专题03二次函数的概念、图象和性质同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数核心知识点，从一次函数引入，系统梳理概念、三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）、平移规律及系数a,b,c的影响，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料以数形结合为核心，20种题型覆盖识别、参数求解等，通过围栏围菜园等实际情境抽象模型培养抽象能力，配方法转化解析式提升推理能力，课堂小练助力查漏补缺，课中辅助教学，课后强化应用意识。

专题03二次函数的概念、图象和性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念与解析式体系：本节基于一次函数知识，引入二次函数的定义与解析式形式。通过实际情境抽象函数模型，掌握二次函数一般形式、特殊形式及自变量取值范围，明确二次函数与一次函数的区别，夯实函数概念基础。 2.图象性质与解析式求解：遵循由特殊到一般的认知规律，研究抛物线的图象特征，掌握开口、对称轴、顶点、增减性与最值。掌握顶点式结构及图象平移规律，理解系数 a、b、c对图象的影响。熟练运用待定系数法，根据不同条件选取解析式形式求解函数表达式，依托数形结合思想解决基础性质问题。 ✅本节以数形结合为核心，以解析式为载体、抛物线图象为依托，系统掌握二次函数的图象特征与变化规律。熟练完成一般式与顶点式互化，掌握待定系数法求解析式，是二次函数综合应用与实际应用的基础。 ✅本节以数形结合为核心思想，依据定义识别二次函数，借助抛物线研究增减性、最值；解析式中参数决定图象特征，图象直观反映函数性质，是后续学习二次函数综合应用的基础。 ✺学习目标 1.理解二次函数定义，掌握一般形式，能准确辨析二次函数。 2.认识抛物线图象，熟练判定开口方向、对称轴、顶点坐标。 3.掌握二次函数增减性与最值，理解抛物线平移规律。 4.掌握待定系数法，能灵活选用解析式形式求解二次函数表达式。 5.掌握系数a、b、c的几何意义，能依据系数判断抛物线图象特征。 6.熟练运用配方法实现一般式与顶点式的互化，精准分析图象平移变换。 7.根据已知条件择优选用一般式、顶点式、交点式求解析式，提升建模与运算能力。 8.运用数形结合思想综合分析函数性质，规范解题，规避常见易错点。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2的图象和性质 题型5.y=ax2+k的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型12.二次函数图象与各项系数符号 题型13.一次函数、二次函数图象综合判断 题型14.根据二次函数的图象判断式子符号 题型15.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型16.根据二次函数的对称性求函数值 题型17.y=ax2+bx+c的最值 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 题型19.待定系数法求二次函数解析式 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：二次函数的概念 1.定义：形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 2.判定依据：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，三者缺一不可。 3.各项定义： 为二次项， 为二次项系数； 为一次项， 为一次项系数； 为常数项。 4.自变量取值范围：无实际限制时取全体实数，实际问题中需符合实际情境要求。 【重点提示】： 是二次函数的核心条件， 时函数退化为一次函数或常数函数； 可为0。 知识点二：二次函数的解析式形式 1.一般式：，适用于已知任意三点坐标求解解析式。 2.特殊式：包含三类基础形式，分别为 、、。 3.顶点式：，顶点为，对称轴为直线 ，适用于已知顶点坐标的题型。 4.交点式：，仅适用于抛物线与 轴有两个交点的情形， 为交点横坐标，最终结果需化为一般式。 知识点三：二次函数图象平移规律 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 【重点提示】：平移仅改变顶点位置，不改变系数 ，抛物线开口方向、开口大小保持不变。 知识点四、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点五、y=a+k的图象性质 知识点六、y=a的图象性质 知识点七、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点八、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 2．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 3．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 3．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 2．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 3．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 题型4.y=ax2的图象和性质 1．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 3．已知二次函数 ． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 时， 随 的增大而___________；当 时， 随 的增大而___________． 题型5.y=ax2+k的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 3．按要求解答下列问题： (1)画出函数的图象． (2)观察函数的图象，当时，y随x的增大而增大还是随的增大而减小？当时呢？ 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 1．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 3．已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是________． 3．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 题型8.二次函数图象的平移 1．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 2．怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 3．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 2．若二次函数可以配成顶点式，则__________． 3．将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 1．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 2．已知二次函数． (1)填写下表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 3．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 3．已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 3．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 题型13.一次函数、二次函数图象综合判断 1．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 3．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 题型14.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 3．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 题型15.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 2．抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 题型16.根据二次函数的对称性求函数值 1．已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 3．抛物线经过点，． (1)求a，c的值； (2)点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 题型17.y=y=ax2+bx+c的最值 1．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 2．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 3．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 3．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，抛物线的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中）． (1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； (2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 题型19.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 3．已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 ✺课堂小练 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 7．将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 8．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 三、解答题 9．用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 10．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 11．点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的概念、图象和性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念与解析式体系：本节基于一次函数知识，引入二次函数的定义与解析式形式。通过实际情境抽象函数模型，掌握二次函数一般形式、特殊形式及自变量取值范围，明确二次函数与一次函数的区别，夯实函数概念基础。 2.图象性质与解析式求解：遵循由特殊到一般的认知规律，研究抛物线的图象特征，掌握开口、对称轴、顶点、增减性与最值。掌握顶点式结构及图象平移规律，理解系数 a、b、c对图象的影响。熟练运用待定系数法，根据不同条件选取解析式形式求解函数表达式，依托数形结合思想解决基础性质问题。 ✅本节以数形结合为核心，以解析式为载体、抛物线图象为依托，系统掌握二次函数的图象特征与变化规律。熟练完成一般式与顶点式互化，掌握待定系数法求解析式，是二次函数综合应用与实际应用的基础。 ✅本节以数形结合为核心思想，依据定义识别二次函数，借助抛物线研究增减性、最值；解析式中参数决定图象特征，图象直观反映函数性质，是后续学习二次函数综合应用的基础。 ✺学习目标 1.理解二次函数定义，掌握一般形式，能准确辨析二次函数。 2.认识抛物线图象，熟练判定开口方向、对称轴、顶点坐标。 3.掌握二次函数增减性与最值，理解抛物线平移规律。 4.掌握待定系数法，能灵活选用解析式形式求解二次函数表达式。 5.掌握系数a、b、c的几何意义，能依据系数判断抛物线图象特征。 6.熟练运用配方法实现一般式与顶点式的互化，精准分析图象平移变换。 7.根据已知条件择优选用一般式、顶点式、交点式求解析式，提升建模与运算能力。 8.运用数形结合思想综合分析函数性质，规范解题，规避常见易错点。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2的图象和性质 题型5.y=ax2+k的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型12.二次函数图象与各项系数符号 题型13.一次函数、二次函数图象综合判断 题型14.根据二次函数的图象判断式子符号 题型15.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型16.根据二次函数的对称性求函数值 题型17.y=ax2+bx+c的最值 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 题型19.待定系数法求二次函数解析式 题型20.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：二次函数的概念 1.定义：形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 2.判定依据：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，三者缺一不可。 3.各项定义： 为二次项， 为二次项系数； 为一次项， 为一次项系数； 为常数项。 4.自变量取值范围：无实际限制时取全体实数，实际问题中需符合实际情境要求。 【重点提示】： 是二次函数的核心条件，0时函数为一次函数或常数函数； 可为0。 知识点二：二次函数的解析式形式 1.一般式：，适用于已知任意三点坐标求解解析式。 2.特殊式：包含三类基础形式，分别为 、、。 3.顶点式：，顶点为，对称轴为直线 ，适用于已知顶点坐标的题型。 4.交点式：，仅适用于抛物线与 轴有两个交点的情形， 为交点横坐标，最终结果需化为一般式。 知识点三：二次函数图象平移规律 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 【重点提示】：平移仅改变顶点位置，不改变系数 ，抛物线开口方向、开口大小保持不变。 知识点四、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点五、y=a+k的图象性质 知识点六、y=a的图象性质 知识点七、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点八、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 2．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 3．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 3．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 【详解】解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 2．若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 3．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式． 根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，， ∴，， 即， ∴ ． 题型4.y=ax2的图象和性质 1．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 2．已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 【详解】解：（1）①，图象开口向下；②，图象开口向上；③，图象开口向上；④，图象开口向下；⑤，图象开口向上； （2），图象开口向下且开口最大的是①； （3）①，图象开口向下，故图象有最高点；④，图象开口向下，故图象有最高点． 3．已知二次函数 ． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 时， 随 的增大而___________；当 时， 随 的增大而___________． 【答案】(1)开口向下，对称轴 轴(或直线),顶点 (2)减小，增大 【详解】（1）解：∵二次函数 中， ∴函数图象的开口向下，对称轴为 轴(或直线)，顶点坐标为； （2）解：∵函数图象的开口向下，对称轴为 轴， ∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大． 题型5.y=ax2+k的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 2．已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解： 二次函数中，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 且开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， ， ． 3．按要求解答下列问题： (1)画出函数的图象． (2)观察函数的图象，当时，y随x的增大而增大还是随的增大而减小？当时呢？ 【答案】(1) (2)当时，随的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】（1）依据列表、描点、连线完成作图即可； （2）根据图象确定增减性即可； 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … y … 5 2 1 2 5 … 描点、连线，图略； （2） 略 题型6.y=a(x-h)2的图象和性质 1．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 2．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 3．已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大， ， ， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 【分析】（1）根据抛物线的性质求解； （2）首先判断出抛物线开口向上，得到抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ∴； （3） 略 题型7.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 2．抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 3．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越小， ∴． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2） 略 题型8.二次函数图象的平移 1．抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移5个单位长度可得到抛物线． 2．怎样移动抛物线可以得到抛物线？ 答：把抛物线先向右平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，可以得到抛物线． 【答案】 1 下 1 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，可以得到抛物线． 3．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，8 (2)线段的长度为， 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可； （2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论． 【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； （2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． 2．若二次函数可以配成顶点式，则__________． 【答案】30 【分析】本题考查了二次函数的一般式和顶点式，通过比较二次函数的一般式和顶点式的系数，建立等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】解：将，向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得． 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 1．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像和性质即可判断． 【详解】解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2．已知二次函数． (1)填写下表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1) 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … (2) 描点，连线，画出图象如下： 【分析】本题考查画二次函数的图象： （1）将的值代入，求出函数值，填表即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，当时，，当时，，当时，； （2）略 3．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3） 略 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴， ， ， ∴． 2．已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 【答案】 或 【分析】（1）根据抛物线的性质进行求解即可； （2）根据抛物线的顶点落在x轴上，得出，求出a的值即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线； （2）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 解得：或； （3）①当时，则抛物线开口向上，若，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或， 又∵， ∴． ②当时，则抛物线开口向下，若，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得：， 又∵，故此情况不成立； 综上：． 3．已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)二次函数的图象如图所示： (2) 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再根据图象求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下， 描点、画图如下：略 （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴由图象可知，当时，的取值范围为． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向，这是解题关键． 根据二次函数的性质，得出函数解析式二次项系数小于0即可． 【详解】解：根据图象可得图象开口向下，故二次项系数小于0，即， 所以a的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 题型13.一次函数、二次函数图象综合判断 1．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 2．已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解∶直线中，当时，， 关于轴的对称点始终在直线的上方， 当时，， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为∶ ． 3．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 题型14.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 【答案】 【分析】先将因式分解得到；由对称轴，顶点在x轴的下方可知，时函数值小于0；时函数值大于0，代入判断乘积正负． 【详解】解：． 当时，，由图，顶点横坐标为1，顶点在x轴下方， ． 当时，，从图象可知，对应点在x轴上方， ． ， 即， ． 3．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 题型15.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 2．抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 题型16.根据二次函数的对称性求函数值 1．已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解；直接计算各点纵坐标值并比较大小即可． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对于，， 对于 ，， 对于，， ∴ ，，， ∴ ， 故答案为：C． 2．已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． 3．抛物线经过点，． (1)求a，c的值； (2)点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用等定系数法求解即可； （2）①分别求出和，根据列出方程，解方程即可,②利用函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， （2）①解：由（1）可得：抛物线的解析式为：， ∵点，均在上，且 ∴ 解得： ②由（1）得对称轴为直线 ∵， ∴ ∵ ∴当时 ∴y随增大而减小 ∴. 题型17.y=y=ax2+bx+c的最值 1．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 2．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 3．已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 题型18.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2) 如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； (3) 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， ，的最小值为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法及两点间线段最短的原理，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，即可求解； （2）连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）根据二次函数的对称性，在对称轴上的点，易得，即当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长．连接交对称轴于点，点即为所求，连接．先求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）略 （3）解：当时，， 点为， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 3．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，抛物线的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中）． (1)当AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小； (2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值； (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m=2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数． 【答案】(1)P（−3，3 ） (2)点C与l距离的最大值为1； (3)m＝2022时“整点”的个数为4046个． 【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2＋6x，当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案； （2）求出L的顶点C(−，−)，由二次函数的性质可得出答案； （3）联立两个解析式得出，解得x1＝−2022，x2＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出答案． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝x＋m＝m， ∴B （0，m）， ∵AB＝12， ∵A（0，−m）， ∴m−（−m）＝12， ∴m＝6， ∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x， ∴抛物线L的对称轴x＝−3， 又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP， ∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB， ∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点， 当x＝−3时，y＝x＋6＝3， ∴P（−3，3 ） （2）解：=(x＋)2−， ∴L的顶点C(−，−)， ∵点C在l上方， ∴C与l的距离＝−−(−m)＝− (m−2)2＋1≤1， ∴点C与l距离的最大值为1； （3）解：当m＝2021时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022， 联立上述两个解析式得方程组 ， 可得：x1＝−2022，x2＝1， ∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且−2022和1之间（包括−2022和1）共有2024个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2024个整数点， ∴总计4048个点， ∵这两段图象交点有2个点重复， ∴整点”的个数：4048−2＝4046（个）； 故m＝2022时“整点”的个数为4046个． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键． 题型19.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 2．已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式求解析式，再代入已知点求出系数，展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴，展开整理得． 3．已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 2．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的图象关于y轴对称，利用二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：根据题意可得二次函数的图象关于y轴对称， ∵图象过点， ∴点关于y轴的对称点也在函数图象上． 3．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 4．已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 二、填空题 5．将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 7．将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【答案】 / 【分析】先根据平移规律得到原抛物线平移后的表达式，再求出已知抛物线关于轴对称的抛物线表达式，对比系数即可得到和的值． 【详解】解：∵原抛物线向下平移2个单位长度， ∴平移后得到的抛物线为， ∵关于轴对称的抛物线，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴只需将原抛物线中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为， ∵平移后的抛物线与轴对称后的抛物线是同一个抛物线， ∴对比对应项的系数可得，． 8．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 三、解答题 9．用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【详解】略 10．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 11．点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①；②；③ (4) (5) 【分析】（1）提公因式再根据完全平方公式进行化简即可； （2）根据顶点式即可得到对称轴和顶点坐标； （3）①将代入，求出即可得到解析式； ②根据开口方向以及对称轴判断函数增减性，即可得到答案； ③由题意得到，再根据求出，将代入，得，即可得到答案； （4）根据题意求出，将分别代入，得，再根据求出，即可得到函数解析式； （5）分若和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：对称轴，顶点坐标为； （3）解：①将代入， 即， 解得， 该二次函数的表达式为； ②，开口向上，对称轴， 故在时，，距离对称轴更远， 若，则； ③， 两点关于直线对称， ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； （4）解：， ， 将分别代入， 得， ， ， 该二次函数的表达式为； （5）解：， 二次函数的图象开口向上， 由（2）可知，二次函数图象的顶点坐标为． 又点在二次函数图象的对称轴的异侧，， 点在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧， 当时，函数在处取得最小值， 当时，函数的最大值与最小值的差为1， 当时，函数的最大值为0， ①若，则，即，解得， 由点在二次函数图象的对称轴的异侧，且， 可得， ， 函数的最大值为， ； ， ②若，则，即， 根据点在对称轴左侧可知， 解得． ， 函数的最大值为， ， ， 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $