第一次阶段测试（1-2章）2026-2027学年北师大版八年级上册数学

2026-2027学年北师大版八年级上册数学第一次月考测试（1-2章） 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．4 C．3 D． 3．（本题3分）与最简二次根式是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．（本题3分）估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．（本题3分）若，则的值为（     ） A． B．2 C． D． 6．（本题3分）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 7．（本题3分）如图，在四边形中，，E是的中点，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 8．（本题3分）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 9．（本题3分）随着低空经济上升为国家战略，贵州正探索一条契合山区特色的发展路径，以“无人机通航干线航空”构建的立体服务网络，将持续为乡村振兴注入全新动能．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 12．（本题3分）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是________． 13．（本题3分）如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 14．（本题3分）若，满足，则________； 15．（本题3分）一个长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为________． 16．（本题3分）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）计算： (1) (2) 18．（本题8分）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 19．（本题8分）如图，在中，，，，试求线段的长． 20．（本题8分）学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统，在对系统进行测试中，小明从路口处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号；小华同时从处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号．若小华步行速度为24米/分，小明步行速度为32米/分，恰好在出发10分钟后信号开始不清楚．求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径？ 21．（本题9分）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 22．（本题9分）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度： (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； 23．（本题10分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 24．（本题12分）直角三角形探究 (1)如图①，是直角三角形，，是的中点，延长到点，使，连接，可以得到，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．求证：是直角三角形． (2)如图②，是直角三角形，，是斜边的中点，，分别是边，上的点，且．求证：． (3)已知是直角三角形，，是斜边的中点，，分别是直线，直线上的动点，且．若，，，请直接写出的长． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版八年级上册数学第一次月考测试（1-2章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B C C A A B 1．B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是小数，故不是最简二次根式； B、满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式； C、 被开方数是分数，故不是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式． 2．C 【分析】直接利用勾股定理，已知斜边和一条直角边，求另一条直角边 【详解】解：在中，，，，， 根据勾股定理，代入得： ， （边长为正数，负数舍去）． 3．B 【分析】先化简为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义求的值． 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴． 4．C 【分析】先化简原式，再估算的范围确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即原式的值在和之间． 5．B 【分析】根据的取值范围判断绝对值内式子和二次根式底数的正负，再化简计算. 【详解】解：∵. ∴，. ∴，. ∴原式. 6．C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 7．C 【分析】延长，交延长线于，可证，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，从而求出的长． 【详解】解：如下图，延长，交延长线于， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 8．A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 9．A 【分析】通过勾股定理计算两点之间的距离，再作差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从仓库到社区配送点的最短路程比原来少． 10．B 【分析】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可． 【详解】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，， ； 如图2，将前面和右面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，，， ． ， 最短距离为． 11． 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 12．5 【分析】化简二次根式后，根据结果为整数的条件，推导正整数的最小值． 【详解】解：先化简得 ∵ 是整数，是正整数， ∴ 是整数，即是完全平方数， ∵ 5是质数，完全平方数的所有质因数指数都是偶数， ∴ 正整数的最小值是5． 13．/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 14． 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，多个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵ ， 又∵， ， ∴，， ∴，， ∴． 15． 【分析】已知长方体体积和高，底面为正方形，先利用长方体体积公式求出底面积，再根据正方形面积公式求边长. 【详解】解：由题意，长方体的底面积为， ∵长方体的底面是正方形， ∴正方形的边长为. 16． 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）运用完全平方公式以及二次根式乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出，根据立方根的定义求出即可； （2）由（1）求出的值，进而求出代数式的值，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得，， ，解得，； （2）解：由（1）得，， ， 的平方根为． 19． 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 20．400米 【分析】根据题意画出图形，分析角度关系，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，小明出发10分钟后到达B点，小华出发10分钟后到达C点， 根据题意可知，，， ． （米），（米） （米） 答：他们研制的信号收发系统的信号传送半径为400米． 21．(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 22．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）首先利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 23．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 24．(1)证明：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∴,即； ∴是直角三角形； (2)证明：延长至点G，使得，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴，     ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴； (3)的长为或． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可； （2）延长至点G，使得，连接，，根据全等三角形的判定和性质进行解答； （3）分两种情况讨论，利用（2）的结论结合勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点在线段上时， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得， ∴，解得， ∴的长为； 当点在线段延长线上时，如图： ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得， ∴，解得， ∴的长为； 综上，的长为或． 答案第2页（共11页） 答案第11页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $