专题27.2 反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精讲义

2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题27.2反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共59题) 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ ■山且录导航 ee0回。g。。 思维导图… 2 知识梳理.… …3 知识点一反比例函数的图象与性质... 知识点二反比例函数的对称性… …3 知识点三反比例函数的几何意义.... 知识点四反比例函数与一次函数关系，，.. 题型讲练……… 题型一判断（画)反比例函数图象.·· 题型二已知反比例函数的图象，判断其解析式... ..6 题型三由反比例函数图象的对称性求点的坐标.… .7 题型四已知双曲线分布的象限，求参数范围.·. ..7 题型五判断反比例函数的增减性.·..· ………8 题型六判断反比例函数图象所在象限.··.·.· 题型七已知反比例函数的增减性求参数 ...9 题型八比较反比例函数值或自变量的大小.. ........10 题型九已知比例系数求特殊图形的面积..10 题型十根据图形面积求比例系数（解析式） ..11 题型十一求反比例函数解析式…12 第1页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型十二反比例函数与几何综合 12 题型十三反比例函数、二次函数图象综合判断 14 题型十四一次函数与反比例函数图象综合判断.… 14 题型十五一次函数与反比例函数的交点问题 15 题型十六一次函数与反比例函数的实际应用.. 16 题型十七一次函数与反比例函数的其他综合应用 17 中考真题演练. 19 难度分层训练....... 21 【基础夯实】 21 【培优拔高】 2 思维导凰 ①人教版九年级上册第27章反比例函数 2图像 第2节反比例函数的图像和性质 3图像的性质 反比例函数y=冬的图像是双曲线， ①反比例函数的定义 有两个分支。 k的符号 k>0 k<0 般地，两个变量x、y之间的关系可以表示成 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 每个象限内 在每个象限内， 在每个象限内， (k为常数，k≠0) 的单调性 y随x的增大而减小 y随x的增大而减小 我们称y是x的反比例函数，其中k叫做比例系数： 关于原点对称， 关于原点对称， (第一、三象限) (第二、四象限 对称性 也关于直线y=x 也关于直线y=x 和y=一x对称。 和y=-x对称。 4相关几何图形 反比例函数y=女的图像是双曲线， 画图时要注意： 反比例函数 ⑦】知识拓展 ·两个分支分别位于不同的象限； 的图像和性质 1.一次函数与反比例函数的区别： 令大越大0供越大. 图像越兼近坐标轴， ·远离坐标轴，但无限接近坐标轴： 一次函数y=kx+b是直线， k越小k越人) ·与坐标轴不相交。 反比例函数y=素是双曲线。 围像越远魔坐标抽 6反比例函数图像的对称性 2.反比例函数的比例系数k的几何意义： ⑤用描点法画图 k=x·y(x≠0)，k的符号决定图像所在的象限， 反比例函数y=冬k≠0)的图像 k的大小影响图像远近。 ①列表：写出几组x与y的对应值（注意：x≠0）。 关于原点对称，关于直线y=x和y=一x对称。 ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描 出相应的点。 8易错点拨 目连线：用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到备放y一冬 不来 ①忘记k≠0，导致图像不是双曲线 的图像。 ②误认为反比例函数的图像是直线。 食记性 Q注意： ③混浦k的符号与图像所在的象限。 双曲线、两支 ④在画图时，点的坐标写错或漏点。 同号同象限， 由于x与y是对应值，所以表中各点在对应的同一象限内， 关于原点对称 关于直线y=x对称关于直线y=x对粉 异号异像限， 描出的曲钱只是图像的一部分， ⑤忘记反比例函数在每个象限内都单调递减。 第2页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 山知迟梳理 知识点一反比例函数的图象与性质 反比例函数y=(化为常数，k≠0)的图像是双曲线，其图像和性质如下表： k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同号) 图像分别位于第二、第四象限(x、y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1)图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2)图像是关于原点对称的双曲线： 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 【补充】 1)反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个 前提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>O时，y随 x的增大而减小.同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大， 2)双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的 增减性，也可以推断出k的符号。 知识点二反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y=一x,对称中心为原点. 【解题技巧】 1)反比例函数图像关于原点对称，即若(a,b)在双曲线的一支上，则(-a,-b)在双曲线的另一支上： 2)若(a,b)在反比例函数图像上，则(b,a)也在该图像上 第3页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 知识点三反比例函数的几何意义 常 A(r,y) 见 图 形 B S矩形R&ON =网 S.ABC=k SAAOB S影=2W 结 2 论 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以心+b<上的解集为心或 O<X4:在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以a心+b>k的解集为X。<0或 XXA ⑦ ② ④ y=ax+b y=k/x 山题型进练 题型一判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】(26-2了九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=兰 (1)画出它的图象. 解：画反比例函数y=的图象的步骤： 列表： 第4页共27页 2026-2027学年人数版数学九年级上册同步精编培优讲练 1 -8 -4 -3 -2 -1 -2 2 1 2 3 4 8 描点、连线（如图）： 8 6 4 -8-6=4=22.4.68x 46 (2)函数的图象位于哪些象限？ (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？ (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象. 【变式训练】(25-26八年级下·河南南阳·期末)小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形0ABC,按如 图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，矩形的边OA落在x轴上，边OC落在y轴上，点C的坐标为(0,6)（网格 图中每个小正方形的边长均为1).若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数y=(x>0) 的图象上. 5 B 3 3 1 O1234567x (1)求反比例函数的表达式： (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象： 第5页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (3)若固定矩形边0A,向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形0AB'C',当∠OAB′=30时，边B'C 交反比例函数图象于点D,直接写出点D的坐标， 题型二已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】(25-26八年级下·上海普陀·期末)如图，点P在反比例函数y=(化k≠0)的图像上，过点 P作PH1x轴，垂足为H,连接PO,如果△PHO的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为 【变式训练】(2025·浙江杭州·一模)综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬 浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示 (p>0).列说法正确的是( h/cm 20- O p/(g/cm3) A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度≥20cm B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度=40cm C.当浸在液体中的高度0<≤10cm时，该液体的密度p≥2g/cm3 D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 第6页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】(25-26九年级上·广东惠州·期末)反比例函数y=二m的图象如图所示，以下结论正确的 是() ①常数m<1:②y随x的增大而减小，@若A为x轴上一点，B为反比例函数图象上一点，则SaB0=:, ④若点P(x,y)在图象上，则点P'(-x,-y)也在图象上 A.①②③ B.①③④ C.①②③④ D.①④ 【变式训练水24-25九年级上陕西安康阶段检测)在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠ 0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象交于A、B两点，过点A作AC1x轴于点C,已知AB=5,AC=1.5, 则k的值为 A 题型四已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】(25-26九年级上·安徽合肥·期中)如图，A,B是反比例函数y=图像上的两点，线段AB 的延长线交x轴于点C,过A作AM1x轴，过B作BN1x轴，已知M为ON的中点，△AOC的面积为4. 第7页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 C N MO (1)若M(-1,0),则点C的坐标是 (2)k的值是 【变式训练】反比例函数y=m-5的图象的一分支如图所示. (1)求m的取值范围. (2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求mn的值. 题型五判断反比例函数的增减性 【典例精讲】(26-27九年级上·四川资阳·开学考试)若(-2，y1),(2,y2),(4,y3)三点均在反比例函数y= 5(化≠0)的图象上，则下列结论中正确的是( ). A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3 【变式训练】(2026·广西柳州·二模)对于反比例函数y=号，下列说法正确的是( A.图象经过点(3，-4) B.图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>0时，y随x的增大而增大 第8页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型六判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】(2627九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=的图象经过点A(2,-4). (1)求k的值： (②)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象： (3)点B(,-16),C(-3,5)在这个函数的图象上吗？ 【变式训练】(2025·湖北襄阳·一模)如图，一次函数y=2x+m与反比例函数y=(k为常数，k≠0) 交于A,B(-1,n)两点，且一次函数y=2x+m与x数交于点C(1,0). y个 (1)求m,,k的值： (2)若若M(x1,y),N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点，x1<x2,y1<y2,请直接写出点N各位 于哪个象限. 题型七已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲K23-24九年级上山东泰安阶段检测)已知A(-2,y),B(5,y2)在双曲线y=43m上，且y1>y2, 则m的取值范围是( A.m<0 B.m>0 c.m>- D.m<- 第9页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(2022·江苏扬州·三模)若点A(-2021,y1)、B(2022,y2)都在双曲线y=3+上，且y1>y2, 则a的取值范围是( ) A.a<0 B.a>0 c.a>- D.a<-} 题型八比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】(2627九年级上吉林长春开学考试)已知反比例函数y=-,下列结论正确的是( A.其图象经过点(-1，-3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时，0<y≤1 【变式训练】(2022·宁夏吴忠·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点C,与反比例函数y=4在第一象限内的图象交于点B(1,4),连接B0,下面三个结论：①S△40B=6: ②点(x1,y1)和点(x2,y2)在反比例函数的图象上，若x1>x2,则y1<y2:③不等式x+3<的解集是0<x< 1,其中正确的结论是 (只填序号) 题型九已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】(26-27九年级上·北京·单元测试)如图，点P(1,2)、Q(m,n)在反比例函数y=(x>0) 的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A,B:过点Q分别作x轴、y轴的垂线， 垂足为点C,D,QD交PA于点E.四边形ACQE的面积为S. VA D E 0 0 第10页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)求这个反比例函数的表达式： (2)求S与n的函数关系式. 【变式训练】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，点P是矩形0ABC的对称中心，点P在y轴正半 轴上，反比例函数1=-(x<0)的图象经过点A反比例函数y2=:>0)的图象经过点G求矩形0ABC 的面积. P 题型十根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲(26-27九年级上四川内江开学考试)如图，在平面直角坐标系中，BC1y轴于点C,∠B=90°， 双曲线y=过点A,交BC于点D,连接0D,AD.若2=景S60AD=15,则k的值为( B A.4 B.6 C.8 D.12 第11页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC的顶点O为坐标系的原点，顶点C在x轴上，已知A0= AB,∠0AB=∠BC0=90°，四边形0ABC的面积为4，反比例函数y=的图象经过点A和点B,则k=_一一· 题型十一求反比例函数解析式 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=(k≠0)，当x=-6时，y= (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围： (2)判断点(-2,2)，(1,4④是否在这个函数的图象上. 【变式训练】(2026·山东临沂·二模)如图，反比例函数y=生(c<0),y2=x<0)的图象在平面 直角坐标系中，点B为y1=生(x<0)的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C,线 段BC被y2=(x<0)的图象上一点D分成两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则k的值为 题型十二反比例函数与几何综合 【典例精讲】(26-27九年级上·湖南·期中)如图，一次函数y=x+3的图像与反比例函数y=的图像 交于点A(1,m),与x轴交于点B,与y轴交于点C. 第12页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)求反比例函数的表达式： (2)当x+3<时，求x的取值范围： (3)己知点P为第三象限内反比例函数y=图像上一点，S△0BP=2S△oAC,求点P的坐标. 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA= 3,0B=4,反比例函数y=二(k≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点D. (1)求反比例函数的关系式： (2)求将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上： (3)若点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点，是否存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平 分？若存在这样的直线EF,则求出线段AE的长；若不存在这样的直线EF,请说明理由 第13页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 题型十三反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】(2025·安徽蚌埠·三模)如图是直线y=acx-ab(a,b,c是常数且a≠0，b≠0，c≠0)， 则二次函数y=x2+bx十c和反比例函数y=-典在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为( 【变式训练】某同学利用数学绘图软件探究函数y= k+c-可的图象，在输入一组a,b,c的值后得到如图 所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a,b,c的值应满足() A.a>0,b=0,c>0 B.a>0,b=0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0 题型十四一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，函数y=x+b(b为常数)和y=k(k>0,x>0) 的图象交于点A(1,3) =x+6 (1)求k和b的值： 第14页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)当x>0时，关于x的不等式x+b<的解集为 【变式训练】(2025·四川广元·模拟预测)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于 A(-1,2),B(2,n)两点.过点A作AC1x轴，垂足为C,连接BC. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式kx+b>”的解集； (3)反比例函数y=的图象上是否存在一点P,使得S△ABc=S△4cP？若存在，求出点P的坐标：若不存在， 请说明理由， 题型十五一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】(23-24九年级上·山东泰安·阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=x-4 与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C,已知点B的坐标为(m,-6). B 第15页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标： (②)观察图象，不等式x-4>的解集为一； (3)点P为反比例函数y=图象上任意一点，若S△Poc=3S△40c,求点P的坐标. 【变式训练】如图，已知一次函数y=Qx+号(a<0)与反比例函数y=化>0)的图象相交于A,B(B在A 的左侧)，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点C,连结BC,交y轴于点D.已知△COD与四边形AODB 的面积之比为3：5,0D=k,则a的值是_一 题型十六一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2024·辽宁大连·一模)智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加 热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温开始下降的过程中，水温y(℃)与通电时间 x(mi)成反比例关系.当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均 为20℃，接通电源后，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系如图所示. 个y/C 100 20 0 x/min (1)当4<x≤a时，求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）： (2)加热一次，求水温不低于40℃的时间. 第16页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】如图，已知一次函数y=kx+1与反比例函数y=的图象相交于A,且A(一2,3)，过点B作BC1 x轴于点C,连接AC. (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标： (2)将△ABC沿x轴向左平移，对应得△A'B'C',当反比例函数图象经过A'C'的中点M时；求△MAC的面 积 (3)在第二象限内A点上方的双曲线上求一点P,使得tam∠PCA=号 题型十七一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】(25-26八年级下·河南洛阳·期末)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,连接OA,且OA=OB. 第17页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)过点P(2,0)作平行于y轴的直线，交一次函数y=2x+n的图象于点M(不与P重合)，交反比例函数y=a 的图象于点N.若NM=NP,求n的值 (3)当x>0时，直接写出kx+b<的解集_， 【变式训练】(25-26八年级下·山东济南·期末)直线y=-x+b与双曲线y=(x<0)交于点A(-1,6), 与x轴交于点B,点C是线段AB上一点. D B ○ 0 备用图 (1)求k,b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线1,1与y=(x<0)的图象交于点D,当线段CD=10时，求点D的坐标： (3)双曲线y=(x<0)上是否存在点B,使得△C0E是以0C为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由. 第18页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 山中考真题演练 【真题演练1】(2026·山东淄博·中考真题)如图，反比例函数y=的图象与直线y=kx相交于A,B两 点，点A的坐标为(2，m) VA (1)求k的值： (②)根据图象，直接写出关于x的不等式kx>的解集： (3)将直线y=kx向上平移3个单位长度得到直线L,直线与反比例函数y=的图象交于C,D两点，若P是 直线y=kx上的动点，求△PCD的面积. 【真题演练2】(2026·江苏淮安·中考真题)如图，一次函数y1=2x+1的图像与x轴交于点A,与反比 例函数y2=在第一象限内的图像交于点B(1,m),连接0B. (1)求m和k的值. (2)求△A0B的面积. (3)当0<x<1时，y2的取值范围是 第19页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【真题演练3】(2026·江苏盐城·中考真题)小明利用数学画图软件，进行了如下操作： (I)生成反比例函数y=(x>0)的图像： (Ⅱ)过点(1,0)生成x轴的垂线，过点(0，)生成y轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点A,B,生成直线 AB. 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题. (1)求A,B两点的坐标，以及直线AB的函数表达式y=kx+b. (2)在(1)的基础上，当x在什么范围内时，反比例函数y=(x>0)的值大于一次函数y=kx+b的值？（直 接写出结果) 【真题演练4】(2026·江苏常州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图 像分别与x轴、y轴相交于点A,B,与反比例函数y=(m>0,x>0)的图像相交于点C.已知点B,C的坐 标分别为(0,1)，(2,2). YA (1)求一次函数、反比例函数的表达式. 第20页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)点D在反比例函数y=四(m>0,x>0)的图像上，且点D与点C不重合.作射线CD,交坐标轴于点M,连 接OC,OD.若S△ocM=4S△oDM,求点D的坐标. 【真题演练5】(2026·江苏徐州·中考真题)如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=兰，y= 的图象分别交于点A,B,过点A,B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C,则△ABC的面积为 冒山难度分层训练 【基础夯实】 1.(26-27九年级上·北京西城·阶段检测)如图是反比例函数y=(k≠0)的一部分图象，已知该图象 2 过点(-2,3)，点P是图象上任意一点，过点P作PM1x轴，垂足为M,则△POM的面积是( ò M A.6 B.4 C.3 D.2 第21页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 2.(23-24九年级上·山东泰安·阶段检测)已知反比例函数y=王，下列结论不正确的是( A.图象经过点(1,3) B.图象在第一、三象限 C.y随着x的增大而减小 D.当x>1时，0<y<3 3.(25-26九年级上安徽合肥期中)已知点A(x1y),B(x2,y2)都在反比例函数y=-的图象上，且y1<0< y2,则x1,x2的关系是() A.X2<0<x1 B.0<x2<x1 C.x1<0<x2 D.x1<X2<0 4.(2026九年级上·全国·专题练习)已知y与x+2成反比例，且当x=2时，y=3,则y关于x的函数 解析式为 5.(23-24九年级上·山东泰安·阶段检测)双曲线y1、2在第一象限的图象如图所示，=兰过y1上 的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B,交y轴于点C,如果S△4OB=4,那么y1的函数表达式是一一一， 2 6.(2026九年级上·全国·专题练习)如图，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA1x轴于点A,PB1y 轴于点B,若矩形0APB的面积为6，则k的值为 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数的图象经过点A(-2,4). (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点B(1,-8⑧)，C(2,-3),D(2,4是否在这个函数的图象上？ 第22页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的 纵坐标是2. (1)当x=-3时，求反比例函数y=的函数值： (2)当-3<x<-1时，求反比例函数y=的取值范围. 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知点(-2，-4)在反比例函数y=的图象上. (1)当y<4时，求x的取值范围； (2)已知点A(-3,y1),B(-5,y2),C(4,y3)在这个反比例函数的图象上，比较y1,y2,y3的大小，并用反比 例函数的性质说明理由. 10.(26-27九年级上·安徽·期中)如图，一次函数y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象与反比例 函数y=(k≠0)的图象交于A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 第23页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (2)结合图形，请直接写出不等式<mx+n的解集： (3)若直线x=t(t<一2)与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M已知MN=2,求t的值. 【培优拔高】 1.(26-27九年级上·全国·课后作业)李明需要制作一个底面积为20cm的长方体无盖纸盒，底面矩形 的一边长y(单位：cm)与其邻边长x(单位：cm)之间的关系可以用图象大致表示为( y/cm y/cm y/cm V/cm x/cm x/cm x/cm x/cm A 2.(2026九年级上·全国·专题练习)己知反比例函数y=k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大， 则一次函数y=kx-k的图象大致是( 1 A. B 3.(23-24九年级上山东素安价段检测如图，在△A0B肿，0C平分∠A0B,8治=2，反比例函数y=Ck<0) 的图象经过A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为6，则k的值为( A.3 8号 C.-3 D.-9 第24页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 4.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，一次函数y1-k1x+b的图象与反比例函数y2=2的图 象相交于A(2,3),B(6,1)两点，当y1>y2时，x的取值范围是 B 5,(26-27九年级上·北京东城·开学考试)如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有点P1,P2,P3, 它们的横坐标依次为1,3,6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段.图中阴影部分的面积记为S1,S2,若S2=3, 则S的值为 P P S2 6 6.(2627九年级上·全国·课后作业)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形04BC的边AB的中 点D,若矩形OABC的面积为6，则的值为 A 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知一个反比例函数的图象经过点A(2,6). (1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ (2)点B(3,4),C(-2克，-4)，D(2,-6)是否在这个函数的图象上？为什么？ 第25页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 8.(26-27九年级上·湖南·期中)如图，一次函数y=2x-4的图象与反比例函数y=的图象交于A,B 两点，且点A的横坐标为3 6 (1)求反比例函数的解析式： (2)求点B的坐标. 9.(26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测)在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点A(x,y) 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y-x称为点A的“郡值”，函数图象上所有点的“郡值” 中的最大值称为函数的“最优郡值”.例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“郡值”为3-1=2， 函数y=2x+1图象上所有点的“郡值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1,当3≤x≤6时，x+1 的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1在3≤x≤6时的“最优郡值”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)①点B(-2,3)的“郡值”为 ②函数y=+x(-4≤x≤-1)的“最优那值”为 (2)线段MN:y=kx+1(-1≤x≤2)的“最优郡值”为3，求k的值： (3)若二次函数y=-(x-)2+k图象的顶点在直线y=x+9上，当-1≤x≤4时，二次函数的“最优郡 值”为7，求的值. 第26页共27页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)反比例函数y1=?(m>0)和正比例函数y2=nx(n>0) 相交于A、B两点，点C在y1=上，点A、C均在第一象限，且点C在点A的左上方，直线AC、BC与y轴分别 交于点F、G. 图1 图2 (1)如图1，己知点A(3,1),点C(1,3), 直接写出：①点B的坐标是；②CG与CF的数量关系是_： (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量关系”是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与FG的乘积只与m 的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 第27页共27页null 专题27.2 反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 反比例函数的图象与性质 3 知识点二 反比例函数的对称性 3 知识点三 反比例函数的几何意义 4 知识点四 反比例函数与一次函数关系 4 题型讲练 4 题型一 判断（画）反比例函数图象 4 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 8 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 10 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 11 题型五 判断反比例函数的增减性 14 题型六 判断反比例函数图象所在象限 15 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 17 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 18 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 20 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 22 题型十一 求反比例函数解析式 25 题型十二 反比例函数与几何综合 27 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 31 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 33 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 35 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 39 题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 43 中考真题演练 47 难度分层训练 54 【基础夯实】 54 【培优拔高】 61 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像是双曲线，其图像和性质如下表： k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 知识点三 反比例函数的几何意义 常见 图形 结论 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 题型一 判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出它的图象． 解：画反比例函数的图象的步骤： 列表： x … 1 2 3 4 8 … y … … 描点、连线（如图）： (2)函数的图象位于哪些象限? (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化? (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象． 【答案】(1)列表： x … 1 2 3 4 8 … y … 8 4 2 1 … 描点、连线（如图）： (2)一、三象限 (3)在每一个象限内y随x的变化是y随x的增大而减小 (4)用计算机画图如下： 【规范解答】（1）略 （2）解：由图象可知，函数的图象位于一、三象限； （3）解：由图象可知：在每一个象限内y随x的变化是y随x的增大而减小； 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意得点C平移后的坐标为，再根据待定系数法把该点坐标代入即可求解； （2）由（1）知反比例函数的表达式得到反比例函数图象上的四个格点的坐标，然后，顺次描点并画反比例函数图象即可； （3）过点作于点E，由，得，再把点D的纵坐标代入反比例函数的表达式即可求得点D的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数的表达式为，且， ∴这个反比例函数图象上的四个格点分别为， 画出的反比例函数的图象见答案； （3）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，代入，得， ∴． 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，点P在反比例函数 的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【思路引导】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【规范解答】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【思路引导】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【规范解答】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【考点剖析】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西安康·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 【答案】 【思路引导】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【答案】 【思路引导】（1）先利用中点坐标求出点坐标，再写出，两点坐标，然后设直线解析式，代入，两点求出一次函数表达式，最后令，求出直线与轴的交点的坐标； （2）由（1）得到点，的坐标，从而确定的底和高的值，再根据三角形面积公式列方程求出，然后根据反比例函数图像所在象限，判断的符号，从而确定的值． 【规范解答】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵，是反比例函数图像上的两点，且轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， 解得， 又∵点是直线与轴的交点， ∴点的坐标是； （2）由（1）可知：， ，轴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴． 【变式训练】反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】(1) (2)52 【思路引导】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 题型五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 【变式训练】（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【思路引导】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【规范解答】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 题型六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)函数图象在第二、四象限，图象如下图所示： (3)点在该函数图象上，点不在该函数图象上 【思路引导】（1）把已知点坐标代入反比例函数解析式，列方程求出的值； （2）根据的正负判断函数图象所在象限，通过列表描点画出函数图象； （3）利用反比例函数的特点，代入点的横纵坐标验证，判断点是否在函数图象上． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ， 函数图象位于第二、第四象限， 列表如下：      描点连线即可； （3）解：， 点在这个函数的图象上； ， 点不在这个函数的图象上． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 【答案】(1) (2)M位于第三象限，N位于第一象限 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入法求出函数中的未知参数． （1）先将点坐标代入一次函数求出，进而得到一次函数解析式，再将点坐标代入一次函数求出，最后将点坐标代入反比例函数求出； （2）根据反比例函数的性质以及和的大小关系判断点所在象限． 【规范解答】（1）解：把代入中，可得， 解得， 此时一次函数的解析式为． 点在一次函数的图象上， 把代入， 解得， ， 又点在反比例函数的图象上， 将代入中，可得， 解得， 综上，； （2）解：由（1）知反比例函数解析式为，其图象在一，三象限，在每个象限内随的增大而减小． 已知，说明不在同一象限． 在第三象限值恒小于0，在第一象限值恒大于0，且， 位于第三象限，位于第一象限． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【规范解答】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 【变式训练】（2022·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【规范解答】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【规范解答】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 【变式训练】（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【答案】① 【思路引导】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【规范解答】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【思路引导】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【规范解答】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【思路引导】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【规范解答】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 【答案】 【思路引导】过点作轴于，过点作，进而可证明，根据全等性质得，，设，根据反比例函数的图象在第一象限，可判断，，，根据反比例函数的几何意义得：，进一步求出、等于，，，即可得，再根据列方程即可得，进一步得，把的坐标代入解析式，列出方程，解出即可得的值，代入计算即可得的值． 【规范解答】解：如图， 过点作于，过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴，，， 根据反比例函数的几何意义得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴，解得：，即：， ∴， ∵的图象经过点， ∴，化简得：，解得：，（舍）， ∴． 题型十一 求反比例函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【思路引导】（1）将已知、的对应值代入反比例函数解析式求出，再确定自变量的取值范围； （2）将点的横坐标代入函数解析式，计算对应纵坐标，与点的纵坐标比较即可判断． 【规范解答】（1）解：由题意得，当时， 解得， 关于的函数解析式为，自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 点在该函数的图象上， 当时，， 点不在该函数的图象上． 【变式训练】（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【思路引导】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【规范解答】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 题型十二 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【思路引导】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【思路引导】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【规范解答】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式训练】某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解． 【规范解答】解：设虚线为（显然，）， 由图中可知，当时，，所以 ， 当时，，所以 ，可得在m的左右两侧时，符号是不同的，即； 当时，，而，所以显然另外一条分割线为， 故选：B． 【考点剖析】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大． 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) 【思路引导】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【规范解答】（1）解：将代入， 解得． 将代入， 解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 【变式训练】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【思路引导】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【规范解答】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【思路引导】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【规范解答】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 【变式训练】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 【答案】 【思路引导】连接，由反比例函数图象的对称性可知点关于原点对称，进而知与的面积比为，从而设，根据的坐标关系建立方程即可． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意知，、关于原点对称， ， 与四边形的面积之比为， ， ， 过点B作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴，， ∴， ∴点B的横坐标为． ∵，即， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ， ， 把代入，得， 解得， ． 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 【变式训练】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 【答案】(1)，，点 (2) (3) 【思路引导】本题考查反比例函数的综合知识． （1）利用待定系数法求解析式，将已知点代入即可； （2）由平移的性质可得的中点的纵坐标，由，可求点坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线的解析式，联立方程组可求解． 【规范解答】（1）一次函数与反比例函数的图象相交于 ， ， 一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 由得 ， （2）如图，连接， 轴 的中点坐标为 将沿轴向左平移，对应得 的中点的纵坐标为 平移的长度为 ; （3）如图，过点作轴于，作，交双曲线于点， , , ,即点P为所求 四边形是矩形 , 设直线的解析式为 直线的解析式为 由得 点在第二象限 ． 题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【思路引导】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【真题演练1】（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 【真题演练2】（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【规范解答】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 【真题演练3】（2026·江苏盐城·中考真题）小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为； (2)或 【思路引导】（1）由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为，结合反比例函数解析式，即可求出坐标，再设直线的解析式为，并将A、B代入即可求解； （2）根据图象即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， 将代入得： 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式中， 得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：由图象可得，反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的取值范围为或． 【真题演练4】（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【思路引导】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【规范解答】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【真题演练5】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【思路引导】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【规范解答】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 2．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【规范解答】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】/ 【思路引导】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【规范解答】设， 将，代入： ， ， ， ． 5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 【答案】 【思路引导】设双曲线的解析式为，由轴，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，则，由此即可得到答案． 【规范解答】解：设双曲线的解析式为， 轴， ， 在双曲线上，在双曲线上， ，， ， ， 双曲线的解析式为． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【答案】6 【思路引导】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【规范解答】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点，，是否在这个函数的图象上？ 【答案】(1)这个函数的图象位于第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． (2)点、在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 【思路引导】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质解答，即可求解； （2）分别把点B，C，D三点的横坐标代入函数解析式，然后比较即可． 【规范解答】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴点、在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先通过交点纵坐标结合正比例函数解析式求出交点坐标，代入反比例函数得到的值，再计算指定自变量对应的函数值； （2）结合反比例函数的增减性求取值范围即可． 【规范解答】（1）解： 与的一个交点纵坐标为2， 将代入，得， 交点坐标为， 将代入，得 解得， 反比例函数解析式为， 当时，； （2）解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，；当时，． ． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． (1)当时，求x的取值范围； (2)已知点，，在这个反比例函数的图象上，比较，，的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 【答案】(1)的取值范围是或 (2)解：，理由如下： ， 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点、的横坐标均小于0， ∴点A，B在第三象限， 又∵， ， 点的横坐标大于0，在第一象限， ． ． 【思路引导】（1）先代入已知点坐标求出反比例函数的解析式．分和两种情况，结合函数性质求解时的取值范围； （2）根据反比例函数的增减性，结合各点所在象限比较三个函数值的大小． 【规范解答】（1）解：将点代入，得 解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，令 解得； 当时，， 综上所述，的取值范围是或； （2）略 10．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或 (3) 【思路引导】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【规范解答】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【规范解答】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【规范解答】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 4．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【思路引导】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【规范解答】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 5．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【思路引导】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【规范解答】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【思路引导】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【规范解答】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ (2)点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【答案】(1)该函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小 (2)点、在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上， 理由：，满足，故点B在图象上； ，满足，故点C在图象上； ，不满足，故点D不在图象上． 【思路引导】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据反比例函数的性质判断即可得出结果． 【规范解答】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵一个反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴该函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小； （2）略． 8．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）把代入一次函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得点的坐标． 【规范解答】（1）解：把代入得 ， 则点的坐标是． 把代入得 ， 则反比例函数的解析式是； （2）根据题意得， 解得或， 把代入 得， 则点的坐标是． 9．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【思路引导】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【规范解答】（1）解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． （2）解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． （3）解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【思路引导】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题27.2 反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 反比例函数的图象与性质 3 知识点二 反比例函数的对称性 3 知识点三 反比例函数的几何意义 4 知识点四 反比例函数与一次函数关系 4 题型讲练 4 题型一 判断（画）反比例函数图象 4 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 7 题型五 判断反比例函数的增减性 8 题型六 判断反比例函数图象所在象限 9 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 9 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 10 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 10 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 11 题型十一 求反比例函数解析式 12 题型十二 反比例函数与几何综合 12 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 14 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 14 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 15 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 16 题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 17 中考真题演练 19 难度分层训练 21 【基础夯实】 21 【培优拔高】 24 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像是双曲线，其图像和性质如下表： k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 知识点三 反比例函数的几何意义 常见 图形 结论 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 题型一 判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出它的图象． 解：画反比例函数的图象的步骤： 列表： x … 1 2 3 4 8 … y … … 描点、连线（如图）： (2)函数的图象位于哪些象限? (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化? (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为（网格图中每个小正方形的边长均为1）．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上的四个格点，再画出反比例函数的图象； (3)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示的平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，直接写出点的坐标． 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，点P在反比例函数 的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【变式训练】（24-25九年级上·陕西安康·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【变式训练】反比例函数的图象的一分支如图所示． (1)求m的取值范围． (2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 题型五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 题型六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【变式训练】（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2022·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式训练】（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 题型十一 求反比例函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)判断点，是否在这个函数的图象上． 【变式训练】（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 题型十二 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【变式训练】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【变式训练】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【变式训练】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【变式训练】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【真题演练1】（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【真题演练2】（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【真题演练3】（2026·江苏盐城·中考真题）小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 【真题演练4】（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【真题演练5】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【基础夯实】 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点，，是否在这个函数的图象上？ 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． (1)当时，求x的取值范围； (2)已知点，，在这个反比例函数的图象上，比较，，的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 10．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 4．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 5．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个反比例函数的图象经过点． (1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ (2)点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 8．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 9．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $