山东省菏泽2026-2027学年青岛版九年级上学期数学第一次月考监测试题

九年级上学期第一次月考质量监测试题（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第三节】（青岛版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 2．下列图形一定是相似图形的是（  ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 3．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 4．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 7．新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ） A． B． C． D． 9．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 12.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 13．如图，已知，若，，则 . 14．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 15．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 16．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18题6分，19-20题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 18． 如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 19.设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 20．如图，在中，点在上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若为的中点，，，求的长． 21．如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 22．某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．  (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 23．如图，在△ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 24．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考质量监测试题（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第三节】（青岛版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，（a、b、c为常数），不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理得：，是一元二次方程，符合题意； C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意； 2．下列图形一定是相似图形的是（  ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 【答案】B 【详解】解：A、任意两个菱形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、任意两个等边三角形一定是相似图形，故本选项符合题意； C、任意两个等腰三角形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； D、任意两个矩形的长与宽不一定成比例，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； 3．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 【答案】B 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 4．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：原方程得： 6．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 7．新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 方程即为 方程的根的情况是：有两个相等的实数根 8．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 9．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 10．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 13．如图，已知，若，，则 . 【答案】 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 14．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2026 【详解】解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故答案为：2026 15．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 16．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 【答案】1 【详解】解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）或， 通道的宽为1米， 故答案为：1． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18题6分，19-20题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 【答案】（1）， （2） （3） 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， ． 【小问3详解】 解：方程中的， 所以方程根的判别式为， 所以方程的解为， 即． 18． 如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 19.设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 【答案】（1）△ABC为等边三角形；（2）m=-12． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ①， 又∵的根为， ∴②， 把②代入①得， ∴， ∴为等边三角形； ，是方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴，． 当时，原方程的解为（不符合题意，舍去）， ∴． 20．如图，在中，点在上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若为的中点，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（米） (2)不能，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意，，则（米）， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴，即（米）； （2）解：不能，理由如下， 根据题意，，整理得，， ∴， ∴方程无解， 不能围成面积为平方米的花圃． 22． 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)证明见详解 (2)成立，证明见详解 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 23．如图，在△ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见详解 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 24．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $