,OC⊥B于点D,CD=2,则 BE的长是 【答案】6 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出OD,根据三角形中位线定理求出结 果即可. 解：OC⊥AB,OC为⊙O的半径，AB=8, 4D=DB-14B-4. 2 ~在RtAAOD中，∠AD0=90°， :0A=(0C-CD}2+AD2,即0=(0A-2)}+4, 0A=5, .OD=0C-CD=5-2=3, :AO=OE,AD=DB, ∴.BE=2OD=6 12.如图，△ABC内接于⊙0，∠CAB=70°，D是BC延长线上一点，将点D关于直线 AC对称，对称点E恰好落在BC上，且CE∥AB,则LD=°. B 【答案】40 【分析】连接AE,设∠D=x,∠DAC=y,根据折叠的性质，三角形的外角的性质，圆周角 定理，以及平行线的性质，推出x+y+70°-y=110°，即可得出结果。 解：连接AE, 图1 对称， .∠DAC=∠CAE, 设∠D=x,∠DAC=y, ∴∠ACB=∠D+∠DAC=x+y, ∠CAB=70°，CE AB ∴.∠ACE=180°-∠CAB=180°-70°=110° :∠BCE=∠BAE=70°-y, ∴.x+y+70°-y=110° ∴x=40° .∠D=40° 13.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O直径，点E为半径OB上 一点，连接CE并延长交圆O于点F,连接BF,若∠D=115°，则∠CFB的度数为 D B 【答案】25°/25度 【分析】连接BD,则∠ADB为直角，可以求出∠CDB的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可 求出∠CFB的值. 解：连接BD,如图所示 :AB是圆O直径， ,∠ADB为直角， .∠ADB=90°， ∴.∠CDB=∠ADC-∠ADB=115°-90°=25°， :圆周角∠CDB与圆周角∠CFB所对同一段弧， ∴.∠CFB=∠CDB, ∴.∠CFB=25°. 14.若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度 数是 【答案】90 【分析】本题考查了圆与正多边形的相关概念，熟练掌握边心距的概念是解题的关键.由题意 得，ON⊥AB' 0N=号B,根据三线合得到N=BN-号4B,那么AN=BN=ON,继 而△OAW,△ONB均为等腰直角三角形，即可求解。 解：由题意得，ON1ABON=2AB, OA=OB. AN=BN=1 .AN BN =ON, ON⊥AB. ∴△OAN,△ONB均为等腰直角三角形， ∴.∠A0B=45°+45°=90°， .这个正多边形的中心角的度数是90°， 故答案为：90 15.现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图 ①)，餐桌两边AD和BC平行且相等，AB⊥AD(如图②)，小华用皮尺量得 AC=1.6米，AB=0.8米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加一平方米. D B ① ② 32π-24V5 【答案】 75 【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，熟练掌握 相关性质定理，正确计算弓形的面积，是解答本题的关键. 设圆心为O,连接DO,过点O作OE⊥AD于点E,根据题意，求出AD,EO,从而得到 ∠A0D=120°，利用S号形D=S扇形40D-S40D,由此求出答案. 解：根据题意，圆形桌面如图所示， E B 设圆心为O,连接DO,过点O作OE⊥AD于点E, 则∠DAB=∠ABC=90°， .AC是⊙O的直径， AC=1.6,AB=0.8, .∠ACB=30°， :AD和BC平行且相等， .∠ACB=∠DAC=30°， .0-40-04(米， :B=VA02-0B-25 5 :D=2AB=4 5 ∠CAD=∠ODA=30° ∴.∠A0D=120°， .S号形D=S筋形4OD-S,AOD, 120π×0.82143 X- 25 ×0.4, 360 _16π4v5 7525· S号形AD=S号形BC, .桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加2S0-32,245 75 (平方米)， 32π-245 故答案为： 75 16.如图，点A,B,C,D,E,F是⊙O的六等分点，连接AD,DE,点G为弦 DE的中点，点H为AD上一点.已知OO的直径为4，则△FGH的周长最小值为 ⊙ H G D 【答案】V7+13/3+√万 【分析】如图所示，连接BH,BG,BD,BE,OG,OE,OF,首先得出当点B,H,G 三点共线时，△FGH的周长取得最小值，即FG+BG的长度，然后得到BE=AD=4,△ODE 是等边三角形，DE=OD=)AD=2,然后求出DG=)EG=1,然后利用勾股定理求解即 2 2 可 解：如图所示，连接BH,BG,BD,BE,OG,OE,OF, B :点A,B,C,D,E,F是OO的六等分点， .AD,BE是直径，点B和点F关于AD对称， .BH FH, ∴.△FGH的周长=FG+FH+HG=FG+BH+HG≥FG+BG, :当点B,H,G三点共线时，△FGH的周长取得最小值，即FG+BG的长度， :⊙0的直径为4， ∴.BE=AD=4, 由题意得，AODE是等边三角形，DE=OD=)AD=2 2 ∴.∠ODG=60°， 点G为弦DE的中点， .OG⊥DE, :DG=)EG=1, 2 BD=BE2-DE2=23,OG=OD2-DG2=3, ..BG=BD2+DG2=13, 根据题意得，OF∥DE, OG⊥DE, .∠FOG=90°， :GF=0F2+0G=2+3=7, :.FG+BG=+3, ∴.△FGH的周长最小值为V7+V13. 故答案为：√7+3. 【点拨】此题考查了正多边形和圆，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，轴对称 的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键， 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20-21题每题10 分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.(6分)如图，在⊙0中，M为半径OA上一点.过M作弦BC⊥OA,交O0于B ,C两点.连接BO并延长，交⊙O于点D,连接AD交BC于点E.已知EB=ED. (1)求证：CD=60°； (2)探究线段CE,EM长度之间的数量关系，并证明. M B 【答案】(1)证明：如图，连接OC, D 0 E M B BC⊥OA. :AB=4C, EB=ED. ∠B=∠D, .'CD=AB. :CD=4B=4C, .∠C0D=60°. .CD=60°： (2) 解：CE=2EM, 证明：连接AC, .∠COD=60° ∠B=D= ∠C0D=30°， ∠EAC=∠ECA=∠B=30°， .AE=CE .OA=OD ÷.∠0AD=∠D=30°， :AE=2EM, :CE=2EM 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、垂径定理、含30°直角三角形的 性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键 (1)连接OC,根据垂径定理得AB=AC,再根据EB=ED,得∠B=∠D,CD=AB，,所以 CD=AB=AC,∠COD=60°，即可得出结论： (2)连接AC,根据圆周角定理得∠B=∠D-∠C0D=0,所以B4C=BCA=∠B-30,所 2 以AE=CE,∠OAD=∠D=30°，根据直角三角形30°的性质得AE=2EM,所以CE=2EM. 解：(1)略 (2)略 8.(8分)如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示 意图，已知矩形ABCD的边AB=80cm,BC=160cm.某学习小组用一根长为220cm 的笔直竹竿P测门洞大小，调整竹竿位置使点O在边BC上，点P在圆弧上，且 P9⊥BC.测得B0=20cm.记圆心为点O. (1)求圆心O到竹竿的距离0E的长. (2)求门洞⊙0的半径. D B 图1 图2 【答案】(1)圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm;(2)门洞⊙0的半径为100cm 【分析】本题考查了垂径定理的应用、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键 (1)作OG⊥AD,垂足为G,根据垂径定理和矩形的性质计算即可： (2)先计算出PH长，再设⊙O的半径为Rcm,两次利用勾股定理建立关于R方程 R2=(140-√R2-602)2+802,解方程即可得到结果. (1)解：如图，作OG⊥AD,垂足为G, D E H D B C 图2 :ABCD是矩形，且BC=160cm, ÷4G=)4AD=BC=80cm, 2 2 根据题意可知AH=BQ=20cm, .OE=GH=AG-AH=80-20=60(cm), ·圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm: (2)解：P2=220cm,H0=80cm, ∴.PH=PQ-H9=220-80=140(cm). 在RtAPEO中，设OO的半径为Rcm, 由勾股定理可得PE=VR2-OE2=VR2-60(cm), ..OG=EH=PH-PE=(140-R2-602)cm 在Rta0GD中，R2=(140-VR2-602)2+802, 解得R=100, ⊙0 故门洞的半径为 00cm. 9.(8分)如图，FG为⊙0的直径，弧HF=弧HG,E为弧HF上一点，延长FE至 点A,使EA=EG,连接HG. (1)求证：AH=HG: (2)延长AH交⊙0于点B,连接BG,若AB=12V2,BG=6,求FG的长. E H 【答案】(1)证明：连接EH,FH, ,FG为⊙0的直径， ∴.∠GEF=90°=∠FHG, .∠AEG=90°， HF HG, ∴.∠HEG=∠HFG=∠FGH=45°， ∴.∠AEH=45°=∠HEG, EA=EG,EHEH, .△AEH≌aGEH, ..AH=HG: (2)10 【分析】(I)连接EH,FH,证明△AEH≌aGEH,即可： (2)过点G作GK⊥AB,易得△BGK是等腰直角三角形，求出GK,BK的值，设AH=HG=x ,在Rt△HKG中，HG=HK2+KG,列出方程，求出x的值，再利用勾股定理，进行求解即 可 解：(1)略 (2)过点G作GK⊥AB,连接BF,如图， E .∠HBG=∠HFG=45°， ..BK=GK, BK-KG= 2 x6=32, 设AH=HG=x,则：HK=AB-AH-BK=92-x, 在Rt△HKG中，HG=HK2+KG, :2=(92-x+32,解得：x=52: :HG=52, .∠HFG=∠FGH=45°，∠FHG=90°. ∴.FG=V2HG=10 【点拨】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.熟练掌握同（等）弧所 对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键 20.(10分)如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，O0是△PAD的外接圆， ⊙O交边AB于点E. (1)求证：PA=PD: (2)当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：A征=E. •0 B 【答案】(I)证明：四边形ABCD是矩形，且点P是边BC的中点， .AB=DC,∠B=∠C,BP=CP, 在△ABP和△DCP中， BP=CP ∠B=∠C AB=DC ∴.△ABP=ADCP(SAS), :.PA=PD: (2) 证明：如图，连接OA,OE,OD,OP,并延长PO交AD于点M, A M D B :四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90° OA=OD.PA=PD. ∴，点P、O都在线段AD的垂直平分线上， .PO垂直平分AD, .∠DMP=90°=∠BAD. .OP∥AB. :AE是以点O为中心的正六边形的一边， .由正六边形性质可得：∠AOE=60°， .OA=OE, ∴△AOE是等边三角形， ∴.∠AE0=60 又：OP∥AB ∠EOP=∠AEO=60°， .∠AOE=∠EOP=60°， :AE=EP. 【分析】(I)根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则△ABP=△DCP, 根据“全等三角形的对应边相等”得到PA=PD: (2)连接OAOE,OD,OP,并延长PO交AD于点M,先证明OP∥AB,再根据“有一个角 是60°的等腰三角形是等边三角形”得到△AOE为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错 角相等”得到∠EOP=∠AE0=60°，则∠AOE=∠EOP=60°，最后根据“在同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等”得到AE=EP 解：(1)略 (2)略 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质， 线段垂直平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边 三角形的判定及性质是解题的关键. 21.(10分)如图，半圆O与直线AB相切于点B,BC为半圆O的直径，OB=2.P 为直线AB上的一动点，过点P作射线P№，∠QPB=60°，射线P№随点P的移动而平 移. (1)如图1，移动点P,使得射线PQ与半圆O交于点D,E,连接OD,OE.当 OD∥AB时，求DE的长. (2)如图2，移动点P,使得射线P№经过点C,射线P9与半圆O交于另一点F, 求CF的长. Q D B 图1 图2 2π 【答案】(1)3：(2)25 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判 定和性质是解题的关键： (1)根据OD∥AB,可得∠QD0=∠QPB,进而判定△EOD为等边三角形，根据弧长公式即 可求解： (2)连接OF,作OD⊥CF,根据题意求得∠PCB的度数，然后根据勾股定理，即可求解： (1)解：ODAB, ∴.∠QD0=∠QPB=60°. :OE =OD. :△EOD为等边三角形， OB=2, π×2×602π 则E 18039 (2)解：连接OF,作OD⊥CF: P B ∠QPB=60° 半圆O与直线AB相切于点B, .∠CBP=90° .∠PCB=180°-∠CPB-∠CBP=180°-60°-90°=30° 0C=0B=2, :0D=0C=1, 2 :CD=V0C2-0D2=V2-P=V5, ∴.CF=2CD=2V3 22.(12分)如图，已知⊙0的半径为2，弦CD⊥直径AB,垂足为点E,点F是 AC上的一动点（不与点A,点C重合），连接AF,AC,AD,FC. (1)求证：∠ACD=∠ADC, (2)若<AFC=∠aCD 3 ①求∠ACD的度数. ②设∠FAC=x,AF的弧长为y,求y关于x的函数关系式. D B 【答案】(I)证明：：直径AB⊥CD, .AB平分CAD, .CA=AD, .AC=AD, ∴.∠ACD=∠ADC: K2)①6750②y=-元x+32 x+ 2 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，圆内接四边形对角互补，弧长 公式， 对于(1)，根据垂径定理可得CA=AD,进而得AC=AD,再根据等边对等角得出答案： 对于(2)①，根据圆内接四边形的对角互补得∠AFC+∠ADC=180°，再结合已知条件可得答 案： ②连接OC,OF,先根据圆周角定理求出∠AOC=135°，即可得∠FOC=2x°，接下来表示出 ∠AOF,然后根据弧长公式得出答案。 解：(1)略 (2)解：①由(1)得∠ACD=∠ADC, LAFC+∠ADC=180,∠AC=∠4CD. ÷3<ACD+∠ACD=180, 5 解得∠ACD=67.5°： ②连接OC,OF, .∠ACD=∠ADC=67.5°， .∠AOC=135° ,∠FAC=x°， .∠F0C=2x°， .∠A0F=∠A0C-∠FOC=I35-2x)°， y-035-2Px2.352x.-x+ 3π 180° 90 452· E 23.(12分)如图，△ACD内接于⊙0，AC=AD,AB为⊙0的直径，AB交CD于点 E. (1)如图1，求证：AB平分∠CAD; (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA: (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. D D D E B F 图1 图2 图3 【答案】(I)证明：连接BD、BC, .AC=AD, .∠ADC=∠ACD, :AB为⊙0的直径， .∠ADB=∠ACB=90°， .∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD, ∴.∠BDC=∠BCD, .BC=BD, .∠BAC=∠BAD. .AB平分∠CAD: D E B 图1 (2)证明：连接AF, :FC=F元， ∴.∠FAC=∠FDC, BD=BD, .∠BFD=∠BAD, ,∠ADF=2∠BFD, ∴.∠ADF=2∠BAD, :AB平分∠CAD. .∠CAD=2∠BAD. .∠CAD=∠ADF, 又，∠FAC=∠FDC, ∴.∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC, ..FD=AC. ∴.DF=CA, CA=DA. .DF =DA: D E B 图2 (3)BD=2V5 【分析】(1)根据等边对等角得到∠ADC=∠ACD,圆内直径所对的圆周角是直角得到 ∠ADB=∠ACB=90°，利用角之间的和差关系得到∠BDC=∠BCD,再利用同圆中相等的圆周角 所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论： (2)根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到∠FAC=∠FDC和∠BFD=∠BAD,再结合条件， 利用(1)的结论得到∠CAD=∠ADF,利用角之间的和差关系得到∠FAD=∠ADC,最后利 用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论： (3)根据全等三角形的判定和性质得到AB⊥CD和CD=FA,根据勾股定理、垂径定理和等 量代换得到BF2=4OE2,设BE=x,在Rt△ODE中，根据勾股定理列方程得BE=2,最后在 Rt△BDE中，根据勾股定理得BD=2V5. 解： (1)略 (2)略 (3)解：连接AF、OD, 由(I)知，AB平分∠CAD, ∴.∠EAD=∠EAC. AC=AD,AE=AE, .△ACE≌△ADE(SAS), .∠AED=∠AEC, :∠AED+∠AEC=180°， ∴∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD, 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, ∴.aDAC≌aADF(SAS). ∴.CD=FA, .BF +BE =CD, .BF +BE FA, ,AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB2, ..AF =CD, .CD2+BF2 AB2, 又AB为⊙O的直径，AB⊥CD, AB-208-20D DE-CE-CD. .(2DE)}2+BF2=(20B)2, 整理得，4DE2+BF2=4OB2, 即4DE2+BF2=40D2 又0E2+DE2=OD2, .4DE2+BF2=4(OE+DE2), 整理得，4DE2+BF2=4OE2+4DE2, .BF2=40E2, OE=3, .BF=6, 设BE=x,则OD=OB=OE+BE=3+x,CD=BF+BE=6+x, DE=)cD=,（6+x)=3t5x, 1 2 2 2 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2, =(3+x, 整理得：x2+4x-12=0, 解得：，=2，名=-6（舍）， .BE=2, 1 DE=3+5x=4. 2 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE2=BD2, .BD2=2+42=20, .BD=2V5. B 0 C 图3