精品解析：重庆市巴蜀中学校2026-2027学年九年级上学期9月数学定时作业

数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，用1除以这个数就能求出它的倒数，据此解答即可． 【详解】解：的倒数为． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意． 3. 年上半年重庆经济运行呈现结构向优的态势，全市地区生产总值达到亿元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可． 【详解】解：． 4. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 7和8之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】先化简二次根式运算，再估算结果的取值范围． 【详解】解： ． ∵， 又∵， ∴． 5. 如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点为， ∴，， ∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴，即， ∴． 6. 在二次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 7. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 8. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 9. 如图，在正方形中，为对角线的中点，把线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接并延长，与的角平分线交于点，连接，若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转可得，，因此．根据正方形的性质有，，结合角平分线的定义得到，进而利用三角形外角的性质求出．连接，证明，得到，因此，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由旋转可得，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 连接． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴． 10. 已知自变量为的两个函数和，其中为正整数，，，，均为自然数，且满足，其中表示，，，中最大的数，例如．下列说法： ①．若函数的图象经过点，则函数的图象恒过点； ②．若，则函数的图象上有6个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） ③．若且关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先由为正整数，且为自然数，得只能为1，2，4，对应最大值为4，2，1，再逐一判断三个说法． 【详解】解：∵为正整数，为自然数， ∴的可能值为1，2，4，对应为4，2，1． ①∵过点， ∴． ∵， ∴， 即， 得． ∵为正整数， ∴， 此时， 当时， 故恒过，①错误． ②∵， ∴， 解得（负值舍去）． ∴，， ∴（）． ∵均为整数， ∴是4的整数因数，即， 对应，共6个整数点，②正确． ③∵且均为自然数， ∴，即． 又， ∴，，． ∴， 方程整理为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，③正确． 综上，正确的个数为2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 13. 如图，将绕点顺时针旋转一定度数得到，连接，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用旋转的性质得到对应边和对应角的关系，由此得到是等腰三角形，再利用三角形外角定理得到的度数，然后可计算得到的度数，最终求得的度数． 【详解】解：，， ． 由绕点顺时针旋转一定度数得到可得，， , ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，二元一次方程组，分类讨论思想，由 和 ，当时，，则方程组化为，解得 ，若，则，得，矛盾；若，则，得 ，代入，得，然后检验即可；当时，，则方程组化为，由得，代入得，即 ，所以，由于，有，即，又 ，则，所以，代入得，即，矛盾，无解，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由和 当时，，则方程组化为： ， 由得，代入得：， 即， 所以， 由于，有，解， 若，则，得，矛盾； 若，则，得， 代入，得 验证第二方程：，成立； 当时，，则方程组化为： ， 由得 ，代入得：， 即，所以， 由于，有，即， 又 ，则 ，所以， 代入得，即，矛盾，无解， 因此，唯一解为，，故， 故答案为：． 15. 如图，线段为的直径，于点，点，均在上，以，为边作平行四边形，，连接交于点，连接并延长，交于点．若，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理结合平行四边形的性质求得，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，可求得；再求得，利用勾股定理求得，作于点，证明，求得，，再证明，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵线段为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值已舍）， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵线段为的直径，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 已知正整数，满足．若，则的最小值为______；若，满足，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】将不等式变形得到的范围，根据是正整数枚举计算第一空；整理方程求出的可能值，结合原不等式求解得到的所有可能值． 【详解】解：∵， ∴，其中，为正整数． 求解第一问：时，求的最小值： 当时，，得，则，此时，不符合要求； 当时，，得，则，此时，不符合要求； 当时，，得，正整数，此时，满足条件，得，为最小值． 求解第二问：满足时，求： 则 因式分解得， ∴或． 若，即，代入原不等式得： ，即， ∴， ∵，且m为正整数， ∴，这与矛盾； 若，即，代入原不等式得： ，整理得， ，计算得， ∵为正整数， ∴或： 当时，，则； 当时，，则；均满足条件． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据分式混合运算的法则进行化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出x的值，将x的值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 今年是红军长征胜利九十周年，学校团委组织“‘赓续长征薪火’纪念长征胜利90周年”知识竞赛活动，从八年级和九年级各随机抽取20名学生的成绩（满分100分，成绩均不低于60分，成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：85，86，86，86，86，87，88，89． 九年级20名学生竞答成绩是：65，67，75，79，83，85，87，87，88，88，88，88，89，90，91，94，97，99，100，100． 八、九年级所抽取学生竞答成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87 86 九年级 87 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛，该校八、九年级中哪个年级的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1500人，九年级有学生1000人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1） （2）九年级中位数高于八年级中位数，故九年级的成绩较好 （3）950人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图及已知可求得m的值；根据中位数、众数的概念即可求得a与b的值； （2）根据中位数说理即可； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：八年级20名学生竞答成绩在B组所占的百分比为，则， 故； 八年级20名学生竞答成绩在D组有（个），八年级20名学生竞答成绩在C组有（个），把八年级20名学生竞答成绩按从小到大排列，中间第10、11个竞答成绩在B组，分别是87，88，这两个数的平均数是这组数据的中位数，故，九年级20名学生竞答成绩中，88分出现的次数最多，故； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共有（人）， 即该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共有950人． 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）证明，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． （1）求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ （2）某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 【答案】（1） 甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴” （2） 的值为5 【解析】 【分析】 （1）设甲车间日产量为未知数，根据乙的效率关系表示乙的日产量，结合时间差列分式方程求解； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，结合的条件舍去不符合的根.  【小问1详解】 解：设甲车间每天能生产万个“冰箱贴”，则乙车间每天能生产万个“冰箱贴”， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ； 答：甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴”； 【小问2详解】 解：单个冰箱贴的利润为元，即元， 由题意得， 整理得， 解得，， ， 不符合题意，舍去， . 22. 如图，在中，，，．点以每秒的速度从点出发沿方向运动，点与点同时出发，以每秒的速度从点出发沿折线方向运动．设运动时间为秒（），点与点的距离为，的长度与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）解：根据题意，画图如下： 或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，利用勾股定理，求得线段，根据要求，解答即可； （2）根据一次函数，反比例函数图象的画法，画图，利用函数解析式联立构造方程，解方程即可，注意验根． 【小问1详解】 解：当时，根据题意，得，， ，，， ，， ， ， 当时，根据题意得 故； 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：画图略； 根据题意，得当时，， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根； ， ； 当时，得， 整理得，， 解得， 小于0， 故舍去； 故， 经检验，是原方程的根； ， ． 综上所述，符合要求的x的取值范围为：或． 23. 实践背景：2026年是红军长征胜利90周年，小明计划乘高铁前往遵义会议会址，重温长征精神，他乘坐G2869次“复兴号”动车组列车，由重庆西站前往遵义站， 任务一：信息分析与函数建模 材料一：小明通过列车屏幕上的信息发现，“重庆西——桐梓东”这一段列车行程时长为1小时，并且在出站后约6分钟加速到最高速度，在进站前约6分钟由，减速直至，在中间时间段近似以的速度匀速行驶． 材料二：在高铁运行的研究中，我们常用图（速度—时间图象）来直观分析速度的变化．对于“匀变速运动”（速度随时间均匀增加或均匀减少），我们可以这样理解： ①若物体从0匀加速至速度，用时，则其平均速度为，路程平均速度时间； ②若物体从速度匀减速至0，同理． 为研究重庆西站到桐梓东站区间的运行状态，作出如下假设：行程时长为1小时，出站后前从匀加速至最高速度；中间阶段以匀速行驶；进站前从匀减速至． 我们可以利用图象研究“重庆西—桐梓东”这一过程，如图． （1）以下A、B、C三个选项中，该假设条件下路程随时间变化的大致图象可能是（ ） A． B． C． （2）根据上述假设，请估算重庆西站到桐梓东站的全程路程． （3）任务二：模型检验与修正 任务一中，我们根据“加速—匀速—减速”的假设，估算出重庆西站到桐梓东站的路程．实际上，重庆西站到桐梓东站的铁路里程为，估算值与实际值有误差可能是对高铁列车运行状态的假定与实际不符．若保持行程时长为1小时，最高速度不变，仍按照“出站匀加速—中间匀速—进站匀减速”三段式运行，且加速和减速时间相等，请计算：实际状态下，出站后匀加速和进站前匀减速的时间各应为多少时间？ （4）任务三：符号化与一般化推广 将该问题一般化：假设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动（加速和减速时间相等），中间阶段以最高速度做匀速运动．请用、、表示相邻两站之间的路程，直接写出的代数表达式． 【答案】（1）C （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据先匀加速、再匀速、然后匀减速的运动过程分析函数图像即可解答； （2）根据题意列式，运用有理数的混合运算法则计算即可； （3）设匀加速和进站前匀减速的时间各应为，则中间匀速运动时间为，根据题意列关于t的一元一次方程求解即可； （4）由题意可得中间匀速运动时间为，起始和最后的匀变速运动速度为，然后根据路程、速度、时间的关系列式化简即可． 【小问1详解】 解：匀加速过程中，速度越来越大，路程s增大不断加快，函数图像是开口向上的二次函数的一部分； 匀速运动过程中，路程S匀速增加，对应图像是直线； 最后均减速过程中，速度越来越小，路程s增大不断减慢，函数图像是开口向下的二次函数的一部分； 综上，选项C符合题意； 【小问2详解】 解：由题意可知：匀加速、匀减速运动时间均为，速度为， 中间匀速运动时间为，速度为， ． 答：则重庆西站到桐梓东站的全程路程为． 【小问3详解】 解：设匀加速和进站前匀减速的时间各应为，则中间匀速运动时间为， 由题意可得：， 解得：． 答：匀加速和进站前匀减速的时间各应为． 【小问4详解】 解：设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动，中间阶段以最高速度做匀速运动，中间匀速运动时间为，起始和最后的匀变速运动速度为． 则： ，即． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，代入函数解析式求得a、b的值即可； （2）先说明的面积是定值，则要使的面积最大，只需的面积最大即可；如图：过P作于H，过P作于I，设，则，利用割补法可得的面积，再利用二次函数的性质求得最大时p的值，即可确定最大时，点P的坐标；再说明要求周长的最小值，只需求得的最小值，再利用平移和轴对称的性质求最值即可； （3）先求得，新抛物线的解析式为，如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U，利用平行线的性质和等量代换可知点Q为直线与抛物线在第一象限的交点；再想法求得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可；如图：取点M关于的对称点，则，易得点是直线与在第三或第四象限的交点；利用垂直平分线的性质、中点坐标、勾股定理求得，利用待定系数法可得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴，解得：． ∴抛物线解析式． 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式， ∴， ∵点是线段中点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 如图：过F作于G， ∵， ∴是定值， ∴的面积是定值， ∴要使的面积最大，只需的面积最大即可． 如图：过P作于H，过P作于I， 设，则， ∴，，， ∴的面积为， 整理得：， ∴该函数抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的面积S有最大值， ∴当时，的面积S有最大值，的面积有最大值； ∵，， ∴， ∵将线段沿轴平移，在平移过程中记为， ∴， ∴要求周长的最小值，只需求得的最小值， 如图：将点向上平移一个单位得到点，则， ∴， 如图：作点P关y轴的对称点，连接， 当三点共线时，最小值为,即的最小值为， ∵． ∴的最小值为， ∴周长的最小值． 【小问3详解】 解：由（2）可知直线的解析式为， ∵横坐标为， ∴， ∵直线的解析式为，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，， ∴设新抛物线的解析式为： ， ∵新抛物线经过点， ∴，解得：，（不合题意、舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即点Q为直线与抛物线在第一象限的交点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴； ∵直线的解析式为， ∴， 如图：取点M关于的对称点，则， ∴，， ∴点是直线与在第三或第四象限的交点， ∵点M关于的对称点， ∴的中点坐标为，且在直线上， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴，整理得：， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 25. 在中，是的中线． （1）如图1，若，，，求的面积． （2）如图2，点在延长线上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，点为中点，连接交于点，连接，若，且，证明：． （3）如图3，若，，，点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，在上取中点，连接，当的值最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）12 （2）证明：连接， 绕点逆时针旋转得到， ，，， 点为中点， ，， ，，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 过点作于点A，交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，求得该三角形的面积，根据三角形中线的性质，得到的面积是该三角形面积的2倍，求解即可． （2）连接，设，证明，，连接，证明，继而证明，得到，过点作于点A，交于点Q，得到，证明，得到，结合，等量代换即可得证． （3）过点N作，交的延长线于点K，证明，作射线，证明射线是的角平分线，继而判定点A，点C关于直线对称；取的中点，连接，故当的值最小时，的值最小，连接，交于点，故点P与点S重合时，取得最小，此时的值最小，利用三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：是的中线，， ，， ，，， ，， ， ， ． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：如图，过点N作，交的延长线于点K， ∵，，， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作射线， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， ∵， ∴， ∴点A，点C关于直线对称； 取的中点，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故当的值最小时，的值最小， 连接，交于点，故点P与点S重合时，取得最小，此时的值最小， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 故四边形的面积为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年上半年重庆经济运行呈现结构向优的态势，全市地区生产总值达到亿元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 7和8之间 D. 4和5之间 5. 如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在二次函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为对角线的中点，把线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接并延长，与的角平分线交于点，连接，若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知自变量为的两个函数和，其中为正整数，，，，均为自然数，且满足，其中表示，，，中最大的数，例如．下列说法： ①．若函数的图象经过点，则函数的图象恒过点； ②．若，则函数的图象上有6个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） ③．若且关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：______． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 13. 如图，将绕点顺时针旋转一定度数得到，连接，若，，则的度数为______． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 如图，线段为的直径，于点，点，均在上，以，为边作平行四边形，，连接交于点，连接并延长，交于点．若，则______，______． 16. 已知正整数，满足．若，则的最小值为______；若，满足，则的值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 今年是红军长征胜利九十周年，学校团委组织“‘赓续长征薪火’纪念长征胜利90周年”知识竞赛活动，从八年级和九年级各随机抽取20名学生的成绩（满分100分，成绩均不低于60分，成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：85，86，86，86，86，87，88，89． 九年级20名学生竞答成绩是：65，67，75，79，83，85，87，87，88，88，88，88，89，90，91，94，97，99，100，100． 八、九年级所抽取学生竞答成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87 86 九年级 87 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛，该校八、九年级中哪个年级的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1500人，九年级有学生1000人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 21. 列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． （1）求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ （2）某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 22. 如图，在中，，，．点以每秒的速度从点出发沿方向运动，点与点同时出发，以每秒的速度从点出发沿折线方向运动．设运动时间为秒（），点与点的距离为，的长度与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 23. 实践背景：2026年是红军长征胜利90周年，小明计划乘高铁前往遵义会议会址，重温长征精神，他乘坐G2869次“复兴号”动车组列车，由重庆西站前往遵义站， 任务一：信息分析与函数建模 材料一：小明通过列车屏幕上的信息发现，“重庆西——桐梓东”这一段列车行程时长为1小时，并且在出站后约6分钟加速到最高速度，在进站前约6分钟由，减速直至，在中间时间段近似以的速度匀速行驶． 材料二：在高铁运行的研究中，我们常用图（速度—时间图象）来直观分析速度的变化．对于“匀变速运动”（速度随时间均匀增加或均匀减少），我们可以这样理解： ①若物体从0匀加速至速度，用时，则其平均速度为，路程平均速度时间； ②若物体从速度匀减速至0，同理． 为研究重庆西站到桐梓东站区间的运行状态，作出如下假设：行程时长为1小时，出站后前从匀加速至最高速度；中间阶段以匀速行驶；进站前从匀减速至． 我们可以利用图象研究“重庆西—桐梓东”这一过程，如图． （1）以下A、B、C三个选项中，该假设条件下路程随时间变化的大致图象可能是（ ） A． B． C． （2）根据上述假设，请估算重庆西站到桐梓东站的全程路程． （3）任务二：模型检验与修正 任务一中，我们根据“加速—匀速—减速”的假设，估算出重庆西站到桐梓东站的路程．实际上，重庆西站到桐梓东站的铁路里程为，估算值与实际值有误差可能是对高铁列车运行状态的假定与实际不符．若保持行程时长为1小时，最高速度不变，仍按照“出站匀加速—中间匀速—进站匀减速”三段式运行，且加速和减速时间相等，请计算：实际状态下，出站后匀加速和进站前匀减速的时间各应为多少时间？ （4）任务三：符号化与一般化推广 将该问题一般化：假设高铁相邻两站之间的路程为，列车在这段路程的运行时间为，运行的起始和最后分别做匀变速运动（加速和减速时间相等），中间阶段以最高速度做匀速运动．请用、、表示相邻两站之间的路程，直接写出的代数表达式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 在中，是的中线． （1）如图1，若，，，求的面积． （2）如图2，点在延长线上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，点为中点，连接交于点，连接，若，且，证明：． （3）如图3，若，，，点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，在上取中点，连接，当的值最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $