精品解析：吉林省松原市宁江区第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次质量检测数学试题

第一次质量检测考试 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．是一元三次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 3. 若一元二次方程有一个根是，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知概念、准确计算是解题关键； 把代入原方程得到关于m的一元一次方程，解关于m的方程即可. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：； 故选：D. 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可知，二次函数的对称轴是，，所以二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大，因为点关于对称轴的对称点是，则可知． 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 5. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 6. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据其开口方向，对称轴，图象交轴的负半轴，可知，，，，从而可以判断①，②；根据图象过，，可得，，推出，可判断③；由，，可判断④． 【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，， 图象开口向上， ， ， ， 图象交轴的负半轴， ， ；故①错误； ，， ， ，故②正确； 图象过，， ，， ，， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答本题的关键． 直接根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：∵二次函数为顶点式， ∴其顶点坐标为． 故答案为：． 8. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为， ∴一次项系数为， 故答案为：． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的顶点坐标是，可知平移后的顶点坐标是，写出平移后二次函数的顶点坐标式解析式即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的顶点坐标是， 平移后的二次函数解析式为． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 11. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 原方程变形后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可变形为， ∴， 即， ∴或， ∴，． 13. 用公式法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用 代入相应的数值计算即可． 【详解】 ， ， ． 【点睛】本题主要考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式是解题的关键． 14. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线，得，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 15. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 16. 已知二次函数． （1）写出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）对称轴是直线，顶点坐标是 （2）当时，y随x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：， 当时，y随x的增大而增大． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是抛物线上不同的两点，求m的值； （3）当时，直接写出y的取值范围： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数值，二次函数图象的性质， 对于（1），将这三点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），当代入关系式求出y，再根据函数值相等求出x值即可； 对于（3），先求出对称轴可得最大值，当时，求出y值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得 ， 解得， 所以抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 【小问3详解】 ． 解：抛物线的关系式为， ∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小，当时，函数有最大值7． ∵在之间， ∴y的最大值为7， ∵，当时，， ∴y的最小值为， ∴y的取值范围是． 故答案为：． 18. 如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，设边的长为． （1）用含x的式子表示边的长． （2）求边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握矩形面积和周长公式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据即得边的长； （2）根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵矩形花坛中，， ∴． 故边的长为． 【小问2详解】 解：∵矩形花坛面积为， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴． 故边的长为． 19. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可； （2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式可得， ，解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时，可得， 解得， ， ， ． 20. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得元的销售额； 【答案】（1）； （2）当杨梅每千克售价为元或元时，每天能获得元的销售额． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降元，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，每天能售出：， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 或， 答：当杨梅每千克售价为元或元时，每天能获得元的销售额． 21. 如图，矩形的顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为． （1）当_____秒时，的边QR经过点B； （2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）当时，直接写出t的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，得到，进而得出边的关系进行求解； （2）由点P和点Q的运动情况可知，和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可； （3）将代入（2）中解析式计算符合要求的值即可． 【小问1详解】 解：由于为等腰直角三角形，， 当的边QR经过点B时，， ， ， ； 故当1秒时，的边QR经过点B． 【小问2详解】 由（1）知，当时，的边QR经过点B； 当时，，，与矩形重叠部分为五边形； 当时，，，、两点两点相遇； 故按一下情形分类讨论： ①当时， 如图所示，设交于点，过作于点， 则，， 梯形矩形梯形 ； ②当时， 如图所示，设交于点，交、于点、， 则，， 梯形 ； ③当时， 如图所示，设交于点， 则， ， ， ； 综上所述，S关于t的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，即， 即，解得（舍）； ，解得（舍）； ，解得； 故． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质、面积的计算，其中根据图像的变化情况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为，点A、点B均在这个抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．当B在A的左侧时，抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标______； （3）当图象G对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）设图象G的最大值与最小值的差为h，求h与m之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点的坐标代入函数解析式可得到结论； （2）将函数解析式变成顶点式，进而得出结论； （3）根据当B在A的左侧及二次函数的增减性列不等式组即可求解； （4）①根据题意，需要分两种情况：当时；当时，再对于每部分最高点和最低点进行讨论，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c为常数）与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为， ∴， 解得， ∴此抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵图象G对应的函数值y随x的增大而减小， ， 解得； 【小问4详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； ， ， ①当时，； ②当时，，； 综上所述，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，分类讨论思想等相关知识，根据二次函数的性质进行分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次质量检测考试 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若拋物线的开口向上，则m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 3. 若一元二次方程有一个根是，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 8. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 11. 如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 13. 用公式法解方程：． 14. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）当时，求y的值． 15. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 16. 已知二次函数． （1）写出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是抛物线上不同的两点，求m的值； （3）当时，直接写出y的取值范围： ． 18. 如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，设边的长为． （1）用含x的式子表示边的长． （2）求边的长． 19. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 20. “端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克元的价格出售杨梅，每天可卖出千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降元，则每天能多售出千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得元的销售额； 21. 如图，矩形的顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，、两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒，和矩形重叠部分的面积为． （1）当_____秒时，的边QR经过点B； （2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）当时，直接写出t的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为，点A、点B均在这个抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为．当B在A的左侧时，抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标______； （3）当图象G对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）设图象G的最大值与最小值的差为h，求h与m之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $