山东省济南2026-2027学年北师大版九年级上学期数学第一次月考监测试题

九年级上学期第一次月考监测试题（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章】（北师大版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【详解】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 2.下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； 3.观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 4．如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D．与互相平分 【答案】A 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故本选项正确； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故本选项错误； C、四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 不能推出，平行四边形是菱形，故本选项错误； D、四边形是平行四边形， 必有与互相平分， 四边形不一定是菱形； 5．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 6．顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（    ） A．对角线相等且平分 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线相等且垂直 【答案】C 【详解】解：如下图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 证明：由于E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据三角形中位线定理得：，， ∴四边形是平行四边形 ∴当时， ∴四边形是矩形． ∴顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是对角线垂直． 7．2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 8．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 9．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】 C 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 正确的是：①②④ 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在△BCE与△CDF中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在中，H是边的中点， ∴， 故④正确； 连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 12.如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 【答案】矩形 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵分别平分， ∴，即． 同理可证， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 13．已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由得：， 解得：； 若三角形的三边长分别为：， ∵， ∴不能构成三角形； 若三角形的三边长分别为：， 则这个三角形的周长， 故答案为： 14．如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴． 故答案为： 15．小赵同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小赵同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点作轴于，过点作轴于，于，如图，    则四边形为矩形， ，，， ， 四边形为正方形， ，， 点， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ， 或， 所以，； （2）解： 或 ∴，． （3） 解： 方程化为一般式为， ，，． ． ， 即， 所以，． 18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE ． 求证：四边形ABEC是矩形； 【答案】见详解 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，， ∴， ∴， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形ABEC是矩形． 19.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，， 或． 20.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求线段的长． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， 在中， ，， 根据勾股定理得： ． 在中，， ． 21．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 22．如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明见详解 (2)（ⅰ）证明见详解；（ⅱ），证明见详解 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见详解，，，，， (3) 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 24．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至F，使．连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过作，交延长线于D， ∵在直角梯形中，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 得：， ∴． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考监测试题（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章】（北师大版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 2.下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 3.观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 4．如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D．与互相平分 5．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 6．顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（    ） A．对角线相等且平分 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线相等且垂直 7．2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 9．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 12.如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 13．已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为 ． 14．如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为 ． 15．小赵同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小赵同学通过计算，算出了甲走了 步． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则点的坐标为 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程： (1)； (2)． (3)． 18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE ． 求证：四边形ABEC是矩形； 19.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 20.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求线段的长． 21．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 22．如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 23．阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 24．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $