精品解析：吉林省松原市滨江中学2026-2027学年上学期第一次检测九年数学试卷

九年级第一次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 ∴对各选项分析如下： A选项：代入后方程为，含有两个未知数和，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为，整理得，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义为形如 的函数，其中的最高次数为，据此判断即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：是反比例函数，不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：是三次函数，不是二次函数，故C选项不符合题意； D选项：符合二次函数的定义，是二次函数，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4. 若是方程的解，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程得关于的方程，再解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入得， 解得，， 故选：A． 5. 二次函数（其中，，是常数，）的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数图象的开口向下，可判断 对称轴在轴的左侧，根据“左同右异”可判断 二次函数的图象与轴的交点在正半轴，可判断 从而可得答案. 【详解】解： 函数图象的开口向下， 对称轴在轴的左侧，根据“左同右异”可得 二次函数的图象与轴的交点在正半轴， 故选D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与三项系数的关系，掌握“利用二次函数的图象判断的符号”是解本题的关键. 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 8. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移规则求解即可． 【详解】解：原抛物线解析式为，向右平移2个单位长度，得， 再向下平移1个单位长度，得． 9. 一元二次方程的两根为、，则的值是________． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴ 故答案为：-2 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 10. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 11. 如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法以及“若，则或”这一性质是解题的关键．在解题过程中，要先将方程化为一般形式，再通过因式分解将其转化为两个因式乘积等于0的形式，进而求解方程． 本题可通过移项，将方程右边化为0，然后对左边进行因式分解，再根据“若几个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”来求解方程． 【详解】解：， ， ， ∴ 或 ， 解得，． 13. 用公式法解方程：． 【答案】＝，＝ 【解析】 【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 这里a＝2，b＝﹣8，c＝3， ∵， ∴x＝＝＝， ∴＝，＝． 【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键． 14. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的定义可以求得m的值； （2）根据（1）中m的值可以解答本题． 【小问1详解】 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得，； 【小问2详解】 解：抛物线有最高点， ， ， 当时，抛物线有最高点， 二次函数的解析式为， 当时，取最大值为2， 最高点的坐标为． 15. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求k的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用方程解的定义得到，解k的方程即可． 【小问1详解】 解：∵有实数根， ∴， 即， ∴． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴， ， 或， 解得． 16. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 17. 如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 【答案】车道宽度为6米 【解析】 【分析】设车道宽度为x米，依题意列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：如图 设车道宽度为x米，依题意，得 ， ， 解得（不符合题意，舍去）， 答：车道宽度为6米． 18. 如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． （1）求点B的坐标； （2）若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线顶点式求出点A的坐标，设点C的横坐标为参数，结合轴与抛物线解析式表示出点B的纵坐标，进而表示出的长度．利用的条件建立方程，结合点B在A左侧的范围求解，得到点B的坐标． （2）以为边构造含角的辅助线，过点A作的垂线，截取等长线段构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出该线段端点的坐标；结合点B的坐标求出直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为， 设点C的坐标为， ∵点B在A的左侧， ∴，； ∵轴，点B在抛物线上， ∴B的坐标为， ∴． ∵， ∴ ， 整理方程： ， ， 解得（对应点A，舍去），． 将代入抛物线解析式， 得， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 过点A作，交于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过E作轴于F， ∵轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴： 由（1）知，，， ∴，， ∵A点坐标， ∴， ∴， ∴E的坐标为． 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， 因此直线的解析式为． 19. 如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当0<x<3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值， （2）根据图象即可求出y的取值范围， （3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝+bx+c 解得， 抛物线的解析式为：， ； 【小问2详解】 ，物线的对称轴为，开口向下，y的最大值为4， 如图， 0＜x＜3时，； 【小问3详解】 设P（x，y）， △PAB的高为|y|， A（﹣1，0），B（3，0）， ， ， 解得， 当时， ， 此时方程无解， 当时， ， 解得， 或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销售2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的________折出售． 【答案】（1）该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20% （2）①每千克春笋干货应降价1元或9元．②八 【解析】 【分析】（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克春笋干货降价y元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②要尽可能让利于顾客，应降价9元，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干货的销售利润为元，平均每天可售出千克， 根据题意，得， 解得，． 答：每千克春笋干货应降价1元或9元． ②要尽可能让利于顾客，应降价9元， ， 应按原售价的八折出售. 21. 如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． （1）当点F与矩形顶点重合时，； （2）求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； （3）当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． 【小问2详解】 解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； 【小问3详解】 解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 22. 如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； （3）当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）4 （4）或1 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，，，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； 【小问4详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是( ) A. B. C. D. 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的解，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 二次函数（其中，，是常数，）的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 一元二次方程的一次项系数是_____． 8. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 9. 一元二次方程的两根为、，则的值是________． 10. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 11. 如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用因式分解法解方程：． 13. 用公式法解方程：． 14. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 15. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求k的值． 16. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 17. 如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 18. 如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． （1）求点B的坐标； （2）若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 19. 如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当0<x<3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 20. 杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销售2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的________折出售． 21. 如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． （1）当点F与矩形顶点重合时，； （2）求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； （3）当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 22. 如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； （3）当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $