精品解析：上海市金山初级中学2026-2027学年九年级9月学情自测数学试题

2026学年九年级上第27章二次函数单元检测卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中自变量最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，是二次函数，故选项符合题意； C、，化简后自变量最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； D、的右边不是整式，不是二次函数，故选项不符合题意． 2. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 图像位于二、四象限 C. 有最低点 D. 在y轴左侧，图像上升 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，即可判断． 【详解】解：A、∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对任意实数，， ∴，即图像位于第三、四象限及过原点，故选项错误，不符合题意； C、∵抛物线开口向下， ∴有最高点，故选项错误，不符合题意； D、∵该抛物线对称轴为直线（即轴），开口向下， ∴在轴左侧，随的增大而增大，即图像上升，故选项正确，符合题意． 4. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 5. 如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线与x轴有2个交点即，可判断①；由抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点的坐标为即可判断②；由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，而对称轴在y轴右侧，可判断a、b、c的正负即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，可判断④；图象可知，当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故①正确． ∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，故②正确． ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，而对称轴在y轴右侧， ∴，而， ∴，因此，，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，故④正确． 观察图象可知，当时，，故⑤不正确． 综上所述，①②④正确，正确结论有3个． 二、填空题（本大题共11题，满分44分） 7. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向下，得出二次项系数小于0，即可求解． 【详解】二次函数的图象开口向下， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 8. 已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式计算，即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入，得， ∴当x的值为时，对应的函数值为． 9. 如果函数是y关于x的二次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，需满足x的指数为2，且二次项系数不为0，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 整理得， 解得或， 又∵， 即， ∴． 10. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 11. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，结合给出的对称轴，利用顶点式的性质直接推导顶点坐标． 【详解】解：当时，， 因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， 代入得二次函数为， 因此顶点坐标为． 12. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 【答案】m＞9 【解析】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 13. 已知一个二次函数可以由平移得到，且顶点坐标为，那么这个二次函数的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】平移不改变二次函数的二次项系数，已知顶点坐标，可利用顶点式直接写出函数表达式． 【详解】解：∵二次函数由平移得到， ∴平移后二次项系数不变，得． ∵已知二次函数顶点坐标为， ∴将，顶点横纵坐标代入二次函数顶点式，其中，，得该二次函数表达式为． 14. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域） 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式． 【详解】解：如图所示，由题意，,， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 由矩形可知，， ∴， ∴， ∴矩形面积为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质． 16. 抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 17. 定义：若在一个二次函数的图像上存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定二次函数化为顶点式得到和的值，再根据题目定义列等式求解，最后计算出“开口大小”． 【详解】解：∵， ∴对比顶点式，可得，， 设抛物线上满足条件的点为，根据定义有，且， ∴， 整理得， ∵ ， ∴ 两边同时除以，得 整理得， 即． 因此“开口大小”为． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 在画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格． x … 0 2 4 5 … y … m 4 n … （1）二次函数的顶点为___________；___________，___________． （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1） ；0，0 （2） 该二次函数的表达式为 【解析】 【分析】（1）找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进而确定顶点坐标，把代入函数解析式，求出的值，对称性得到的值； （2）待定系数法求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，和的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同，即； 【小问2详解】 解：将和代入，得 ，解得， ∴该二次函数的表达式为． 19. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2） 开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；有最高点 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将A、B、C三点坐标代入进行求解即可； （2）根据a与0的大小判断开口方向和最值，将一般式化为顶点式，可以得到对称轴，顶点坐标． 【小问1详解】 解：设二次函数的表达式为， 将，，代入得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ， ，， 所以，抛物线开口向下，有最高点； 根据， 可知对称轴为，顶点坐标为． 20. 已知一条抛物线的顶点，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且点P和点Q关于这个二次函数图象的对称轴对称，求t的值和点Q的坐标． 【答案】（1） （或） （2） ，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标设抛物线的表达式为，将点B坐标代入求出a即可； （2）将代入中，求出t的值，抛物线的对称轴为，点P和点Q关于直线对称，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离一样，可以得到点Q坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为，将代入得：， 解得：， 所以，抛物线的表达式为：， 化为一般式为：； 【小问2详解】 将代入中，得到 解得：， 由可知，抛物线的对称轴为， 所以，点P和点Q关于直线对称， 所以，点Q的纵坐标为，横坐标为， 所以点Q的坐标为． 【点睛】已知顶点坐标，将抛物线表达式设为顶点式． 21. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）3 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 【小问2详解】 解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 23. 综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． （1）①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 【答案】（1）①；② （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）①根据每个检票窗口每分钟可检票14人，列出代数式即可； ②根据排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出新的函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意，开园，6个检票窗口已检票的人数为； ②由题意，； 【小问2详解】 解：根据题意，不再有游客排队检票时，． 将代入，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：开园不再有游客排队检票． 【小问3详解】 解：根据题意，开放n个检票窗口时，排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为， 整理得． ∴该二次函数的对称轴为直线． ∵排队检票人数最晚在15分钟达到最大值， ． 解得． ∵n为正整数， ∴n的最小值为7． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求：、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 【答案】（1）， （2）①5；② 【解析】 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【小问1详解】 解：设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，． 【小问2详解】 解：①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，原抛物线的对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得：， 解得：， 的表达式为：， ， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、把二次函数的一般式化成顶点式、二次函数图象的平移、三角形的面积等，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年九年级上第27章二次函数单元检测卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法中正确的是（ ） A. 开口向上 B. 图像位于二、四象限 C. 有最低点 D. 在y轴左侧，图像上升 4. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 5. 如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，有下列结论： ①；②方程的两个根是，； ③；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共11题，满分44分） 7. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是___________． 8. 已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 9. 如果函数是y关于x的二次函数，则___________． 10. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 11. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 12. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 13. 已知一个二次函数可以由平移得到，且顶点坐标为，那么这个二次函数的表达式是___________． 14. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域） 16. 抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 17. 定义：若在一个二次函数的图像上存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为___________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 在画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格． x … 0 2 4 5 … y … m 4 n … （1）二次函数的顶点为___________；___________，___________． （2）求该二次函数的表达式． 19. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 20. 已知一条抛物线的顶点，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，且点P和点Q关于这个二次函数图象的对称轴对称，求t的值和点Q的坐标． 21. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 22. 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 23. 综合与实践 问题背景： 节假日期间，旅游景区开园检票时游客排队是常见的现象．某校数学兴趣小组对某景区每天开园60分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票14人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数y（单位：人）与开园时间x（单位：）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放6个检票窗口（该景区共有10个检票窗口）． （1）①开园，6个检票窗口已检票的人数为_______（用含x的代数式表示）． ②排队检票人数与开园时间x之间的函数关系式为_______． （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）问题解决：为了让游客尽快完成检票，开园时同时开放n个检票窗口，可以使得排队检票人数最晚在15分钟达到最大值．求n的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求：、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $