专题07反比例函数的概念 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题07反比例函数的概念同步培优讲义 ✺知识框架 1.实际建模：用反比例函数描述数量关系 2.反比例函数定义、两种等价表达式、自变量与函数的取值范围 3.依据定义判断反比例函数 4.求函数值、由函数值求自变量 拓展培优：根据反比例函数定义求参数 ✅本节从生活实际问题出发，抽象出两个变量乘积为定值的数量关系，进而引入反比例函数的定义。课堂核心知识体系包含实际数量关系建模、反比例函数定义、函数表达式、变量取值范围、函数判定、函数值与自变量求解，同时拓展根据定义求参数的培优内容。本节课的概念学习是后续探究反比例函数图象与性质的重要基础。 ✺学习目标 1.理解反比例函数的概念，掌握两种表达式，明确自变量、函数的取值范围，能区分反比例函数与正比例函数。 2.能从实际情境中列出反比例函数解析式。 3.会依据定义识别反比例函数；能利用定义求解含参数反比例函数中的参数。 4.已知反比例函数解析式，会求函数值，并能根据函数值求出对应的自变量。 ✺题型归纳 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数。 本质：两个变量x,y的乘积是一个不为 0 的常数。 知识点二、反比例函数的两种等价表达式 两种形式可以相互转化： 分式形式： y= (k≠0)（常用形式） 乘积形式：xy=k (k≠0) 注意：无论哪种形式，都必须满足（k≠0）。 知识点三、自变量与函数的取值范围 1，自变量x的取值范围：不等于0的全体实数，原因是分母不能为 0。 2.函数y的取值范围：不等于0的全体实数。因为k≠0，x≠0，所以y≠0。 补充：在实际问题中，自变量取值要符合实际意义，长度、面积、时间等量一般取正数。 知识点四、根据反比例函数的定义求参数（拓展培优） 若函数y=a 是反比例函数，必须同时满足两个条件，缺一不可： ① 次数条件：自变量 x 的指数m=-1； ② 系数条件：比例系数a≠0。 解题步骤： 1.根据次数要求列方程，求出参数初步取值； 2.根据系数不为0列不等式，舍去不符合条件的解； 3.确定最终参数。 ✺题型精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 3．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 3．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数中，比例系数_______． 3．已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值． 题型4.求反比例函数值 1．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．若点在的图象上，则______． 3．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 题型5.由反比例函数值求自变量 1．反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 2．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 3．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 2．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 二、填空题 4．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 5．反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 三、解答题 6．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 7．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 8．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07反比例函数的概念同步培优讲义 ✺知识框架 1.实际建模：用反比例函数描述数量关系 2.反比例函数定义、两种等价表达式、自变量与函数的取值范围 3.依据定义判断反比例函数 4.求函数值、由函数值求自变量 拓展培优：根据反比例函数定义求参数 ✅本节从生活实际问题出发，抽象出两个变量乘积为定值的数量关系，进而引入反比例函数的定义。课堂核心知识体系包含实际数量关系建模、反比例函数定义、函数表达式、变量取值范围、函数判定、函数值与自变量求解，同时拓展根据定义求参数的培优内容。本节课的概念学习是后续探究反比例函数图象与性质的重要基础。 ✺学习目标 1.理解反比例函数的概念，掌握两种表达式，明确自变量、函数的取值范围，能区分反比例函数与正比例函数。 2.能从实际情境中列出反比例函数解析式。 3.会依据定义识别反比例函数；能利用定义求解含参数反比例函数中的参数。 4.已知反比例函数解析式，会求函数值，并能根据函数值求出对应的自变量。 ✺题型归纳 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.求反比例函数值 题型5.由反比例函数值求自变量 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数。 本质：两个变量x,y的乘积是一个不为 0 的常数。 知识点二、反比例函数的两种等价表达式 两种形式可以相互转化： 分式形式： y= (k≠0)（常用形式） 乘积形式：xy=k (k≠0) 注意：无论哪种形式，都必须满足（k≠0）。 知识点三、自变量与函数的取值范围 1，自变量x的取值范围：不等于0的全体实数，原因是分母不能为 0。 2.函数y的取值范围：不等于0的全体实数。因为k≠0，x≠0，所以y≠0。 补充：在实际问题中，自变量取值要符合实际意义，长度、面积、时间等量一般取正数。 知识点四、根据反比例函数的定义求参数（拓展培优） 若函数y=a 是反比例函数，必须同时满足两个条件，缺一不可： ① 次数条件：自变量 x 的指数m=-1； ② 系数条件：比例系数a≠0。 解题步骤： 1.根据次数要求列方程，求出参数初步取值； 2.根据系数不为0列不等式，舍去不符合条件的解； 3.确定最终参数。 ✺题型精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 2．王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 3．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 题型2.根据定义判断是否是反比例函数 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 2．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 3．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 2．反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【分析】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【详解】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 3．已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，    的值为． 题型4.求反比例函数值 1．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 2．若点在的图象上，则______． 【答案】 【分析】将点代入解析式变形即可得到的值． 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 3．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 题型5.由反比例函数值求自变量 1．反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 2．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 3．已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上， 理由：当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 2．已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 3．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把点代入可得． 二、填空题 4．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 5．反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 三、解答题 6．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 7．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 8．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $